2017-2018学年贵州省遵义高二上期末数学试卷(文科)含答案解析

2017-2018学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．（5分）设集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）
A．m≥3 B．m≤1 C．m≥1 D．m≤3
2．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1
3．（5分）已知，，则tanθ=（）
A．﹣2 B．C．D．
4．（5分）下列说法正确的是（）
A．f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），则f（x）≥0的充分条件是b2﹣4ac≤0
B．若m，k，n∈R，则mk2＞nk2的充要条件是m＞n
C．对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，
D．m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α∥β
5．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）
A．12πB．πC．8πD．4π
6．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）
A．B．1 C．D．2
7．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．2
8．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a1+4a9=a17，则=（）
A．9 B．C．D．
9．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．B．C．2 D．
11．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）
A．B．2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，若向量与垂直，则m=．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．
15．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．
16．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．
三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
18．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．
19．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)
90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2，D是A1B的中点，E是B1C1的中点（I）证明：DE∥平面ACC1A1；
（II）若三棱锥E﹣DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
21．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为．
（I）求双曲线C的方程；
（II）直线l：y=kx﹣1与双曲线C交于P，Q两点，试探究，是否存在以线段PQ为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；
（I）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+2g（x）]f（x）的最值；
（II）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
2017-2018学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．（5分）设集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤1 C．m≥1 D．m≤3
【解答】解：∵集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，
∴m≥3．
∴m的取值范围是m≥3．
故选：A．
2．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1
【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．
故选C．
3．（5分）已知，，则tanθ=（）
A．﹣2 B．C．D．
【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，
则tanθ==﹣，
故选：C．
4．（5分）下列说法正确的是（）
A．f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），则f（x）≥0的充分条件是b2﹣4ac≤0
B．若m，k，n∈R，则mk2＞nk2的充要条件是m＞n
C．对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，
D．m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【解答】解：对于A，当a＜0时，由b2﹣4ac≤0不能得到f（x）≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”错误．
对于B，若m，k，n∈R，由mk2＞nk2的一定能推出m＞n，但是，当k=0时，由m＞n不能推出mk2＞nk2，故B错误，
对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02＜0”，故C错误，
对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，
故选：D
5．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）
A．12πB．πC．8πD．4π
【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π．
故选：A．
6．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）
A．B．1 C．D．2
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），
曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，
代入C得：P点纵坐标为2，
故k=2，
故选：D
7．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．2
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：a=，
故选：A．
8．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a1+4a9=a17，则=（）
A．9 B．C．D．
【解答】解：∵3a1+4a9=a17，
∴4a1+4a9=a1+a17，
即4（a1+a9）=2a9，
即4a5=a9，
则====，
故选：C
9．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，
故选B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，
若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D 错误，
故选B．
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．B．C．2 D．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：
故其体积V==，
故选：A
11．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；
x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B 错误，A正确．
故选：A．
12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）
A．B．2 C．2 D．3
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l
可知：，解得M（3，2）．
可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，
则M到直线NF的距离为：=2．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，若向量与垂直，则m=7．
【解答】解：∵向量，
∴=（m﹣1，3），
∵向量与垂直，
∴（）•=﹣1×（m﹣1）+2×3=0，
解得m=7．
故答案为：7．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣5．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
15．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．
【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）
=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．
令t=sinx，t∈[﹣1，1]，
则原函数化为y=，
∴当t=1时，y有最大值为．
故答案为：5．
16．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线
C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，
取A（，），设垂心H（0，），
则k AH==，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S
△ABC
==1．
18．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．
【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，
n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，
相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n
﹣1
）=4a n，
化为：（a n+a n
﹣1）（a n﹣a n
﹣1
﹣2）=0，
∵a n＞0，∴a n﹣a n
﹣1﹣2=0，即a n﹣a n
﹣1
=2，
又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．
∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
（2）b n===，
∴数列{b n}的前n项和=+…+
=
=．
19．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)
90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2，D是A1B的中点，E是B1C1的中点（I）证明：DE∥平面ACC1A1；
（II）若三棱锥E﹣DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，连接AB1，AC1，…（1分）
由题意知D是AB1的中点，
又E是B1C1的中点，
所以在△B1AC1中，DE∥AC1，…（3分）
又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1．…（5分）
解：（Ⅱ）V E
=V D﹣EBC，…（6分）
﹣DBC
∵D是AB1的中点，∴D到平面BCC1B1的距离是A到平面BCC1B1的距离的一半，
如图，作AF⊥BC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF⊥平面BCC 1B1，
设底面正三角形边长为a，则三棱锥D﹣EBC的高h=AF=，…（9分）
，
∴=2=，…（11分）
解得a=2．
∴该正三棱柱的底面边长为2．…（12分）
21．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为．
（I）求双曲线C的方程；
（II）直线l：y=kx﹣1与双曲线C交于P，Q两点，试探究，是否存在以线段PQ为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），则有c=，=，c2=a2+b2，
得a=，b=1，所以双曲线方程为2x2﹣y2=1．
（Ⅱ）由得（2﹣k2）x2+2kx﹣2=0，
依题意有
解得﹣2＜k＜2且k≠，①
且x1+x2=，x1x2=，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
依题意有OP⊥OQ，所以•=x1x2+y1y2=0，
又y1y2=（kx1﹣1）（kx2﹣1）=k2x1x2﹣k（x1+x2）+1，
所以﹣+1=0，
化简得k=0，
符合①，所以存在这样的圆．
22．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；
（I）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+2g（x）]f（x）的最值；
（II）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x；h（x）=[f（x）+2g（x）]f（x）
∴
又h（x）在上[1，4]单调递减，
∴，；
（Ⅱ）由，得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k•log2x
令t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]
所以（3﹣4t）（3﹣t）＞k•t对t∈[0，2]恒成立．
①当t=0时，k∈R；
②当t∈（0，2]时，，令
由于r（t）在递减，在递增．
所以，则k＜﹣3；综上知k∈（﹣∞，﹣3）．。