2019届宁夏银川一中高三第二次模拟考试数学(理)试题

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 银川一中第二次模拟考试 )
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．如果复数
i
ai
+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．3
D ．-3
2．若{}{}
0,1,2,|2,a
A B x x a A ===∈，则A
B =
A ．{0,1,2} B. {0,1,23}， C. {0,1,24}， D. {1,24}，
3. 向量)3,1(),,2(-==b t ，若b
,的夹角为钝角，则t 的范围是 A ．t<
32 B ．t>32 C ．t<3
2
且t≠-6 D ．t<-6 4．直线kx-2y+1=0与圆x 2+(y-1)2=1的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组， 则不同的选法共有
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 A
．16B
．12+C
．18+D
．16+7. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3
对称的函数是
A ．y=2sin(2x+3π)
B ．y=2sin(2x-6π)
C ．y=2sin(32π+x )
D ．y=2sin(2x-3
π
) 8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，
日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,i S S ,i 2120=-=< B ．i i ,i
S S ,i 21
20=-=≤
C ．1220+==
<i i ,S S ,i D ． 12
20+==≤i i ,S S ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(5
3
)-=+απ，则tan2α的值为
A ．
5
4
B ．7
23
-
C ．7
24
-
D ．9
24-
10．已知函数x
x x f -+=
)1ln(1
)(，则)(x f y =的图像大致为
A. B. C. D.
11．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛
物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1， ③
11FB A ∠=
2
π
，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为
x
x
x
x
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
12．已知函数ax x e x f x
-=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1
221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为
A ．],(e -∞
B ．),(e -∞
C ．)2,(e -∞
D ．]2
,(e -∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(x+y)(2x-y)5
的展开式中x 3y 3
的系数为_______.
14．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=
c=7，且ΔABC 的面积为
2
3
3，b a +的值为_______. 15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________.
16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0
B
0，0），C （0，1，0），D
1
为______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17．(12分)
设数列{}n a 满足23
11+=+n n a a ，41=a (1)求证：数列{a -3}n 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T . 18．(12分)
为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
频率
组距
0.012 0.015 0.018 0.024
A
B
C
D
P
N
M
(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u (精确到个位) ; (2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N (u ,2σ)(u =0u ,σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； (i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位)；
(ii)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，将频率近似看作概率，求Y 的分布列及数学期望E (Y ). (说明：(1)(11σ
μ
-ϕ-=>x x X P 表示X >x 1的概率.参考数据：)4.0)6554.0(,6.0)7257.0(=ϕ=ϕ 19．(12分)
如图，PA⊥矩形ABCD 所在平面，PA=AD ，M 、N 分别 是AB 、PC 的中点.
（1）求证：MN ⊥平面PCD;
（2）若直线PB 与平面PCD
所成角的正弦值为10
, 求二面角N-MD-C 的正弦值. 20．(12分)
动点M(x,y)满足6)22()22(2222=++++-y x y x (1)求动点M 轨迹C 的标准方程；
(2)已知D(22,0),直线l ：k kx y 22-=，直线l 交C 于A,B 两点，设=λ且1<λ<2，求k 的取值范围. 21．(12分)
已知函数x x x f 1ln )(+=
，2
21ln )(2a
ax x x x g +-=，)(R a ∈. (1)讨论函数)(x f 的单调性；
(2)若函数)(x g 有两个极值点，试判断函数)(x g 的零点个数.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的
第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的方程为
1)1(22=+-y x ，2C 的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于零的直线.
（1）求1C 与2C 的极坐标方程；
（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求OB
OA
3-
的取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲](10分) （1）,c b a ,R c ,b ,a 1=++∈+且已知证明
；91
11≥++c
b a （2）,ab
c ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明c
b a
c b a 111++≤
++.
银川一中2019届高三第二次模拟数学(理科)参考答案
一、选择题：(每小题5分，共60分)
二、填空题：(每小题5分，共20分)
13. 40 14.5 15. 21n - 16. 92
π 三、解答题：
17：解：（1） 23
11+=+n n a a ，41=a
∴)3(3
131-=-+n n a a ，故{}3-n a 是首项为1，公比为3
1
的等比数列，
（2）由（1）知
1313-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a 故n T =3n+）（110313131-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n =3n+3
1-131-1n
⎪⎭⎫ ⎝⎛=3n+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 31-123 18. 解：
19.解：如图，取PD 中点E ，连接EN,AE.
(1) 证明：
M,N,E 为中点，
∴EN AM, EN=AM= 1
2
AB,
∴AMNE 是平行四边形，MN AE
又
CD ⊥AD,CD ⊥PA
∴CD ⊥面PAD, ∴面P CD ⊥面PAD
PA=AD,E 为中点，AE ⊥面P CD
∴MN ⊥面PCD,
（2）建立如图所示坐标系，设PA=AD=2，AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知MN ⊥面PCD,
∴(2,0,2),(0,1,1)PB t MN =-=
直线PB 与平面PCD
所成角的正弦值为
10
, ∴由
10
PB MN PB MN
∙=
t=2. 设(,,),m x y z m =⊥平面NMD ，则
(2,2,0),(0,1,1)DM MN =-= 由00
DM m MN m ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得(1,1,1),3,m m =-= AP ⊥面CMD, (0,0,2)AP =,设二面角N-MD-C 为θ，θ为锐角则
3cos sin APm AP m θθ=
=
∴=
20.解（1）解:M 点的轨迹是以(22,0),(-22,0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为
19
22
=+y x
()2解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由=λ
得y 1=λ-y 2
由1<λ<2得k ≠0
由y=kx-22k 得x=
k
k
y 22+代入1922=+y x 整理(1+9k 2)y 2+42ky-k 2
显然的判别式∆>0恒成立
由根与系数的关系得y 1+y 2=2
19k -
+
y 1y 2=2
2
19k k -+......④
由
得)91)(1(2421k k y +-=
λλ， )
91)(1(2422
k k
y +--=λ代入④ 整理得 2132
)1(329122-+=
-=
+λ
λλλk
设f(λ)=21
-+
λ
λ,则利用导数可以证明f(λ)在（1,2）上为增函数故得0< f(λ)<
2
1 所以291k +>64即k 的取值范围是k>7或k<7-
21解：（1）：由题意可知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2
ln )(x x
x f -='， 当)1,0(∈x 时：0)(>'x f ，所以)(x f 单调递增； 当),1(+∞∈x 时：0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；
（2）：由题意得：01ln )(=-+='ax x x g 有两个不同的零点，即a x
x =+1
ln 有两个不同的根设为21x x <； 由(1)得x
x x f 1
ln )(+=
，当)1,0(∈x 时)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时)(x f 单调递减； 有0)1(=e
f ，1)1(=f 当),1(+∞∈x 时0)(>x f ，所以)1,0(∈a 时有2110x x <<<使
a x x =+111ln ，a x x =+2
21
ln 且函数)(x g 在)(),0(21∞+，，x x 单调递减，在),(21x x 单调递增， 现只需比较)(1x g ，)(2x g 的正负进而确定零点个数。

有221ln )(21111a ax x x x g +-
=且111ln x x a +=；221ln )(22222a
ax x x x g +-=且2
21ln x x a +=
令：t t t t t t h 21ln 21ln 21)(++-=则021(ln )(2
2≥-='t
t t t h ）
所以函数)(t h 在),0(∞+上单调增，所以101<<x 时0)1()()(11=<=h x h x g
12>x 时0)1()()(22=>=h x h x g
又0→x 时02
)(>→
a
x g ，+∞→x 时-∞→)(x g ，所以函数有三个零点。

22.解：（1）曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=
2C 的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θ
θρsin cos 3
+=
（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=20πααθ，，
联立1C 与3C 的极坐标方程⎩
⎨⎧==αθθ
ρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA
联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩
⎪⎨⎧
α
=θθ+θ=
ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3
所以⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+α=α-α-α=-
4223cos sin cos cos OB OA
又⎪⎭
⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈- 23. 证明： （1）因为
=++++++++=++c
c
b a b
c b a a c b a c b a 111 =++++++++111c
b
c a b c b a a c a b 时等号成立，当c b a a
c
c a b c c b b a a b ==≥++++++93 （2）因为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()
a b c c
b a ++
≥++∴1
11
当c b a ==时等号成立，即原不等式成立。