河南省郑州外国语中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题

河南省郑州外国语中学2020-2021学年九年级上学期第一次
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知
a b =25
，则a b b +的值为( )．
A ．25
B ．35
C ．7
5
D ．
23
2．下列命题中，真命题是（ ） A ．两条对角线垂直的四边形是菱形 B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形 D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
3．如图，ABC 中，//DE BC ，3AD =，5DB BC ==，则DE 的长为（ ）
A ．
158
B ．3
C ．
53
D ．2
4．如图，四边形ABCD 是菱形，DH ⊥AB 于点H ，若AC=8cm ，BD=6cm ，则DH=（ ）
A ．
B ．
C ．
24
5
cm D ．
485
cm 5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m ，宽为4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘
制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）
A．2
6m B．2
7m C．2
8m D．2
9m 6．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是( )
A B
35
C 35
D．不能确定
7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为( )．
A．24 B．25 C．26 D．27
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE BD
⊥，垂足为点E，5
AE=，且2
EO BE
=，则OA的长为（）
A B．C．D
9．如图，一艘船以40k m/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200k m的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500k m，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A ．10
B ．7
C ．6
D ．12
10．已知菱形ABCD ，,E F 是动点，边长为4，,120BE AF BAD =∠=︒ ，则下列结论正确的有几个（ ）
①BEC AFC ∆∆≌； ②ECF ∆为等边三角形 ③AGE AFC ∠=∠ ④若1AF =，则1
3
GF GE = A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（3，2），则对角线AC ＝_____．
12．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____． 13．在ABC 和DEF 中，若1
3
AB BC CA DE EF FD ===，且ABC 的周长等于6，则DEF 的周长等于__________．
14．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到
CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为______．
三、解答题
16．解方程
（1）2x2＋3x－1＝0（用配方法解）（2）5x＋2＝3x2（3）（2x＋3）2＝（x －1）2
17．疫情期间，老师们利用各种直播软件为孩子们进行答疑解惑，给孩子们提供了全方位的帮助和指导，网课的展开也让各种直播软件逐渐进入了大家的视野，初二年级学生会就同学们对各种直播软件的喜爱度展开了调查，随机抽取了部分师生和家长的问卷，并将结果绘制成了不完整的统计图，如图所示，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)这次调查中，一共抽取了人的问卷；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为．
(3)某班被抽的部分问卷中，学生有5人，3名男生，2名女生，现打算从这5名学生中任意抽取2名学生进行电话采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到男女生各一名的概率．
18．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当AM 的值为 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 时，四边形AMDN 是菱形．
19．关于x 的一元二次方程()2
2210m x x --+=有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
20．2021年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价0.5元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
21．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接DE ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜10），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BDE 的面积为7.5cm 2；
（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．
22．（操作发现）如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD ＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为；
②∠AMB的度数为；
（类比探究）如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD
＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算AC
BD
的值及∠AMB的度数；
（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直
线上，CE＝1，BC，求点A、D之间的距离．
参考答案1．C
【分析】
根据比例的性质计算即可；
【详解】
∵a
b
=
2
5
，
∴
527
55 ++
==
a b
b
；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
2．D
【解析】
A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．
3．A
【分析】
根据已知条件得到AB＝8，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AD＝3，BD＝5，
∴AB＝8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：8＝DE：5，
∴DE＝15
8
，
故选A ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长． 4．C 【分析】
根据菱形性质在Rt △ABO 中利用勾股定理求出AB=5，再根据菱形的面积可得AB×DH=1
2
×6×8=24，即可求DH 长． 【详解】
由已知可得菱形的面积为
12
×6×8=24． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠AOB=90°，AO=4cm ，BO=3cm ． ∴AB=5cm ．
所以AB×DH=24，即5DH=24，解得DH=24
5
cm ． 故选C ． 【点睛】
主要考查了菱形的性质，解决菱形的面积问题一般运用“对角线乘积的一半”和“底×高”这两个公式． 5．B 【分析】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】
假设不规则图案面积为x ， 由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：
20
x
， 当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：
0.3520
x
=，解得7x =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 6．C 【分析】
根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可． 【详解】
解：设MP ＝x ，则PN ＝1﹣x ，根据题意得
111
x x
x -=-，
解得，x ＝
3322
-+或
＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP 是长的一段还是短的一段，所以MP 的长也可以为1
． 故选C ． 【点睛】
本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的概念. 7．A 【分析】
根据题意列方程并求解，即可得到答案． 【详解】
根据题意得：()2
1+625m = ∴125m +=或125m +=-（舍去） ∴24m = 故选：A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，即可完成求解． 8．C 【分析】
由矩形的性质得到：,OA OB =设,BE x = 利用勾股定理建立方程求解x 即可得到答案． 【详解】 解：
矩形ABCD ，
,OA OB ∴= 2,EO BE =
设,BE x =
则2,3,OE x OA OB x === AE BD ⊥，
222(3)(2)5,x x ∴=+
2525,x ∴=
x x ∴==
OA ∴=
故选C ． 【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．B 【分析】
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】
解：由题意，作图如下：
设x 小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x 千米，BB′=20x 千米，
∵BC=500km ，AB=300km ，
∴AC=400km ，
∴AE=400-40x ，AB′=300-20x ，
∴AE 2+AB′2=EB′2，
即（400-40x ）2+（300-20x ）2=2002，
解得：x 11472==，x 230152
==（不符合题意，舍去）．
故答案为：B ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．
10．D
【分析】
①易证△ABC 为等边三角形，得AC=BC ，∠CAF=∠B ，结合已知条件BE=AF 可证
△BEC ≌△AFC ；②得FC=EC ，∠FCA=∠ECB ，得∠FCE=∠ACB ，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC 则可得结论；④分别证明△AEG ∽△FCG 和△FCG ∽△ACF 即可得出结论.
【详解】
在四边形ABCD 是菱形中，
∵120BAD ∠=︒，
∴60=︒∠DAC
∵60B ∠=︒
∴B DAC ∠=∠
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC BC =
又BE AF =，
∴BEC AFC ∆∆≌，故①正确；
∴FC EC =，FCA ECB ∠=∠
∴∠FCE=∠ACB=60°
, ∴ECF ∆为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，
又∵∠CEF=∠CAB=60°
, ∴∠BEC=∠AGE ，
由①得，∠AFC=∠BEC ，
∴∠AGE=∠AFC ，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG ∽△FCG ， ∴GE GC AE FC
=， ∵∠AGE=∠FGC ，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC ，
∴△ACF ∽△FCG ， ∴
FC AF GC GF
= ∴GF AF GE AE = ∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3， ∴13
GF GE =，故④正确. 故选D.
【点睛】
本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三
角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
11
【分析】
连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB ABCO是矩形，即可得出对角线AC的长.
【详解】
解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键.
12．1 2
【分析】
画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2， 所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝
24＝12． 故答案为
12
． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 13．18
【分析】
根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】 13AB BC CA DE EF FD ===， D F ABC E ~∴，
ABC ∴的周长与DEF 的周长之比为1:3，
ABC 的周长等于6，
DEF ∴的周长为1863=⨯，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
141
【分析】
如下图所示，△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形，先求出MB=NC=2
，证明△PBC ≌△PEC ，
进而得到EP=BP ，设MP=x ，则，解出x ，最后阴影部分面积等于2倍△BPC 面积即可求解．
【详解】
解：过E 点作MN ∥BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP,如下图所示，
∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC 为等腰直角三角形，
∴， 又BC=AD=CD=CE ，且CP=CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，
∴△PEC ≌△PBC(HL)，
∴PB=PE ，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°
=∠MPE ， ∴△MPE 为等腰直角三角形，
设MP=x ，则，
∵MP+BP=MB ，
∴2x +=，解得22x -=，
∴1=，
∴阴影部分的面积=12211)12∆=⨯⨯⨯=⨯=
PBC S BC BP ．
1．
【点睛】 本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E 点作BC 的平行线，再证明△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长.
15．1或9
4
．
【分析】
分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF 是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．
【详解】
分两种情况进行讨论：①如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形．
由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，
即点P，F，C在一条直线上．
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
CE CE EF ED
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=CD=4，设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4．
在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，
解得：x
9
4
=，即AP
9
4
=；
②如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形．
过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°．又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ =∠ECD ，
∴△FEQ ∽△ECD ， ∴
FQ QE EF ED DC CE ==，即3345
FQ QE ==， 解得：FQ 95
=，QE 125=， ∴AQ =HF 35=，AH 95
=， 设AP =FP =x ，则HP 95=-x ． ∵Rt △PFH 中，HP 2+HF 2=PF 2， 即（
95-x ）2+（35
）2=x 2，解得：x =1，即AP =1． 综上所述：AP 的长为1或94． 【点睛】
本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
16．（1） x 1，x 2＝34--； （2） x 1＝2 ，x 2＝13-；（3） x 1＝23-，x 2＝ － 4
【分析】
（1）配成完成平方公式，再开方解方程；
（2）因式分解法解方程；
（3）利用平方差公式因式分解，再解方程．
【详解】
（1）解：231=22x x +
， 2
34x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
x 1＝34-+，x 2＝34
--； （2）解：()()-2310x x +=，
x 1＝2 ，x 2＝13
-；
（3）解：()()2312310x x x x ++-+-+=， ()()3240x x ++=，
x 1＝23
-，x 2＝ － 4． 【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法是关键．
17．(1)200；(2)条形统计图见解析，144°；(3)
35
【分析】
（1）根据“其他软件”的人数20人和它的占比10%，求出总人数；
（2）用总人数减去已知的几个直播方式的人数，得到“钉钉直播”的人数，再用360︒乘以“钉钉直播”的占比，得到它的圆心角度数；
（3）画树状图，找到符合条件的可能性，求出概率．
【详解】
解：（1）2010%200÷=（人）
故答案是：200；
（2）20040602080---=（人），
喜欢钉钉直播的有80人，
80360144200
⨯=︒︒， 圆心角为144︒，
故答案是：144︒；
（3）树状图如图所示：
抽到男女生个一名的概率=
123205
=． 【点睛】 本题考查统计和概率，解题的关键是掌握条形统计图和扇形统计图的特点，能够画出树状图或列表求概率．
18．（1）见解析；（2）①1.5；②3．
【分析】
（1）求出△DNE ≌△AME ，根据全等的性质得出NE ＝ME ，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM ⊥AB ，根据矩形的判定得出即可；
②求出△ABD 是等边三角形，求出M 和B 重合，根据菱形的判定得出即可．
【详解】
（1）证明：∵点E 是AD 边的中点，
∴AE ＝DE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴DC ∥AB ，
∴∠DNE ＝∠AME ，
在△DNE 和△AME 中
DEN AEM DNE AME DE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DNE ≌△AME （AAS ），
∴NE ＝ME ，
∵AE＝DE，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
∵由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题关键．19．（1）m≤3，m≠2；（2）当m=3时，x1=x2=1
【分析】
（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．
（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．
【详解】
解：(1)∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，
∴△=(-2)2-4(m-2)=4-4m+8=12-4m．
∵12-4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
(2)∵m≤3且m≠2，∴m=1或3，
∴当m=1时，原方程为-x2-2x+1=0. x1，x2.
当m=3时，原方程为x2-2x+1=0. x1=x2=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键．20．（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；（2）当口罩每袋降价3元时，五月份可获利1920元
【分析】
（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋2×40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1＋x）2＝400，
解得：x1＝0．25＝25%，x2＝－2．25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋2·40y）袋，
依题意，得：（14－y－8）（400＋80y）＝1920，
化简，得：y2－y－30＝0，解得：y1＝3，y2＝－2（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价3元时，五月份可获利1920元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（1）t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）存在时间t为50
13
或
80
13
秒时，使得△BDE
与△ABC相似．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【详解】
解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，DF
AG
＝
BD
AB
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴DF
6
＝
10
10
t
解得DF＝3
5
（10﹣t）
∵S△BDE＝1
2
BE•DF＝7.5
∴3
5
（10﹣t）•t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE ＝DE 时，△BDE 与△BCA ， ∴BE AB ＝BD BC 即10
t ＝1016t -， 解得t ＝
5013， ②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，
BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010
t -， 解得t ＝8013
． 答：存在时间t 为
5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似． 【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
22．【操作发现】①AC =BD ；②∠AMB =45°；【类比探究】AC BD =，∠AMB =90°；【实
际应用】【分析】
操作发现:如图（1），证明△COA ≌△DOB （SAS ），即可解决问题．
类比探究:如图（2），证明△COA ∽△ODB ，可得
AC CO BD OD
==，∠MAK ＝∠OBK ，已解决可解决问题．
实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE ，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：操作发现:如图（1）中，设OA 交BD 于K ．
∵∠AOB ＝∠COD ＝45°，
∴∠COA ＝∠DOB ，
∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，
∴△COA ≌△DOB （SAS ），
∴AC ＝DB ，∠CAO ＝∠DBO ，
∵∠MKA ＝∠BKO ，
∴∠AMK ＝∠BOK ＝45°，
故答案为AC ＝BD ，∠AMB ＝45°
类比探究:如图（2）中，
在△OAB 和△OCD 中，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，
∴∠COA ＝∠DOB ，OC ，OA ， ∴OC OA OD OB
=， ∴△COA ∽△ODB ，
∴
AC CO BD OD ==MAK ＝∠OBK ， ∵∠AKM ＝∠BKO ，
∴∠AMK ＝∠BOK ＝90°．
实际应用:如图3﹣1中，作CH ⊥BD 于H ，连接AD ．
在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝90°，∠CDE ＝30°，EC ＝1，
∴∠CEH ＝60°，
∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，
∴EH＝1
2
EC＝
1
2
，
∴CH
在Rt△BCH中，BH
9
2 ==，
∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC
∴AD＝
如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．
同法可得BH＝9
2
，EH＝
1
2
，
∴BE＝9
2
+
1
2
＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC
∴AD＝
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。