高一数学必修一第一学期期末测试卷(人教版浙江)(含答案和解析)

高一数学必修一第一学期期末测试卷（人教版浙江）（含答案和解析）
第I 卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·全国高一课时练习）已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，
，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一月考）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =
B ．3y x =
C ．cos y x =
D ．||y ln x =
3．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数,0()1,0
x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．e
D ．1e -
4.（2020·广东揭阳市·高一期末）已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数
1()log b
g x x =的图象可
能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2020·浙江高一期中）已知函数()1x
f x e =-，()2
2g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，
则实数b 的取值范围是（ ）
A ．()0,2
B ．[]0,2
C ．(1+
D ．1⎡⎣
6．（2020·淮安市阳光学校高一月考）某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
7．（2020·浙江高一期中）已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．(,2)-∞
D ．(,2]-∞
8．（2020·江苏南通市·高二期中）“a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要
D ．既不充分也不必要
9．（2020·全国高一课时练习）定义集合的商集运算为
|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫
==∈∈⎨⎬⎩⎭
，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫
==-∈⎨⎬⎩⎭
，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．（2020·长春市·吉林省实验高一期末（理））已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛
⎫
=++
> ⎪⎝
⎭
同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
是奇函数；③()06f f π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,
12π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
B ．50,
6π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
C ．511,1212ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
第II 卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．
12．（2018·江苏苏州市·高一期末）已知函数232,1,
(),1,
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为
______．
13．（2019·福建漳州市·龙海二中高三月考（文））已知tan()24πα-=，则sin(2)4π
α-的值等于__________．
14．（2020·浙江高一课时练习）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地
震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．
15．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．（2020·全国高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是3
2
，最小值是1
2
-
，则A =_____，B =_____. 17．（2020·浙江高一单元测试）已知4sin 5α
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则cos α=________，tan 2α=________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）计算下列各式的值： （1）()22
2
3
3
27389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2
）9414
5
1log log 3log 5log 272⋅--+. 19．（2020·全国高一单元测试）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．
()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．
20．（2020·湖北荆州市·荆州中学高一期末）（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5
cos 13
α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=
，13cos()14
αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 21．（2020
·北京密云区·高一期末）已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．
22．（2020·浙江高一期中）已知函数2()21
x x
a
f x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；
（2）若0a >时，不等式()
(())20x
f f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．
高一数学必修一第一学期期末测试卷（人教版浙江）（含答案和解析）
第I 卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·全国高一课时练习）已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，
，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】
{}1013M =-，，，，{}13N =-，
{}1M N ∴⋂=
故选：B
2．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一月考）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =
C ．cos y x =
D ．||y ln x =
【答案】D 【解析】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；
对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意； 对于D ，,0
(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩
，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意；
故选：D ．
3．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数,0
()1,0
x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．e
D ．1e -
【答案】B 【解析】
0((1))(0)1f f f e ===，
故选：B
4.（2020·广东揭阳市·高一期末）已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数
1()log b
g x x =的图象可
能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.
∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.
5．（2020·浙江高一期中）已知函数()1x
f x e =-，()2
2g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，
则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2
B ．[]0,2
C ．(12,12+
D ．12,12⎡⎤⎣⎦
【答案】C 【解析】
()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，
解得1212b <故选：C.
6．（2020·淮安市阳光学校高一月考）某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
【答案】B 【解析】
设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，
则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.
7．（2020·浙江高一期中）已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞
【答案】A 【解析】
||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数
当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数 又
不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>==
故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >
故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A
8．（2020·江苏南通市·高二期中）“a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】
∵1
log log log log a b a a b a b b
+=+
，又1,1a b >>，
∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +
≥=当且仅当a b =时等号成立， 而11
,28
a b =
=时有110log log log 2log 3a b a a b a b b +=+
=>，显然1,1a b >>不一定成立； 综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A
9．（2020·全国高一课时练习）定义集合的商集运算为
|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫
==∈∈⎨⎬⎩⎭
，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫
==-∈⎨⎬⎩⎭
，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B 【解析】
∵集合的商集运算为
|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭
， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫
==-∈=⎨⎬⎩⎭
， ∴
{}1,2,3,4,6S
T =， ∴{}0,1,2,3,4,6S
T T
=. ∴集合S
T
T ⋃元素的个数为6个.
故选：B.
10．（2020·长春市·吉林省实验高一期末（理））已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛
⎫
=++
> ⎪⎝
⎭
同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
是奇函数；③()06f f π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,
12π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
B ．50,
6π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
C ．511,1212ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 由t π=，可得
2=2π
πωω
=⇒
因为3y f x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
是奇函数 所以sin 23x πϕ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈
又因为()06f f π⎛⎫<
⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛
⎫
+<+
⎪⎝
⎭
所以k 是奇数，取k=1，此时43
πϕ= 所以函数()5sin 2sin 23
3f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
因为()f x 在[
)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t π
π
π⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭
所以此时432,332t π
ππ⎛⎤
-
∈ ⎥⎝⎦
解得511,612t ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故选D.
第II 卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．
【答案】(,2)-∞ 【解析】
由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞． 12．（2018·江苏苏州市·高一期末）已知函数2
32,1,
(),1,
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2 【解析】
()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得1
2
x =
，符合；当1x >，令22x =，解
得x =()g x 的零点个数为2．
13．（2019·福建漳州市·龙海二中高三月考（文））已知tan()24πα-=，则sin(2)4π
α-的值等于__________．
【答案】
10
【解析】 由tan 1
tan()24
1tan π
ααα
--
=
=+，解得tan 3α=-，
因为22sin(2)2cos 2)(2sin cos cos sin )4
22
π
ααααααα-
=
-=-+
222222
2sin cos cos sin 2tan 1tan 2cos sin 21tan αααααα
ααα
-+-+=⨯=++
222(3)1(3)21(3)10
⨯--+-==
+-． 14．（2020·浙江高一课时练习）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地
震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．
【答案】6，10000 【解析】
根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，
∴6
2101000010
x y ==． 故答案耿：6，10000．
15．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】
因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg3
log 4log 32lg3lg 2
ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.
16．（2020·全国高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是3
2
，最小值是1
2
-
，则A =_____，B =_____. 【答案】
1
2
1- 【解析】
根据题意，得32
1
2A B A B ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩
，解得1,12A B ==-.
故答案为：
1
,12
- 17．（2020·浙江高一单元测试）已知4sin 5α
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则cos α=________，tan 2α=________．
【答案】35
24
7
【解析】
由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，2
42243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 故答案为：
35
；24
7． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）计算下列各式的值： （1）()22
2
3
3
27389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2
）9
4145
1log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）17
4
. 【解析】
（1）根据指数幂的运算法则，可得()22
2
3
3
27389.682-
-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
2333
333(24441399)1[()]22--⎛⎫
=--+ -⎪⎝-+⎭
==.
（2
）根据对数的运算法则，可得9
4145
1log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 241422434
17
22=-⨯+-+=-+-+=.
19．（2020·全国高一单元测试）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．
()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】
()1要使函数有意义，
则{
10
10x x +>->，即{
1
1x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，
则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．
()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，
即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，
01x ∴<<，
即不等式的解集为()0,1．
20．（2020·湖北荆州市·荆州中学高一期末）（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5
cos 13
α=-，求sin α和tan α的值.
（2）已知1cos 7α=，13cos()14
αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12
tan 5α=-（2）3
πβ=
【解析】 （1
）55cos 132
x α=
=-
⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴
12sin 13α=
=
，612
tan 552
α==--；
（2）由1cos 7α=，02πα<<
，得sin 7
α=， 由13
cos()14αβ-=
,02πβα<<<，得02
παβ<-<，
得sin()αβ-=
所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-
11317142
=⨯=， 又02
π
β<<，
∴3
π
β=
.
21．（2020·北京密云区·高一期末）已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．
【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63
k k π
πππ-
+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππ
ππ++ ，
k Z ∈； （2）6
x k π
π=
+或2
x k π
=+π，k Z ∈.
【解析】
（1）2()cos cos f x x x x -
cos 21
222
x x +=
-
1sin 262x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
即()1
sin 262
f x x π⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=. 因为sin y x =的单调增区间为2,22
2k k π
πππ⎡⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈，
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-≤+
，
解得6
3
k x
k π
π
π
π
，k Z ∈.
因为sin y x =的单调减区间为32,22
2k k π
πππ⎡
⎤
+
⎢⎥⎣
⎦
+
，k Z ∈，
令32222
6
2
k x k π
π
πππ-
+
+
≤≤， 解得53
6
k x k π
π
ππ+
+
≤≤，k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为,6
3k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈.
单调递减区间为5,36ππk πk π⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）函数1
()sin 262
f x x π⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭的零点， 令1sin(2)06
2
x π
-
-
=，即1sin(2)62x π-=.
226
6
x k π
π
π-
=
+或5226
6
x k π
π
π-
=
+，k Z ∈ 解得6
x k π
π=
+或2
x k π
=+π，k Z ∈
所以()f x 的零点为6
x k π
π=
+或2
x k π=+π，k Z ∈
22．（2020·浙江高一期中）已知函数2()21
x x
a
f x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；
（2）若0a >时，不等式()
(())20x
f f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）±1；（2）1,5⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）由函数2()21x x
a
f x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121
x x x x
a a
a a ----=⋅+⋅++， 整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；
（2）若0a >，由（1）知1a =，
所以212
()12121
x x x
f x -==-++， 由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>， 又因为
2u 为减函数，所以2
u
-为增函数， 所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，
由()
(())20x
f f x f t +⋅<可得：
()20x f x t +⋅<，
即21+2021
x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <， 令2x s =，则1(,2)2
s ∈， 整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，
若1122t t +-
≤或1
22t t +-≥ 需131
()0242
g t =-<，(2)610g t =+<，
可得11
56
t -≤<-或12t ≤-，
若11222t t +<-
<，需1
()02t g t
+-<， 解得1125
t -<<-，
综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
.。