密度函数详解

P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = 1−α
置信区间或区间估计. θ1 置信下限 θ2 置信上限
θ ∈Θ
则称 (θ1, θ2 ) θ 的置信概率为1 - α 的 为
ch7-75
几点说明
置信区间的长度 θ2 −θ1 反映了估计精度 θ2 −θ1越小, 估计精度越高.
α 反映了估计的可靠度, α 越小, 越可靠. α 越小, 1- α 越大, 估计的可靠度越高,但 这时, θ2 −θ1 往往增大, 因而估计精度降低. α 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
S S X − tα (n −1) , X + tα (n −1) L L (4) L 2 2 n n
∗ ∗
ch7-85
推导
选取枢轴量 T =
X −µ S / n
∗
~ t (n −1)
X −µ 由 ∗ P ≥ tα (n −1) = α 确定 t α (n −1 ) 2 2 S / n
6
由给定数据算得
x =14.95
1 6 2 ∗2 2 ∗ s = (∑xi − 6x ) = 0.051. s = 0.226 5 i=1
ch7-89
由公式 (4) 得 µ 的置信区间为 ∗ ∗ S S ( X − t0.025 (5), X + t0.025 (5) ) 6 6 = (14.71, 15.187 ) (3) 选取枢轴量χ 2 = 查表得 χ
ch7-94
未知, ③ σ ,σ 未知 n, m > 50, µ1 − µ2的置信区间
L L (6) L
ch7-92
② σ ,σ
2 1
2 未知( 2 未知
但 σ = σ =σ ) µ1 − µ2的置信区间
2 1 2 2 2
∗2 1
σ 2 σ 2 (n −1)S ~ χ 2 (n −1) X − Y ~ N(µ1 − µ2 , + ) σ2 n m ∗2 (m −1)S2 2 ~ χ (m −1) ( X − Y ) − (µ1 − µ2 ) 2 ~ N(0,1) σ 1 1 ∗ (n −1)S1∗2 (m −1)S22 + σ + ~ χ 2 (n + m − 2) 2 2 n m σ σ
2
置信下限 X − uα
2
S n S n
= 75.8 −1.96×
12.03 50 12.03 50
= 72.465, = 79.135,
置信上限 X + uα
2
= 75.8 +1.96×
所求置信区间为 ( 72.465, 79.135)
ch7-81
若母体 X ~ B(1, p ) , 容量为 n的子样中 恰有 m 个1，试对 p 作区间估计.
( X −Y ) − (µ1 − µ2 ) 1 1 (n −1)S + (m −1)S + n m n + m− 2
∗2 1 ∗2 2
~ t(n + m − 2)
ch7-93
P
( X −Y ) − (µ1 − µ2 ) 1 1 (n −1)S + (m −1)S + n m n + m− 2
∗2 1 ∗2 2
< tα = 1−α 2
µ1 − µ2 的置信区间为
1 1 ( X −Y ) ± tα (n + m − 2) + W 2 n m
(n −1)S + (m −1)S 其中 W = n + m− 2
∗2 1 ∗2 2
L (7) L
ch7-88
1 由给定数据算得 x = ∑xi = 14.95 6 i=1 由公式 (3) 得 µ 的置信区间为 ( 14.95 −1.96×0.1, 14.95 +1.96×0.1) = ( 14.75, 15.15 )
X −µ ~ t(5) 查表 t0.025(5) = 2.5706 (2) 取 T = S 6
1 ⇒ U = X − µ ~ N (0, 1) X ~ N µ, 1 5 5
取 查表得
α = 0.05
uα / 2 = 1.96
ch7-70
X −µ 这说明 P ≥1.96 = 0.05 1 5
X −1.96 1 ≤ µ ≤ X +1.96 1 = 0.95 即 P 5 5
5S
∗2
5S∗2
2 0.025
(5) =12.833, χ
5S
∗2
σ
2
~ χ 2 (5) ,
S = 0.051.
(5) = 0.831
∗2
2 0975
由公式 (5) 得σ 2 的置信区间为
(
χ
2 0.025
(5)
,
χ
2 0.975
(5)
) = ( 0.0199, 0.3069 )
ch7-90
(二) 两个正态母体的情形 二
ch7-68
§2.3
区间估计
引例 已知 X ~ N ( µ ,1), µ 的无偏、有效点估计为 X 常数 随机变量
不同样本算得的 µ 的估计值不同， 因此除了给出 µ 的点估计外, 还希望根据 所给的子样确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含 µ 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
X −µ g(X1, X2,L, Xn , µ ) = ~ N(0, 1) 1/ 5
ch7-78
给定置信度 1 − α ,定出常数 a , b ,使得
P(a < g( X1, X2 , Xn ,θ ) < b) = 1 −α
( 引例中 a = −1.96, b =1.96) 由 a < g( X1, X2 , Xn ,θ ) < b 解出 θ1 , θ2 得置信区间(θ1, θ2 ) 引例中
X −µ
σ0 / n
~ N(0,1)
ch7-84
X −µ 由 P ≥ uα = α 确定 uα σ / n 2 2 0
解
X −µ
σ0 / n
< uα
2
得 µ 的置信概率为 1−α 的置信区间为
( X − uα
2
σ0
n
,
X + uα
2
σ0
n
)
(2) 方差σ 2未知 , µ 的置信区间
( X1, X2 ,L, Xn )为取自母体 N ( µ1, σ 12 ) 的子样,
(Y ,Y2 ,L,Ym ) 为取自母体 N ( µ2, σ 22 ) 的子样, 1
X, S ; Y , S 分别表示两子样的均值与方差
∗2 1
∗2 2
置信概率为 1 − α
已知, ① σ ,σ 已知 考虑 µ1 − µ2的置信区间
~
( X − uα
2
S n
, X + uα
2
S n
) L L (1) L
ch7-80
例1 从学校新生中随机地选50名,进行田径 项目测试, 由测试成绩得子样均值 x = 75.8, 子样方差 s2 = 144 . 72 . 求全校新生平均田径 成绩的置信区间, 置信概率为95%. 解 uα = u0.05 = 1.96, s = 12.03 .由(1)式得
(θ1, θ2 ) = ( X −1.96 1 , X +1.96 1 ) 5 5
ch7-79
置信区间常用公式
大子样) 一. 非正态母体的情形 (大子样 大子样 设母体的期望 EX = µ与方差 DX = σ 2 均未知, 用大子样( n ≥ 50 )对 µ 作区间估计. X − µ 近似 取 U= N( 0, 1) S/ n 由 P( U < uα / 2 ) = 1−α 得 µ 的置信区间
2 1 2 2
ch7-91
X ~ N(µ1,
σ12
n
), Y ~ N(µ2 ,
2 σ2
m
) X,Y 相互独立,
( X −Y ) − (µ1 − µ2 )
2 σ12 σ2
~ N(0,1)
n
+
m
µ1 − µ2 的置信区间为
2 2 2 2 (X −Y ) − uα σ1 + σ2 , (X −Y ) + uα σ1 + σ2 2 2 n m n m
ch7-82
例2 自一大批产品中抽取100个样品, 其中 有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的 置信度为0.95的置信区间. 解 将 n = 100, m = 60, uα = 1.96 代入(2)式得
2
m 1 m m m 1 m m − uα 1− , + uα 1− n 2 n n n n 2 n n n
(n −1)S 2 2 P(χ1−α < < χα ) = 1 − α 2 2 2 σ
得 σ 2 的置信区间为
α
2
(n −1)S ∗2 (n −1)S ∗2 L L (5) , 2 L 2 χα (n −1) χ α (n −1) 1− 2 2
• α χ2 1−α
-2 2
2 2
1 2 uα
2
-2 u1−α
-1
= 3.92
2
0.4 0.3 0.2 0.1
u2α − u1−α = 1.84 − (−2.13)
3 3
= 3.97
1
-2 u1−α
-1
u2α2
3
3
ch7-74
置信区间的定义
设 θ 为待估参数, α 是一给定的数, ( 0<α<1). 若能找到统计量 θ1, θ2 , 使
ch7-72
问题
1.
n与α确定后,置信区间是否唯一？ 2.为何要取 uα / 2 ？
答复
1. 不唯一. 2. 当置信区间为 ( X − uα 15 , X + uα 15 ) 时,
2 2
区间的长度为 2uα
2
1 —— 达到最短. 5
ch7-73
0.4 0.3 0.2 0.1
取 α = 0.05
uα − u1−α = 1.96 − (−1.96)
常选最小的一个.
ch7-76
处理“可靠性与精度关系”的原 则 先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch7-77
求置信区间的步骤
寻找一个子样的函数
g( X x , X2 ,L, Xn ,θ ) — 称为枢轴量
它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由θ 的点估计出发考虑 ). 例如 X～ (µ , 1/ 5) N 取枢轴量
4
6
8
2
2
• 2 χα
2
10
ch7-87
例3 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( µ,σ 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 (1) 若σ 2=0.06, 求µ 的置信区间 置信概率 2未知,求 µ 的置信区间 (2) 若σ 均为0.95 (3) 求方差σ 2的置信区间. 解 (1) X ~ N(µ, 0.06 / 6) 即 N(µ,0.01 ) X −µ ~ N(0,1) uα = u0.025 = 1.96 2 0.1
m 1 X = ∑X i = n i=1 n
n
1 m m 2 2 m m S = ∑Xi − X = − = 1− n i=1 n n n n
n 2
2
代入(1)式得
m 1 m m m 1 m m − uα 1− , + uα 1− (2) n 2 2 n n n n n n n
= ( 0.504, 0.696)
注 另一解法见后面附录
ch7-83
二. 正态母体的情形 (一) 一个正态总体的情形 一 (1) 方差σ 2已知 µ 的置信区间 已知, σ0 σ0
( X − uα
2
n
, X + uα
2
nபைடு நூலகம்
) L L (3) L
推导 由 X ~ N(µ ,
σ
2 0
n
) 选取枢轴量
g( X1, X 2 ,L, Xn , µ) =
故µ
∗ ∗ S S 的置信区间为 X − tα2 (n −1) , X + tα2 (n −1) n n
ch7-86
(3) 当 µ 未知时 方差σ 2 的置信区间 未知时, 选取 χ 2 =
(n −1)S ∗2
σ2
∗2
~ χ 2 (n −1) 则由
0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025
称随机区间 X −1.96 15 , X +1.96 15
为未知参数 µ 的置信度为0.95的置信区间.
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置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数 µ 的真值, 而包含真值的区间占95%. 若测得 一组样本值, 算得 x = 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含µ 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 µ 的真值.