角的平分线 教学课件

2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于 点P，若PC＝4.则点P到AB的距离为____4___.
B
P
A
C
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3.如图，∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D，若QC=QD, 则∠AOQ=__3_5_°____.
1.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图：① 以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于 1 EF的长为半径画弧，两弧相交于点
2
G;③作射线AG交BC边于点D，则∠CDA的度数为__6_5_°____.
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A
D C
E
B
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尺规作角平分线
练一练：用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则 能说明∠AOC=∠BOC的依据是( A ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
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A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 角平分线的性质定理
练一练：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=6cm，则PE=____6__cm.
B D
M P
A
EC
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 角平分线性质定理的逆定理
B
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
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角平分线的性质定理
问题2 运用所学知识证明你的猜想.
已知：如图， OC是 ∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.
A
D C
P
O
E
B
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新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 角平分线的性质定理
问题1 角是轴对称图形吗？将∠AOB对折，你发现了什么？ A
O
B
归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
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角平分线的性质定理
问题1.1 如图，在∠AOB中，OC平分∠AOB.在OC上任取一点P，过点P画
出OA，OB的垂线,分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什
么结论？ A
D C
PD=PE
P
O
EB
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角平分线的性质定理
问题1.2 在OC上多取几个点进行测量和比较，得到的结论一致吗？试着
猜想角的平分线的性质.
D' A
D C
P P'
PD'=PE'
O
E E'
C'
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角平分线的性 质定理
角平分线上的点到角两边的 距离相等
角的平分线
角平分线性质 定理的逆定理
到角的两边距离相等的点在 角平分线上．
尺规作角平分线
尺规作角平分线
问题1 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶
点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你
能说明它的道理吗?
A
C
两个三角形三边对应相等，两个三角形全等，两全
等三角形的对应角相等.所以AE就是角平分线
想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分 D 线吗？
A 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′,
∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的
平分线，且AD=A′D′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
B
D
C
A'
B'
D'
C'
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证明：∵∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是
∴ PD=PE，
B
∴点P在∠A的角平分线上.
P FC
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 角平分线性质定理的逆定理
归纳：三角形的平分线：
三角形的三条角平分线_交__于__一__点__，并且这点到三边
的距离_相__等___. 即PD=_P_E__=__P_F__.
A
D
N
F PM
B
C
E
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角平分线性质定理的逆定理
例 已知：如图，△ABC的两内角∠B，∠C 的角平分线相交于点P. 求证：点P在∠A的角平分线上.
证明：分别过点P做PD⊥AB于点D， PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.
A
D
E
∵ ∠B，∠C 的角平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
九年级数学上册人教版
第十六章 轴对称和中心对称
16.3 角的平分线
知识要点
1 2 3
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画一画：试着将下图中的角平分.
45° 22.5°
30° 15°
想一想：除了使用量角器，你还有其他更为准确的方法吗？
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B E
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尺规作角平分线
问题2 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧， 分别交OA，OB于点D，E.
（2）分别以点D，E为圆心，适当长为半O
径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为所求.
证明：在△PDO和△PEO中， ∠1= ∠2， ∠PDO= ∠PEO=90°， OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
1 2
O
A
D C
P
E
B
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归纳：
角平分线的性质定理：
角_平__分__线__上__的点到这个角的两边的距离_相__等__.
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4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，
DE＝2，AB＝4，则AC的长是( D )
A．6 B．5 C．4
A E
D．3
B
D
C
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5.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
角平分线的性质定理(几何语言)：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥_O_A__,PE⊥_O_B__，
O
∴PD = _P_E__．
DA PC
EB
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角平分线的性质定理
练一练：如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB，垂足为 D,则PC与PD的大小关系是( B )
∠BAC,∠B′A′C′的角平分线，∴∠BAD=∠B′A′D′.
A
又∵∠B=∠B′,AD=A′D′,
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS),∴AB=A′B′, 在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′,
B
D
C
A'
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
B'
D'
问题1.1 写出角平分线的性质定理的逆命题. 如果角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上
问题1.2 这个逆命题是否正确？ 猜想：这个逆命题正确 问题1.3 设法验证你的猜想.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 角平分线性质定理的逆定理
归纳： 角平分线性质定理的逆定理： 到角的两边 距离相等 的点在角平分线上．