详解及答案-2019年上海市松江区中考数学一模试卷
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2019年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共6小题,共24.0分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,BC=3,那么∠A的正切值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ tanA=.
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,熟记锐角三角函数的定义内容是解题的关键.
2.如果将抛物线向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的解析式
【详解】解:根据二次函数的解析式形式可得,设顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式为.由原抛物线解析式可得a=1,且原抛物线的顶点坐标为(0,0),向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0),故平移后的解析式为.
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式,根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.
3.下列各组图形一定相似的是()
A. 两个直角三角形
B. 两个等边三角形
C. 两个菱形
D. 两个矩形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义,对应边成比例,对应角相等,对各选项分析判断即可得出答案.
【详解】A.两个直角三角形只有一组角相等,所以不一定相似, 故本选项错误;
B. 两个等边三角形,对应角都是60°,所以一定相似,故本选项正确.
C. 两个菱形,形状不一定相同,故本选项错误;
D.两个矩形四个角相等,但是各边不一定对应成比例,所以不一定相似,故本选项错误;
故选B.
【点睛】本题主要考查相似图形的定义:对应边成比例,对应角相等.
4.在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,如果AD、2、BD、3,那么由下列条件能够判定DE、BC的是()
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当或时,,然后可对各选项进行判断.
【详解】解:当或时,,
即或.
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.
5.已知为单位向量,=,那么下列结论中错误
..的是()
A. ∥
B.
C. 与方向相同
D. 与方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的方向直接判断即可.
【详解】解:为单位向量,=,所以与方向相反,所以C错误,
故选C.
【点睛】本题考查了向量的方向,是基础题,较简单.
6.如图,在中,D、E分别在边AB、AC上,,交AB于F,那么下列比例式中正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系,对各选项分析判断.
【详解】A、∵EF∥CD,DE∥BC,∴,,∵CE≠AC,∴,故本选项错误;
B、∵EF∥CD,DE∥BC,∴,,∴,∵AD≠DF,∴,故本选项错误;
C、∵EF∥CD,DE∥BC,∴,,∴,故本选项正确;
D、∵EF∥CD,DE∥BC,∴,,∴,∵AD≠DF,∴,故本选项错误. 故选C.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用,在解答时寻找对应线段是关健.
二、填空题(本大题共12小题,共48.0分)
7.已知,那么______.
【答案】
【解析】
【分析】
因为,所以,代入求解即可.
【详解】解:因为,所以,原式=.
【点睛】本题考查了代数式求值,同时也可用比例的性质求解.
8.在比例尺为1:50000的地图上,量得甲、乙两地的距离为12厘米,则甲、乙两地的实际距离是______千米.
【答案】
【解析】
【分析】
本题可根据比例线段进行求解.
【详解】解:因为在比例尺为1:50000的地图上甲,乙两地的距离12cm,所以,甲、乙的实际距离x满足12:x=1:50000,即x=12=600000cm=6km.
故答案为6.
【点睛】本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识.
9.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=4,则AB值是_____.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据正弦函数的定义得出sinA=,即,即可得出AB的值.
【详解】∵sinA=,即、
∴AB=10、
故答案为:10、
【点睛】本题考查了解直角三角形,熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键.
10.已知线段AB=2cm,点C在线段AB上,且AC2=BC·AB,则AC的长___________cm.
【答案】
【解析】
【分析】
设AC=x,则BC=2-x,根据AC2=BC·AB列方程求解即可.
【详解】解:设AC=x,则BC=2-x,根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),
解得:x=或(舍去).
故答案为:.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用,关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.
11.已知某二次函数图像的最高点是坐标原点,请写出一个符合要求的函数解析式:_______.
【答案】等
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象最高点是坐标原点,可以得到a<0,b=0,c=0,所以解析式满足a<0,b=0,c=0即可.
【详解】解:根据二次函数的图象最高点是坐标原点,可以得到a<0,b=0,c=0,
例如:.
【点睛】此题是开放性试题,考查函数图象及性质的综合运用,对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.
12.如果点、是二次函数是常数图象上的两点,那么______填“”、“”或“”
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式可知函数图象对称轴是x=0,且开口向上,分析可知两点均在对称轴左侧的图象上;
接下来,结合二次函数的性质可判断对称轴左侧图象的增减性,
【详解】解:二次函数的函数图象对称轴是x=0,且开口向上,
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小,
∵-3>-4,∴>.
故答案为:>.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和数形结合的数学思想.
13.小明沿坡比为1︰的山坡向上走了100米.那么他升高了______米.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值,由勾股定理可得AC、AB的比值,再由AB=100m,即可得出AC的长.
【详解】解:
如图所示,
∵坡比为1︰,
∴
∴(由勾股定理可得)
∵AB=100m,
∴AC=m
故答案为:50.
【点睛】本题考查了坡度的概念和解直角三角形的有关知识.
14.如图,已知直线,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F,如果,,
,那么______.
【答案】
【解析】
【分析】
由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得,又由AC=3,CE=5,DF=4,即可求得BD 的长.
【详解】解:由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,
即可得,
又由AC=3,CE=5,DF=4
可得:
解得:BD=.
故答案为:.
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 15.如图,已知,D、E分别是边AB、AC上的点,且设,,那么______用向量、表示
【答案】
【解析】
【分析】
在△ABC中,,∠A=∠A,所以△ABC△ADE,所以DE=BC,再由向量的运算可得出结果.
【详解】解:在△ABC中,,∠A=∠A,
∴△ABC△ADE,
∴DE=BC,
∴=3=3
∴=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及向量的运算.
16.如图,已知,D、E分别是边BA、CA延长线上的点,且如果,,那么AE的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由DE∥BC不难证明△ABC△ADE,再由,将题中数值代入并根据等量关系计算AE的长.
【详解】解:由DE∥BC不难证明△ABC△ADE,
∵,CE=4,
∴,
解得:AE=
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟记三角形的判定和性质是解题关键.
17.如图,已知,,,D是边AB的中点,E是边AC上一点,,的平分线分别交DE、BC于点F、G,那么的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题中所给条件证明△ADF△ACG,可求出的值.
【详解】解:在△ADF和△ACG中,
AB=6,AC=5,D是边AB的中点
AG是∠BAC的平分线,
∴∠DAF=∠CAG
∠ADE、、C
∴△ADF△ACG
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,难度适中,需熟练掌握.
18.如图,在直角坐标平面xOy中,点A坐标为,,,AB与x轴交于点C,那么AC:BC的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AD⊥y轴,垂足为D,作BE⊥y轴,垂足为E.先证△ADO∽△OEB,再根据∠OAB=30°求出三角
形的相似比,得到OD:OE=2∶,根据平行线分线段成比例得到AC:BC=OD:OE=2∶=
【详解】解:
如图所示:过点A作AD⊥y轴,垂足为D,作BE⊥y轴,垂足为E.
∵∠OAB=30°,∠ADE=90°,∠DEB=90°
、∠DOA+∠BOE、90°,∠OBE+∠BOE、90°
、∠DOA=∠OBE
∴△ADO∽△OEB
∵∠OAB=30°,∠AOB=90°,
∴OA∶OB=
∵点A坐标为(3,2)
、AD=3,OD=2
∵△ADO∽△OEB
∴
∴OE
∵OC∥AD∥BE
根据平行线分线段成比例得:
AC:BC=OD:OE=2∶=
故答案为.
【点睛】本题考查三角形相似的证明以及平行线分线段成比例.
三、解答题(本大题共7小题,共78.0分)
19.将二次函数的解析式化为的形式,并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
【答案】开口方向:向上;点坐标:(-1,-3);称轴:直线.
【解析】
【分析】
将二次函数一般式化为顶点式,再根据a的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴.
【详解】解:,
,
,
、、、、、、、、、、、、、、、-1、-3、、、、、、、、.
【点睛】熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.
20.如图,已知△ABC中,AB=AC=5,cos A=.求底边BC的长.
【答案】
【解析】
【分析】
过点B作BD⊥AC,在、ABD中由cos A=可计算出AD的值,进而求出BD的值,再由勾股定理求出BC的值.
【详解】解:
、、B、BD⊥AC、、、、、D,
、Rt△ABD、、,
∵,AB=5,
∴AD=AB·cos A=5×=3,
∴BD=4,
∵AC=5,
∴DC=2,
∴BC=.
【点睛】本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用.
21.如图,在中,D、E分别是边AB、AC上的点,,点F在线段DE上,过点F作、
分别交BC于点G、H,如果BG:GH::4:求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质证明△ADE∽△FGH,再由线段DF=BG、FE=HC及BG︰GH︰HC=2︰4︰3,可求得的值.
【详解】、、、DE∥BC、、、ADE=∠B,
∵FG∥AB,
∴∠FGH=∠B,
∴∠ADE=∠FGH,
、、、、AED=∠FHG,
∴△ADE∽△FGH,
∴,
∵DE∥BC ,FG∥AB,
∴DF=BG,
、、、FE=HC,
∵BG︰GH︰HC=2︰4︰3,
∴设BG=2k、GH=4k、HC=3k,
∴DF=2k,FE=3k,
∴DE=5k,
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.
22.某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度图中线段MN的长,直线MN垂直于地面,垂足为点在地面A处测得点M的仰角为、点N的仰角为,在B处测得点M的仰角为,米,且A、B、P三点在一直线上请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.
参考数据:,,,,,
【答案】1.8米
【解析】
【分析】
设P A=PN=x,Rt△APM中求得=1.6x,在Rt△BPM中,解得x=3,MN=MP-NP=0.6x=1.8.【详解】在Rt△APN中,∠NAP=45°,
∴P A=PN,
、Rt△APM、、,
设P A=PN=x,
∵∠MAP=58°,
∴=1.6x,
、Rt△BPM、、,
∵∠MBP=31°、AB=5,
∴,
∴x=3,
∴MN=MP-NP=0.6x=1.8、、、,
答:广告牌的宽MN的长为1.8米.
【点睛】熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.
23.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E是对角线AC上一点,且AC·CE=AD·BC.(1)求证:∠DCA=∠EBC;
(2)延长BE交AD于F,求证:AB2=AF·AD.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
、1、、AD∥BC得∠DAC=∠BCA,、∵AC·CE=AD·BC、、∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
(2)由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴,又∵AB=DC,∴
【详解】证明:
(1)∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∵AC·CE=AD·BC,
∴,
∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
(2)∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC,
∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC、AB=DC,
∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴,
∵AB=DC,
∴.
【点睛】本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定,灵活运用所学知识是解题的关键.
24.如图,抛物线经过点A(﹣2,0),点B(0,4).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)P是抛物线对称轴上的点,联结AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求点P的坐标;
(3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位,所得新抛物线与y轴交于点D,过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E,射线EO交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求m的值.
【答案】(1);(2)P(1,); (3)3或5.
【解析】
【分析】
(1)将点A、B代入抛物线,用待定系数法求出解析式.
(2)对称轴为直线x=1,过点P作PG⊥y轴,垂足为G, 由∠PBO=∠BAO,得tan∠PBO=tan∠BAO,即
,可求出P的坐标.
(3)新抛物线的表达式为,由题意可得DE=2,过点F作FH⊥y轴,垂足为H,∵DE∥FH,EO=2OF,∴,∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上,可求得m的值为3或5.
【详解】解:(1)∵抛物线经过点A(﹣2,0),点B(0,4)
∴、、、,
∴抛物线解析式为,
、2、,
∴对称轴为直线x=1、、、P、PG⊥y、、、、、G,
∵∠PBO=∠BAO,∴tan∠PBO=tan∠BAO,
∴,
∴,
∴,
,
∴P、1、、,
、3、、、、、、、、、、、
则,,DE=2
、、F、FH⊥y、、、、、H、、DE∥FH、EO=2OF
∴,
∴FH=1.
点D在y轴的正半轴上,则,
∴,
∴,
∴m=3,
点D在y轴的负半轴上,则,
∴,
∴,
∴m=5,
∴综上所述m、、、3、5.
【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目,整体难度不大,但是非常巧妙,学会灵活运用是关键.
25.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.(1)如果BC=6,AC=8,且P为AC的中点,求线段BE的长;
(2)联结PD,如果PD⊥AB,且CE=2,ED=3,求cosA的值;
(3)联结PD,如果,且CE=2,ED=3,求线段PD的长.
【答案】(1)(2)(3) .
【解析】
【分析】
(1)由勾股定理求出BP的长,D是边AB的中点,P为AC的中点,所以点E是△ABC的重心,然后求得BE的长.
(2)过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F,所以,然后可求得EF=8,所以,所以,因为PD⊥AB,D是边AB的中点,在△ABC中可求得cosA的值.
(3)由,∠PBD=∠ABP,证得△PBD∽△ABP,再证明△DPE∽△DCP得到,PD可求.
【详解】解:(1)∵P为AC的中点,AC=8,
∴CP=4,
∵∠ACB=90°,BC=6,
∴BP=,
∵D是边AB的中点,P为AC的中点,
∴点E、、ABC、、、,
∴,
、2、、、B、BF∥CA、CD、、、、、、F,
∴,
∵BD=DA,
∴FD=DC、BF=AC,
∵CE=2,ED=3,则CD=5,
∴EF=8,
∴,
∴,
∴,设CP=k,则P A=3k,
∵PD⊥AB,D是边AB的中点,
∴P A=PB=3k,
∴,
∴,
∵,
∴,
(3)∵∠ACB=90°,D是边AB的中点,
∴,
∵,
∴,
∵∠PBD=∠ABP,
∴△PBD∽△ABP,
∴∠BPD=∠A,
∵∠A=∠DCA,
∴∠DPE=∠DCP,
∵∠PDE=∠CDP,
△DPE∽△DCP,
∴,
∵DE=3,DC=5,
∴.
【点睛】本题是一道三角形的综合性题目,熟练掌握三角形的重心,三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的关键.。