北师大版九下二次函数应用(2)最大利润
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
北师大版数学九年级下册《利用二次函数解决最大利润问题》课件
解:(1)设 y=kx+b(k≠0),把 x=20,y=360 和 x=30,y=60 代入,得
+ = ,
解得 = -,
+ = ,
= .
则 y 关于 x 的一次函数表达式为 y=-30x+960(10≤x≤32).
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.
x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( D )
A.15元
B.400元
C.800元
D.1 250元
2.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.经调查
发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则
该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的销售单价为(
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大
利润.
解:(2)设销售利润为w元.
由题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25 000=-5(x-75)2+3
125(50<x<100),
∵-5<0,50<x<100,
∴当x=75时,w取得最大值,最大值是3 125.
第3课时
利用二次函数解决最大利润问题
根据二次函数图象的顶点坐标确定最大利润
[例1] (2022滨州)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格
销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出
60件.假定每月的销售件数y(件)是销售价格x(元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数表达式.
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九年数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教案北师大版
第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。
2.4 第2课时 二次函数的应用之最大利润问题 教案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册
2.4 第2课时二次函数的应用之最大利润问题教案一、教学目标1.掌握二次函数的最大值问题的解题思路和方法。
2.理解最大利润问题本质上是在求二次函数的最大值。
3.进一步提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重点1.理解最大利润问题本质上是在求二次函数的最大值。
2.掌握二次函数的最大值问题的解题思路和方法。
三、教学难点掌握并能够灵活运用二次函数的最大值问题解题方法。
四、教学准备黑板、粉笔、教材、练习册。
五、教学过程1. 导入新课教师通过提问引导学生回忆和理解二次函数的基本概念和性质，如二次函数的图像特点、顶点坐标等。
2. 讲解最大利润问题教师提出一个实际问题：某公司生产销售某种产品，在不同价格下的销售量和成本如下表所示：价格（元）销售量（件）成本（元）510040001090450015805000207055002560600030506500教师通过表格让学生分析问题，提问：当价格为多少时，公司的利润最大？3. 解题思路教师引导学生思考，利润=销售收入-成本，而销售收入= 价格× 销售量。
所以利润可以表示为函数 P(价格)=价格× 销售量 - 成本。
4. 求解最大利润问题教师通过将表格中的数据代入函数 P(价格) 计算利润，并绘制函数的图像，让学生观察函数图像的特点。
5. 求解最大值教师引导学生寻找函数图像的最高点，即顶点，解释顶点的概念。
然后，通过二次函数的顶点公式 x = -b/2a，计算出函数 P(价格) 的顶点 x 值，即最大利润对应的价格。
6. 思考拓展教师提出拓展问题：如何求解最小利润问题？让学生通过类似的思路探讨解决最小利润问题的方法，引导学生理解最小利润对应的价格值。
六、课堂练习教师进行课堂练习，通过类似的问题让学生巩固和运用所学知识。
七、课堂总结教师对本节课的内容进行总结，概括最大利润问题的解题思路和方法，强化学生的学习效果。
八、作业布置布置课后作业，要求学生继续解决类似的最大利润问题，并写出解题过程。
九年级数学下册 二次函数的应用——最大利润教案 北师大版 教案
张家口市第五中学教案课题二次函数的应用——最大利润课型复习课时 1教学目标1．巩固并熟练掌握二次函数的性质。
知识：2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
能力:建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力。
思想教育: 从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活。
教学重点巩固并熟练掌握二次函数的性质。
教学难点能够运用二次函数的性质解决实际问题。
教法归纳总结学法类比、分析、应用教具多媒体板书设计二次函数的应用——最大利润教学教程教师活动学生活动矫正反馈一、这节复习课设计意图：二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。
建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力。
从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活。
二、前提测评——设计意图：通过几个习题二次函数复习，使学生回顾二次函数的性质，总结出函数的最值是由此函数的增减性来决定的；当Y随X的增大而增大时，x取最大，Y最大;当Y随X的增大而减小时，X取最小，Y最大。
反之成立。
• 2.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图．演员弹跳离地面的最大高度__ 米 .3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，则该抛物线对应的二次函数解析式____________;该公司在经营此款电脑过程中，第__月的利润最大,最大利润是________万元。
• 4.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。
北师大版数学九年级下册二次函数的应用第2课时何时获得最大利润课件
知识迁移，活学活用
小结：解题的关键是要理清楚材料中的数量 关系，将实际问题转化为数学模型，利用已学的 数学知识解决实际问题.
具体步骤如下： （1）根据题意，列出二次函数表达式，注意 实际问题中自变量x的取值范围. （2）将二次函数表达式配方为顶点式的情势. （3）根据二次函数图象及其性质，在自变量 的取值范围内求出函数的最值.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可 以获利最多？
视察学生，合理指点
解：批发价为x元时，获利y元.
则单件利润为（x-10）元，
降价后的销售量为
5
000
+
13 - x 0.1
×
500
件.
则
y
=
(
x
-
10)
5
000
+
13 - x 0.1
×
500
= 5 000( 000(- x2 + 24x - 140)
= -5 000[( x - 12)2 - 4].
所以，当批发价是12元时，获利最多.
知识迁移，活学活用
某旅社有客房120间，每间房的日租金为 160元时，每天都客满，经市场调查发现，如 果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天 出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每 间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金 的总收入最高？最高总收入是多少？
分析：客房日租金的总收入=客房的日租金 ×客房出租的间数.
知识迁移，活学活用
解：设客房的日租金增加x个10元，则客房每天的 出租数减少6x间，设客房日租金的总收入为y元， 则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440. ∵x ≥0，且120-6x＞0，∴0 ≤ x＜20. 当x=2时， y有最大值19 440. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）. 即旅社将每间客房的日租金提高到180元时，客房 日租金的总收入最高，最高总收入为19 440元.
二次函数的应用第二课时最大利润学年北师大版九年级数学下册课件
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定 为多少元？
解：（2）由题意，得：- 10x²+700x-10000=2000 解得x1=30,x2=40
∴李明想要每月获得2000元的利润， 销售单价应定为30元或40元.
2.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投 放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量 是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系
元时,可以获得最大利润,最大利润是
元.
例题2 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元 时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个 房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据 规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函 数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的 函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多 少元？
出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数
关系是怎样的？
活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则 ①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k
例1 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销
售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000，
2.4.2北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第二课时最大利润
x y 160 x 120 6 当x 20时，y最大 19440 10 这时每间客房的日出租金为160+20=180元 3 x 2 24 x 19200 5
3 x 20 2 19440 5
x 0, 且120 0 x 200
解：设单价是 x 元时可以获利为 y 元. 13-x 则 y=(x - 10)(5000 + 500× )=-5000(x-12)2 +20000 0.1 因此厂家批发单价是 12 元时可以获得最大利润
探究活动一 例2：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都 客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时， 那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客 房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
y=(x-8)[100-10(x-10)] =-10x2+280x-1600
=-10(x-14)2+360
解：设每间客房的日租金提高 x 个 10 元， 则每天客房出租数会减少 6x 间。 设客房日租金总收入为 y 元 则 y=(160+10x)(120-6x)= - 60(x-2)2+19440 ∵x≥0,且 120-6x>0 ∴0≤x<20 ∵- 60<0 ∴当 x=2 时，y 有最大值 19440。 这时每间客房的日租金为 160+10×2=180 元。 客房总收入最高为 19440 元。 答：每Байду номын сангаас客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金总收入 最高为 19440 元。
b b 4ac b 2 对称轴是直线 x 顶点坐标是 , 2a 2a 4 a b 4ac b 2 当x 时, y有最大或最小值 . 2a 4a
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案一. 教材分析《二次函数的应用——何时利润最大》这一节内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数在利润最大化问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求解利润最大值，可能对学生来说较为复杂。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，利用已学的二次函数知识进行求解。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，求解利润最大值。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，利用二次函数求解利润最大值。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，分析问题，解决问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.练习题：准备一些相关的练习题，让学生在课堂上进行操练。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如一家企业的利润与销售量之间的关系，引出二次函数在实际问题中的应用。
让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的利润最大化问题，如一家企业的利润与生产成本、销售价格之间的关系。
引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数的表达式。
3.操练（10分钟）让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的练习题，巩固所学知识。
数学北师大版九年级下册最大利润型的应用
九年级 数学
第二章 二次函数
2.6 何时获得最大利润 某大型商场的杨总到 T恤衫部去视察，了解的情况 如下：已知成批购进时单价是20元．根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单 价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就 可以多销售200件．于是杨总给该部门王经理下达一 个任务，马上制定出获利最多的销售方案，这可把王 经理给难住了？你能帮他解决这个问题吗？
九年级 数学
第二章 二次函数
2.6
何时获得最大利润
）
顶点式：y=a(x-h)2+k, 顶点坐标为（
一般式：y=ax2+bx+c，顶点坐标为（
）
二次函数的应用 例 (2014· 徐州 )某种商品每天的销售利润 y(元)与 销售单价 x(元 )之间满足关系： y＝ ax2＋ bx－ 75，其图 象如图所示． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天 的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于 16 元？
• 某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，根 据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨1元，月销量就减少10千克.针对这 种水产品的销售情况，请解决下列问题： • （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月 销售利润； • （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求 y与x间的函数关系式； • （ 3 ）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下， 使得月利润最大，销售单价应为多少？最大利润是多 少？
务 )．
(1)求日销售量 y(件)和销售价 x(元/件)之间的函数 关系式； (2)若该店暂不考虑偿还债务，当天的销售价为 48 元/件时，当天正好收支平衡(收入＝支出)，求该店员 工的人数； (3)若该店只有 2 名员工， 则该店最早需要多少天能 还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
北师大版九年级数学下册：第2课时最大利润问题课件
随堂演练
1.服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销 售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( A )
A．150 C．170
B．160 D．180
2.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能 卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销 售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利 润为_(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为_(_2_0_+_x_)_件，则每日的利润y(元) 关于x(元)的函数关系式是y=_-_x_2_+_1_0_x_+_6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价__5_元时，每日获得 的最大利润为_6_2_5_元．
解：将这个函数关系式配方，得y=-100(x-12)2+225. 函数开口向上，顶点坐标是（12，225）， ∵ 0 ≤ x≤2，
∴x= 12时，函数值取得最大值，最大值为y=225.
因此，当这种商品的售价降低1
2
元时,能使销售利润最大，最大利润
为225元 .
课堂小结
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 涨价销售
20 20+x
300 300-10x
6000 y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量降落，因此只要考虑
销售中的常用数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）单件利润=售价-进价. （3）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
九年级数学下册 二次函数二次函数的应用商品利润最大问题练习北师大版
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时 商品利润最大问题1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。
若每件商品的售价为x 元，则可卖处(350-10x)件商品。
商品所获得的利润y 元与售价x 的函数关系为（ ）A 、2105607350y x x =--+B 、2105607350y x x =-+-C 、210350y x x =-+D 、2103507350y x x =-+-2.某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）A 、130元B 、120元C 、110元D 、100元3.已知卖出盒饭的盒数x （盒）与所获利润y （元）满足关系式：21200357600y x x =-+-，则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。
4.某旅馆有30个房间供旅客住宿。
据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。
该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。
当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？5.最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。
经市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售量x （元）有如下的关系：w=-2x+80。
设这种产品每天的销售利润为y （元）。
（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？6.与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。
经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式2=-++，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。
【赛教教案】新北师版九年级数学下册课题：二次函数的应用(二) 最大利润教学设计
课题：二次函数的应用(二) 最大利润【学习目标】1．正确分析和把握利润最大化问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．2．学会如何建立数学模型解决最优化问题，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．【学习重点】应用二次函数解决实际问题中的最值．【学习难点】正确理解题意，找准数量关系．情景导入 生成问题旧知回顾：1．填空：销售利润＝销售总额－总成本＝销售数量×每件利润2．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售量x(件)满足关系式y ＝－x 2＋50x －500，则要想获得最大利润每天必须卖出( B )A ．20件B ．25件C ．30件D ．40件自学互研 生成能力知识模块 利用二次函数解决最大利润问题阅读教材P48～P49，完成下面的内容：利用二次函数求利润问题的一般步骤是：答：(1)设未知数x 引入自变量；(2)用含x 的代数式表示每件利润及销售量；(3)用函数y 及含x 代数式分别表示销售利润列出函数关系式；(4)根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．范例1：儿童商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获得50%，商场现决定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系为y ＝20＋4x(x>0)．(1)求M 型服装的进价；(2)求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润W 的最大值．解：(1)设进价为a 元，则a(1＋50%)＝75×80%，解得a ＝40，∴M 型服装进价40元；(2)W ＝(20＋4x)(60－40－x)＝－4x 2＋60x ＋400＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x －1522＋625， ∵－4<0，∴当x ＝7.5元时，W 最大＝625(元)．仿例1：某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出，若每床每晚上收费提高2元，则减少10张床位的租出，若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( A )A．4元或6元 B．4元C．6元 D．8元仿例2：出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．仿例3：为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？解：(1)由题意得，y＝700－20(x－45)＝－20x＋1600；(2)P＝(x－40)(－20x＋1600)＝－20x2＋2400x－64000＝－20(x－60)2＋8000，∵x ≥45，a＝－20<0，∴当x＝60时，P最大值＝8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元；(3)由题意，得－20(x－60)2＋8000＝6000，解得x1＝50，x2＝70.∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20<0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1600＝440，即超市每天至少销售粽子440盒．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块利用二次函数解决最大利润问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2020版九年级北师大数学下册：第二章 二次函数第2课时 最大利润问题
第2课时最大利润问题◇教学目标◇【知识与技能】1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题;2.初步掌握用二次函数的图象和性质解决最大利润问题的一般步骤和方法.【过程与方法】经历用二次函数解决实际问题的过程,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数模型解决实际问题.【情感、态度与价值观】通过研究生活中的实际问题,体会数学建模的思想,激发学生的兴趣和欲望,体会数学在生活中广泛的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】构建数学模型——二次函数,并利用二次函数的图象和性质解决最大利润问题.【教学难点】构建数学模型——二次函数,并利用二次函数的图象和性质解决利润最大问题.◇教学过程◇一、情境导入服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销1000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销100件.你能帮助厂家分析,批发单价是多少时可以获利最多吗?二、合作探究探究点1最大利润问题典例1服装厂生产某品牌的T恤衫,每件成本是10元,根据调查,服装厂以批发单价13元给经销商,经销商愿意经销1000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销100件,所以服装厂打算既不亏本,又要低于13元的单价批发给经销商.(1)求服装厂获得利润y(元)与批发单价x(元)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)服装厂批发单价是多少时,可以获得最大利润?最大利润是多少?[解析](1)由题意可得y=[1000+1000×(13-x)](x-10)=-1000x2+24000x-140000(10≤x<13). (2)y=-1000x2+24000x-140000=-1000(x-12)2+4000,∵a=-1000<0,且对称轴为直线x=12,∴当x=12时,y取最大值,最大值为4000元,答:服装厂批发单价是12元时,可以获得最大利润,最大利润是4000元.解决最大利润问题的基本思路:(1)根据实际问题列出二次函数关系;(2)根据二次函数的增减探究点2抛物线形物体的二次函数问题典例2某游乐园圆形喷水池中心的喷水头离地面的高度为m,其喷出的水柱呈抛物线状,喷出的水柱距池中心4 m处达到最高,高度为6 m.如图,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(1)求该抛物线的表达式;(2)试求喷出的水柱落地点A离池中心O的距离.[解析](1)由题意设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+6,将代入,得=a(0-4)2+6,解得a=-,故该抛物线的表达式为y=-(x-4)2+6.(2)由题意,当y=0时,0=-(x-4)2+6,解得x1=10,x2=-2(不合题意舍去).答:喷出的水柱落地点A离池中心O的距离为10 m.变式训练某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)利用函数表达式描述橙子总产量与增种橙子树的棵数之间的关系式;(2)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系;(3)增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?[解析](1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树,∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子,则平均每棵树结(600-5x)个橙子.设果园橙子的总产量为y,∴y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.(2)图象如图所示.(3)由题意及(1)得y=-5x2+100x+60000=60400,整理得x2-20x+80=0,解得x1=10+2,x2=10-2,∵抛物线对称轴为直线x=10,∴增种6到14棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60400个以上.三、板书设计最大利润问题◇教学反思◇本节课以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题,前后呼应.体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.本节课采用“引导——探究——发现”的教学方式,结合T恤衫销售、橙子产量等实际问题的探究,希望通过师生互动、生生互动共同解决问题,提高课堂教学效率,也体现了教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念.。
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3、“种多少课橙子树”的问题中，我们得 到表示增种橙子树的数量x（棵）与橙子总 产量y（个）的二次函数表达式
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000
(1)求何时橙子的总产量最大，最大是多少？ (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产 量在60420个以上？
1、某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人 单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即 旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当 一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最 大营业额？ 2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长 方形的长时8m，宽是2m，抛物线可以用 1 2 y= x 4表示。 4 （1）一辆货运车高4m,宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双向行车道，。长 方形的长时8m，宽是2m，抛物线可以用y= 1 x 2 4
4
表示。
（1）一辆货运车高4m,宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运 车是否可以通过？
1、某旅社有客房120间，每件房的日租金为 160元时，每天都客满。经市场调查发现， 如果每间客房的日租金每增加10元时，那么 客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因 素，旅社将每间客房的租金提到多少元时， 客房日租金的总收入最高？
2、服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10 元。根据市场调查，以单价13元批发给经销 商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件 降价0.1元，愿意多经销500件。求厂家批发 单价是多少时可以获利最多？