等差数列前n项和

(等差数列等分若干段后 各段和依序成等差数列 等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列 等差数列等分若干段后 各段和依序成等差数列)
数列{an} 是公差为d的等差数列，则Sn = An2 + Bn
Sn Sn ⇒ = A n + B ⇔ 是等差数列，公差为A. n n
2.已知{an} 是公差为d的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，则 d Sn ⇔ 是等差数列，公差为 . 2 n
等差数列前项和的最值问题： 等差数列前项和的最值问题：
例 2．在等差数列中， a1 = −60 ， a17 = −12 ， ．在等差数列中， （1）该数列第几项开始为正？ ）该数列第几项开始为正 （2）前多少项和最小，并求其最小值？ ）前多少项和最小 并求其最小 （3）求 {an } 前 n 项和 Sn？ ） ？ （4）求 { an } 前 n 项和 Tn？ ） ？
首项与末项的和： 首项与末项的和： 项与倒数第2项的和 第2项与倒数第 项的和： 项与倒数第 项的和： 项与倒数第3项的和 第3项与倒数第 项的和： 项与倒数第 项的和： ······
你知道高斯是怎 么计算的吗？
1＋100＝101， ＋ ＝ ， 2＋99 =101， ＋ ， 3＋98 ＝101， ＋ ，
（ a1 + a n ) n Sn = 2
（n − 1) n S n = na1 + d 2
a1
n
an
知三求二
举例
例1、计算： 、计算：
n(n + 1) (1)1 + 2 + 3 + LL + n； = 2 = n2 (2)1 + 3 + 5 + LL + (2n − 1)；
（a1 + an ) n Sn = 2 （n − 1) n S n = na1 + d 2
变式 2．已知等差数列前 n 项和为 Sn ，前 2n 项 ． 项的和为 和为 S2n ，前 3n 项的和为 S3n ，证明 Sn ，S2n - Sn ，
S3n - S2n 成等差数列
等差数列前n项和性质： 等差数列前 项和性质： 项和性质
1.已知{an} 是公差为d的等差数列，若b1 = a1 + a2 +L+ ak , b2 = ak+1 + ak+2 +L+ a2k，b3 = a2k+1 + a2k+2 +L+ a3k ,L, 则: b1,b2,b3,L,成等差数列公差为:kd ,
{an } 是公差为2 A的等差数列 ⇔
S n = An 2 + Bn( A, B为常数)
问:如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn + qn + r，
2
（其中p,q,r为常数，且p ≠ 0）,那么这个数列 一定是等差数列吗？
结论:如果一个数列{an }的前n项和S n = pn + qn + r，
项与倒数第50项的和 第50项与倒数第 项的和：50＋51＝101， 项与倒数第 项的和： ＋ ＝ ， 100 = 5050. 于是所求的和是： 101× 于是所求的和是： 2
高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m + n = p + q ⇒ a m + a n = a p + aq .
S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得： 相加得
倒序相加法
2S=(4+10)+(5+9)+(6+8)+(7+7)+(8+6)+(9+5)+(10+4)
= (4 + 10) × 7.
(4 + 10) × 7 ∴S = = 49. 2
新课
设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 即 S n = a 1 + a 2 + L + a n .
a1 + a2 + a3 = 12， a1 + d = 4， a1 = 1， 解： ⇒ ⇒ 由 a1 + 8d = 25 d = 3. a8 + a9 + a10 = 75
Sn =
10 × 9 ⇒ S10 = 10a1 + d = 145. 2 a1 + a2 + a3 = 12， 又解： ⇒ a1 + a10 + a2 + a9 + a3 + a8 = 87. 由 a8 + a9 + a10 = 75
怎样求一般等差数列的前n项和呢？ 怎样求一般等差数列的前 项和呢？ 项和呢
Sn = a1 + a2 + L + an . Sn = an + an −1 + L + a1.
2 Sn = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + L + (an + a1 )
= n(a1 + an ).
当A ≠ 0 (即d ≠ 0 )时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn = An 2 + Bn的图象是抛物线 y = Ax 2 + Bx上的一群孤立的点.
思考： 思考：
B为常数)，则数列{an } 是不是一定是等差 数列？ 数列{an }的前n项和S n = An 2 + Bn( A,
结论： 结论：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法 （1） 利用 a n : ） 当 a1 >0，d<0，前n项和有最大值 ， ， 项和有最大值
复习
1.等差数列的定义： 等差数列的定义： 等差数列的定义
{an } 是等差数列 ⇔ an − an−1 = d (n ≥ 2)
2.通项公式： 通项公式： 通项公式
an = a1 + ( n − 1)d . =am+(n-m)d (n∈N*斯“神速求和”的故事: 高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工 匠家庭，幼时家境贫困， 匠家庭，幼时家境贫困， 但聪敏异常。 但聪敏异常。上小学四 年级时， 年级时，一次老师布置 了一道数学习题： 了一道数学习题：“把 100的自然数加起 从1到100的自然数加起 和是多少？ 来，和是多少？”年仅 10岁的小高斯略一思索 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050 5050， 就得到答案5050，这使 老师非常吃惊。 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢？ 巧妙地计算出来的呢？
情景2 情景
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 10，求钢管总数。 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
即求：S=4+5+6+7+8+9+10. 即求
高斯算法： 高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49. （ （ ） （ ） ×
（a1 + an ) n 2 （n − 1) n Sn = na1 + d 2
Q a1 + a10 = a2 + a9 = a3 + a8，
∴ 3(a1 + a10 ) = 87即(a1 + a10 ) = 29.
整体运算 的思想! 的思想!
10(a1 + a10 ) S10 = = 5(a1 + a10 ) = 5 × 29 = 145. 2
= 8 ×18 = 144.
（a1 + an ) n 2 （n − 1) n S n = na1 + d 2 Sn =
例5、求集合M = {m | m = 7 n, n ∈ N , 且m < 100}
*
的元素，并求些元素的和.
巩固练习 1、一个等差数列前4项的和是 ，前5项的和 、一个等差数列前 项的和是 项的和是24， 项的和 与前2项的和的差是 ， 与前 项的和的差是27，求这个等差数列的通 项的和的差是 项公式。 项公式。 解： S = 24， 4 ⇒ S 5 − S 2 = 27 a1 = 3， ⇒ ⇒ an d = 2
——性质及其应用（ ——性质及其应用（上） 性质及其应用
2 、 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 ， a 6 = 20, 求 S 11 .
解: a6 = 20 ⇒ a1 + a11 = 2a6 ⇒
S 11
11( a 1 + a 11 ) = = 11a 6 = 220. 2
（a1 + an ) n 2 （n − 1) n S n = na1 + d 2 Sn =
等差数列前n项和公式的函数特征： 等差数列前n项和公式的函数特征：
1 d 2 d S n = na1 + n ( n − 1) d = n + a1 − n 2 2 2
d d 设A = , B = a1 − , 则S n = An 2 + Bn ( A, B是常数 ) 2 2
特征： 特征：
高斯（1777---1855）， 德 高斯（1777---1855）， ---1855 国数学家、 国数学家、物理学家和天文学 他和牛顿、阿基米德， 家。他和牛顿、阿基米德，被 誉为有史以来的三大数学家。 誉为有史以来的三大数学家。 数学王子”之称。 有“数学王子”之称。