北师大版高中数学必修3第1章《平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差》练习

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 【解析】 平均值的大小与方差的大小无任何联系，故A 错，由方差的公式s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]知C 错．对于D ，方差大的表示其射击环数比较分散，而非射击水平高，故D 错．
【答案】 B
2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为 ( )
A ．21
B ．22
C ．20
D ．23
【解析】 由中位数的概念知x ＋23
2＝22，所以x ＝21. 【答案】 A
3．(2016·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图1-4-3所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )
图1-4-3
A ．中位数为83
B ．众数为85
C ．平均数为85
D ．方差为19
【解析】易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.
【答案】 C
4．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()
A．1.54 m B．1.55 m
C．1.56 m D．1.57 m
【解析】x＝300×1.60＋200×1.50
300＋200
＝1.56(m)．
【答案】 C
5．为了普及环保知识，增强环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图1-4-4所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()
图1-4-4
A．m e＝m0＝x
B．m e＝m0＜x
C．m e＜m0＜x
D．m0＜m e＜x
【解析】由图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9
分、2个人得10分，中位数为第15、16个数的平均数，即m e＝5＋6
2＝5.5,5出
现次数最多，故m0＝5.x＝1
30(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9
＋2×10)≈5.97.
于是m 0＜m e ＜x . 【答案】 D 二、填空题
6．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数的茎叶图如右图1-4-5所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________．
图1-4-5
【解析】 由茎叶图可知，学生甲的演唱分数分别为79,83,84,86,84,88,93，去掉一个最高分和一个最低分后，得分如下：83,84,84,86,88，则平均数为85，方差为s 2＝1
5×[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋12＋32]＝3.2.
【答案】 85,3.2
7．一组数据的方差为s 2，将这一组数据中的每个数都乘2，所得到的一组新数据的方差为________．
【解析】 每个数都乘以2，则x ＝2x ， S ＝1
n [(2x 1－2x )2＋…＋(2x n －2x )2] ＝4
n [(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2. 【答案】 4s 2
8．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
【解析】 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数． 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＋x 3＋x 44
＝2，x 2＋x 3
2＝2，
即⎩⎨⎧
x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，
x 2＋x 3＝4，
又x1、x2、x3、x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3. ∵s＝
1 4[]
(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝1，
∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
由此可得4个数分别为1,1,3,3.
【答案】1,1,3,3
三、解答题
9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
(1)求这50
(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
【解】(1)平均数x＝1
50×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝
185
50＝3.7.
众数是3，中位数是4.
(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为
s2＝1
50×[6×(2－3.7)
2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝1
50×48.5＝
0.97.
所以标准差s≈0.985.
10．(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．
【解】 (1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：
(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为：
120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2
＋320(30－32)2＋1
20(30－40)2＝12.6.
[能力提升]
1．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图1-4-5所示的茎叶图．考虑以下结论：
图1-4-5
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为()
A．①③B．①④
C．②③D．②④
【解析】甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.
【答案】 B
2．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人口，年人均收入如下表所示，年人均食品支出如图1-4-6所示．则该县()
图1-4-6
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
【解析】 由图表可知年人均收入为(2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3)÷40＝7 050(元)>7 000元，达到了标准①；年人均食品支出为(1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9)÷40＝2 695(元)，则年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%>35%，未达到标准②.所以不是小康县．
【答案】 B
3．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数为10，方差为4，则xy ＝________. 【解析】 由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
9＋10＋11＋x ＋y
5
＝10，
1
5[(9－10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(x －10)2
＋(y －10)2
]＝4.
化简得x ＋y ＝20， ① (x －10)2＋(y －10)2＝18， ② 由①得x 2＋y 2＋2xy ＝400， ③ 代入②化简得xy ＝91. 【答案】 91
4．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
(1)甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
【解】 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他
对本阶段的学习内容掌握较好．
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。