初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及解析

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及解析
一、选择题
1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（）
A．﹣7 B．﹣12 C．﹣20 D．﹣34
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据不等式组无解解出k的取值范围，再解分式方程得y＝，根据方程有解和非正
整数解进行综合考虑k的取值，最后把这几个数相加即可．
【详解】
∵不等式组无解，
∴10+2k＞2+k，解得k＞﹣8．
解分式方程，两边同时乘（y+3），得
ky﹣6＝2（y+3）﹣4y，
解得y＝．
因为分式方程有解，∴≠﹣3，即k+2≠﹣4，解得k≠﹣6．
又∵分式方程的解是非正整数解，∴k+2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12．
解得k＝﹣3，﹣4，﹣5，﹣8，﹣14．
又∵k＞﹣8，
∴k＝﹣3，﹣4，﹣5．
则﹣3﹣4﹣5＝﹣12．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有解的情况．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．
【详解】
解：不等式2x+1＞-3，
移项，得2x ＞-1-3，
合并，得2x ＞-4，
化系数为1，得x ＞-2．
故选C ．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.
3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ）
A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8
B ．90x +210（15﹣x ）≤1800
C ．210x +90（15﹣x ）≥1800
D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题.
【详解】
解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可,
即210x+90（15﹣x ）≥1800
故选C.
【点睛】
本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键.
4．若关于x 的不等式6234
x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15＜a ≤18
B ．5＜a ≤6
C ．15≤a ＜18
D ．15≤a ≤18
【答案】A
【解析】
【分析】 解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可．
【详解】 解不等式组得：23x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩
，即2＜x ＜3a ， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5，
∴5＜3
a ≤6， 解得：15＜a≤18，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．
5．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩
无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=--
∴83a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803
a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
6．不等式组2201x x +>⎧⎨-≥-⎩
的解在数轴上表示为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答.
【详解】 2201x x ①②+>⎧⎨-≥-⎩
， 解不等式①得，x ＞-1；
解不等式②得，x ≤1；
∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1.
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选D.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键．
7．解不等式组
34
22
1
33
x
x x
-≥
⎧
⎪
⎨
+>-
⎪⎩
①
②
时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是
( )
A．B．C．D．【答案】D
【解析】
【分析】
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：1
x≤-，
解不等式②得：5
x<，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
8．已知关于x的不等式组
321
1
23
x x
x a
--
⎧
≤-
⎪
⎨
⎪-<
⎩
恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．12
a
<≤B．12
a
<<C．12
a
≤<D．12
a
≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a的取值范围即可.
【详解】
321
1
23
x x
x a
--
⎧
≤-
⎪
⎨
⎪-<
⎩
①
②
，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x<a，
∵不等式组
321
1
23
x x
x a
--
⎧
≤-
⎪
⎨
⎪-<
⎩
有解，
∴-1≤x<a，
∵不等式组只有三个整数解，
∴不等式的整数解为：-1、0、1，
∴1<a≤2，
故选：A
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．关于 x 的不等式组
21
2
3
1
x
x a
-
⎧
<
⎪
⎨
⎪-+>
⎩
恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（）
A．-2≤a＜-1 B．-2＜a≤-1 C．-3≤a＜-2 D．-3＜a≤-2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】
解：
21
2
3
1
x
x a
-
⎧
<
⎪
⎨
⎪-+>
⎩
①
②
解不等式组①，得x<7
2
，
解不等式组②，得x>a+1，
则不等式组的解集是a+1<x<7
2
，
因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3．
所以可以得到-1⩽ a+1<0，
解得−2≤a＜−1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A ．0x y +>
B ．0x y ->
C ．0x y +<
D ．0x y -<
【答案】A
【解析】
两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x +y ＞0，
故选A ．
11．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）
A ．2＜a ≤3
B ．2≤a ＜3
C ．0＜a ＜3
D ．0＜a ≤2
【答案】A
【解析】
【分析】
结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a 的取值范围
【详解】
由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3
故正确答案为A
【点睛】
此题考查了不等式的整数解，列出关于a 的不等式是解题的关键
12．下列不等式变形中，一定正确的是（ ）
A ．若ac bc >，则a b >
B ．若a b >，则22ac bc >
C ．若
22a b c c
>，则a b > D ．若0a >，0b >，且11a b >，则a b > 【答案】C
【解析】
【分析】 根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
【详解】 A ．当c ＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；
B ．当c=0时，符号为等号，故此选项错误；
C ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确；
D ．分母越大，分数值越小，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改
变．
13．若关于x 的不等式组24x x a
<⎧⎨-≤⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥- B ．2a >- C ．2a ≤- D ．2a <-
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集x<2，推出a 42+≥求解即可．
【详解】
因为不等式组24x x a
<⎧⎨-≤⎩的解集是x<2 所以不等式组2+4<⎧⎨
≤⎩x x a 的解集是x<2 根据同小取较小原则可知，a 42+≥ ，故2a ≥-
故选：A
【点睛】
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得到a 42+≥是解此题的关键．
14．已知不等式组122x a x b +>⎧⎨+<⎩
的解集为23x -<<，则2019()a b +的值为（ ） A ．-1 B ．2019 C ．1 D ．-2019
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式组的解集即可得出关于a 、b 的方程组，解方程组即可得出a 、b 值，将其代入计算可得．
【详解】
解不等式x +a ＞1，得：x ＞1﹣a ，
解不等式2x +b ＜2，得：x ＜22
b -， 所以不等式组的解集为1﹣a ＜x ＜
22b -． ∵不等式组的解集为﹣2＜x ＜3，
∴1﹣a =﹣2，
22
b -=3， 解得：a =3，b =﹣4，
∴201920192019()(34)(1)a b +=-=-=﹣1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是求出a 、b 值．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据不等式组的解集求出未知数的值是关键．
15．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A ．m ＞n
B ．mn ＞0
C ．0m n <
D ．－m ＞－n
【答案】A
【解析】
∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.
16．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 1
3+
＞0的解，则a 的范围是(
)
A ．a 5=
B ．a 5≥
C ．a 5≤
D ．a 5<
【答案】C
【解析】
【分析】
先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【详解】
由413x a
+>得,34a
x ->，
由21
0,3x +> 得,1
,2x >-
∵关于x 的不等式413x a
+>的解都是不等式21
03x +>的解，
∴31
42a
-≥-，
解得 5.a ≤
即a 的取值范围是： 5.a ≤
故选:C.
【点睛】
考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.
17．不等式x ﹣2＞的解集是（ ）
A ．x ＜﹣5
B ．x ＞﹣5
C ．x ＞5
D ．x ＜5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】
去分母得：4x ﹣8＞6x +2，
移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，
系数化为1，得：x ＜﹣5．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．如图，不等式组315215x x --⎧⎨
-<⎩„的解集在数轴上表示为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.
【详解】 由题意可知：不等式组315215x x ①②
--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x ≥-，不等式②的解集为3x <，不等式组的解集为23x -≤<，在数轴上表示应为
.
故选C .
【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.
19．若不等式组1,1
x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解，则m 的取值范围是( ) A ．10m -≤< B ．10m -<≤ C ．10m -≤≤ D ．10m -<<
【答案】A
【解析】
∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩
有解， ∴不等式组的解集为m-1<x<1，
∵不等式组11
x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解， ∴-2≤m-1<-1，
解得10m -≤<，
故选A.
20．不等式组21512
x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
分析：
根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可. 详解：
解不等式①，得：x 1<;
解不等式②，得：x 3≥-；
∴原不等式组的解集为：3x 1-≤<，
将解集表示在数轴上为：
故选C.
点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.。