九年级数学 《圆》单元测试(含参考答案与试题解析)

九年级数学《圆》单元测试
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号一二三总分
得分
评卷人得分
一．选择题（共10小题）
1．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外 D．无法确定
3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）
A．B．C．4 D．2+
4．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）
A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上
5．已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O′相切，则圆心距OO′为（）A．2 cm B．7 cm C．12 cmD．2 cm或12 cm
6．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）
A．B．C．1 D．2
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，且∠ABC=32°，则∠CDB的度数为（）
A．58°B．32°C．80°D．64°
8．如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC=110°，则∠ABC的度数是（）
A．50°B．55°C．60°D．70°
9．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB等于（）
A．160°B．80°C．40°D．20°
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）
A．πB．4πC．πD．π
二．填空题（共4小题）
11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．
12．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是．
14．如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，OP=4，则弦AB的长．
三．解答题（共6小题）
15．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
16．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与底边BC交于M、N两点，且与AB、AC相切于E、F两点，连接AO，与⊙O交于点G，与BC相交于点D．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求扇形OEM的面积．
17．如图所示，AB是半圆O的直径，∠ABC=90°，点D是半圆O上一动点（不与点A、B重合），且AD∥CO．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）填空：①当∠BAD=度时，△OBC和△ABD的面积相等；
②当∠BAD=度时，四边形OBCD是正方形．
18．如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E
点．
（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；
（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，⊙O是经过A、B、C三点的圆，CD与⊙O相切
于点C，点P是上的一个动点（点P不与B、C点重合），连接PA、PB、PC．
（1）求证：CA=CB；
（2）①点P满足时，△CPA≌△ABC，请说明理由；
②当∠ABC的度数为时，四边形ABCD是菱形．
20．（1）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
（2）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展
开图扇形的弧长=2π•10，然后根据扇形的弧长公式l=计算即可求出n．
【解答】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为n．
∵圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π，
∴圆锥的展开图扇形的弧长=20π，
∴20π=，
∴n=120．
故选C．
2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外 D．无法确定
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）
A ．
B ．
C ．4
D ．2+
【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B 分别以C 和A 为圆心CB 和AB 为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
【解答】解：如图：BC=AB=AC=1，
∠BCB′=120°，
∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×=，
故选B ．
4．⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则P 点（ ）
A ．在⊙O 内或⊙O 上
B ．在⊙O 外
C ．在⊙O 上
D ．在⊙O 外或⊙O 上
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵d ≥R ，
∴点P 在⊙O 上或点P 在⊙O 外．
故选D ．
5．已知⊙O 和⊙O′的半径分别为5cm 和7cm ，且⊙O 和⊙O′相切，则圆心距OO′为（ ） A ．2 cm B ．7 cm C ．12 cmD ．2 cm 或12 cm
【分析】此题考虑两种情况：两圆外切或两圆内切．再进一步根据位置关系得到数量关系．
设两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为d ：外离，则d ＞R +r ；外切，则d=R +r ；相交，则R ﹣r ＜d ＜R +r ；内切，则d=R ﹣r ；内含，则d ＜R ﹣r ．
【解答】解：当两圆外切时，则圆心距等于两圆半径之和，即7+5=12；
当两圆内切时，则圆心距等于两圆半径之差，即7﹣5=2．
故选D ．
6．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，过点O 作OE ∥AC 交半圆O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ．若AC=2，则OF 的长为（ ）
A．B．C．1 D．2
【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．
【解答】解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF=AD=1，
故选C．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，且∠ABC=32°，则∠CDB的度数为（）
A．58°B．32°C．80°D．64°
【分析】由AB是⊙O的直径，可得知∠ACB=90°，根据三角形内角和为180°可求出∠BAC 的度数，再由同弦的圆周角相等得出结论．
【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=58°．
∵∠CDB与∠BAC均为弦BC的圆周角，
∴∠CDB=∠BAC=58°．
故选A．
8．如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC=110°，则∠ABC的度数是（）
A．50°B．55°C．60°D．70°
【分析】由A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOC=110°，根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°．
故B．
9．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB等于（）
A．160°B．80°C．40°D．20°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故选C．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）
A．πB．4πC．πD．π
【分析】首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连结BC．
∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE，
∴OE=OC=OB=2，OC=4．
S阴影==．
故选D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=27°．
【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，
故答案为：27．
12．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形
A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的
性质得出B1B2=A1B1=，A2B2=A1B2=B1B2=，由相似多边形的性质得出正六边形
A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积
=，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积．
【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2=A1B1=，
∴A2B2=A1B2=B1B2=，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（）2=，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6××1×=，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积=×=，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（）3×=；
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积是﹣π．
【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD、CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵BC是切线．
∴∠ACB=90°，∵BC=2，
∴AB=4，AC=6，
∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）
=×6×2﹣×3×3﹣（﹣×32）
=﹣π．
故答案为：﹣π．
14．如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，
OP=4，则弦AB的长2．
【分析】由已知条件可知Rt△POA中，OP=2OA，所以可求出∠P=30°，∠O=60°，再在Rt△AOC中，利用勾股定理求解直角三角形即可得到AB的长．
【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，
∴三角形△POA是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，即OP=2OA，
∴∠P=30°，∠O=60°，
则在Rt△AOC中，OC=OA=1，则AC=，
∴AB=2，
故答案为2．
三．解答题（共6小题）
15．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF==4.8cm．
16．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与底边BC交于M、N两点，且与AB、AC相切于E、F两点，连接AO，与⊙O交于点G，与BC相交于点D．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求扇形OEM的面积．
【分析】（1）根据切线长定理得到AE=AF，∠EAO=∠FAO，根据等腰三角形的性质得到AD ⊥EF，根据三角形的内角和得到∠B=∠C=（180°﹣∠BAC），∠AEF=（180°﹣∠BAC），等量代换得到∠AEF=∠B，根据平行线的性质即可得到结论．
（2）由AG等于⊙O的半径，得到AO=2OE，由AB是⊙O的切线，得到∠AEO=90°，根据直角三角形的性质得到∠EAO=30°，根据三角形的内角和得到∠AOE=60°，由垂径定理得到
DM=MN=，根据三角函数的定义得到∠MOD=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB、AC相切于E、F两点，
∴AE=AF，∠EAO=∠FAO，
∴AD⊥EF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC），
∵AE=AF，
∴∠AEF=（180°﹣∠BAC），
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AG等于⊙O的半径，
∴AO=2OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠EAO=30°，
∴∠AOE=60°，
∵AE=2，
∴OE=2，
∵OD⊥MN，
∴DM=MN=，
∵OM=2，
∴sin∠MOD==，
∴∠MOD=60°，
∴∠EOM=60°，
∴S扇形EOM==π．
17．如图所示，AB是半圆O的直径，∠ABC=90°，点D是半圆O上一动点（不与点A、B重合），且AD∥CO．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）填空：①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；
②当∠BAD=45度时，四边形OBCD是正方形．
【分析】（1）连接OD．只要证明△COD≌△COB，即可推出∠ODC=∠OBC=90°，推出CD是⊙O的切线．
（2））①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；②当∠BAD=45度时，四边形OBCD 是正方形．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AD∥CO，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠DOC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BOC=∠DOC，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；
理由此时AD=OB，AB=OC，△OBC≌△DAB，所以面积相等．
②当∠BAD=45度时，四边形OBCD是正方形．
此时∠DOB=90°，∵∠ODC=∠OBC=90°，
∴四边形OBCD是矩形，
∵OB=OD，
∴四边形OBCD是正方形．
故答案分别为60，45．
18．如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E 点．
（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；
（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．
【分析】（1）连接AD，由CD是⊙O的直径，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根据平行线等分线段定理得到PA=AB；
（2）根据相似三角形的性质得到OB=8，求得AD=4，根据勾股定理得到
AC==4，根据垂径定理得到AE=CE=2，由勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）A是PB的中点，
理由：连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴AD⊥AC，
∵OB⊥AC，
∴AD∥OB，
∵PD=OD，
∴PA=AB，
∴A是PB的中点；
（2）∵AD∥OB，
∴△APD∽△BPO，
∴，
∵⊙O半径为8，
∴OB=8，
∴AD=4，
∴AC==4，
∵OB⊥AC，
∴AE=CE=2，
∵OE=AD=2，
∴BE=6，
∴BC==4．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，⊙O是经过A、B、C三点的圆，CD与⊙O相切
于点C，点P是上的一个动点（点P不与B、C点重合），连接PA、PB、PC．
（1）求证：CA=CB；
（2）①点P满足当AC=AP时，△CPA≌△ABC，请说明理由；
②当∠ABC的度数为60时，四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，由于CA=CB，根据等腰三角形的性质得CE为AB的垂直平分线，则点O在CE上，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，
（2）当AC=AP时，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，则∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根据圆周角定理得∠ABC=∠APC，则∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；（3）如图2，连接OC，AC，OB，根据平行线的性质得到∠BCD=120°，根据切线的性质得到∠OCD=90°，推出BO垂直平分AC，即可得到结论．
【解答】（1）证明：
连接CO并延长交AB于E，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CE⊥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴BC=AC；
（2）解：当AC=AP时，△CPA≌△ABC．
证明如下：∵AC=BC，AC=AP，
∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，
∵∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ACP，
在△CPA与△ABC中，，
∴△CPA≌△ABC；
故答案为：AC=AP；
（3）解：当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形，
如图2，连接OC，AC，OB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠BCO=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=30°，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：60°．
20．（1）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
（2）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长．
【分析】（1）由垂直定义得∠E=∠CFD=90°，根据中线知BD=CD，利用“AAS”证△BED≌△CFD 可得答案；
（2）根据AB是圆的直径，则△ABC是直角三角形，根据∠BAC=2∠B即可求得∠BAC的度数，证得△OAC是等边三角形．再根据PA是圆的切线，可以证得∠P=30°，则可求得OP的长，在直角△OAP中，利用勾股定理即可求得PA的长．
【解答】解：（1）∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F，∴∠E=∠CFD=90°，
∵AD是中线，
∵BD=CD，
在△BED和△CFD中，
∵，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF；
（2）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
又∵∠BAC=2∠B
∴∠B=30°，∠BAC=60°
∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
∴OA=AC=6，∠AOC=60°
∵AP是⊙O的切线．
∴∠OAP=90°
∴在直角△OAP中，∠P=90°﹣∠AOC=90°﹣60°=30°∴OP=2OA=2×6=12，
∴PA===6．。