新人教版必修四高中数学情境互动课型第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例
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_1_0_N_____．
解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力 所成的角都相等，且等于 60°，故每根绳子的拉力都是 10N. 故填 10N.
例 2.如 图 ， 一 条 河 的 两 岸 平 行 ， 河 的 宽 度 d=500 m， uu r
一 艘 船 从 A处 出 发 到 河 对 岸 .已 知 船 的 速 度v1 =10km/h， uu r
【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【互动探究】
用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所 示，已知灯具的重量为 10N，则每根绳子的拉力大小是
探究点1 （长度问题） 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么
对角线AC的长是否确定？
提示：确定
D
C
A
思考2:在平行四边形ABCD中，设向量
四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
uuu r r uuur r
解 ： 设ABa,ADb，
uuur r r uuur r r
则 ACab,DBab.
A
B
uuur 2 uuur uuur r r r r AC AC AC (a b)(a b)
rr rr rr rr aaabbabb
【即时训练】
如图所示，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，
【 |2AbraBr解|＝ · 2＝ b析 则 而 又 r25＋ ， 】 B||→ AB－ → → D|C对 设 Db2＝ r||2角 A2ar＝ → |＝ 2aDr＝ ·线|b＝ － raa5rrB＝ ＋＋ ba2rrD－42， ， ＝ b， rar2AA→ 2→ |所 · ar2B.bC＝ r求·＝ 以 ＝＝ br对 arb2ar6r＋ 2角， a＋ r， ＋线 b·r2bbrra2rA＝ ＝ . C·br1| 的 a.r＋长 |2 b－ r．22＝ar|
【变式练习】
一艘船用 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶， 航船实际航行方向与水流方向成 30°角，求水流速度与 船的实际速度． 【解析】如图，O→A表示水流速度，O→B表示船向垂直 于对岸行驶的速度，O→C表示船实际速度，∠AOC＝ 30°，|O→B|＝5km/h.
∵四边形 OACB 为矩形， |O→A|＝ta|An→C30| °＝ta|On→3B0| °＝5 3(km/h)， |O→C|＝c|oO→ s3A0| °＝10(km/h)， ∴水流速度为 5 3km/h，船实际速度为 10km/h.
3
3
3
故 A R R T T C .
【方法规律】
利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理， 将问题转化为求m，n的值，是处理线段长度关系的一种常用手 段.
【变式练习】
如图所示，四边形 ABCD 是菱形，AC 和 BD 是它的 两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
证明：∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0. ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD.
何？
| F1 |
提| 示G:|
,
2 cos
2
增函数
0 1 8 0
思考4: | |有F1最小值吗？| |与| |F可1 能相等G
吗？为什么？
ur
提示:
ur
G
0o时， F1 最小，最小值为 ,
2
ur ur
120o时， F1 G.
用向量解力学问题 对物体进行受力分析 画出受力分析图 转化为向量问题
r2 r r r2 a 2ab b (1)
同 理 u D u u B r2 a r2 2 a rb r b r2 ( 2 )
注意这种求模的 方法
(1) (2)得
AC
2
2
DB
2
2( a
2
b)
2
2
2( AB AD ).
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和 的两倍.
r u u r 解 ： 由 已 知 条 件 得 v v 2 0 . |v r | |v u u r 1 | 2 |v u u r 2 | 2 9 6 ( k m / h ) ,
所 以 td r 0 .5 6 0 3 .1 (m in ). |v| 9 6
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.
解析： A→B2＝(O→B－O→A)2＝O→B2＋O→A2－2O→A·O→B， 又∵|O→B|＝10，|O→A|＝14， ∴A→B2＝100＋196－2×14×10×cos60°＝156， ∴|A→B|＝2 39. ∴此时甲、乙两人之间的距离为 2 39km.
5.已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P，求点 P 的轨迹方程． 【解题关键】代入法求轨迹方程
思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，
那么| |F，1 | |，Gθ之间的关系如何？
F
提示:
|F1 |= 2c|oGs|θ， 2
θ
F1
F2
0 1 8 0
G
思考3:上述结论表明，若重力 一定，则G拉力的大小是关于夹角
θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面 几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平 面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法 在平面几何中的运用.
例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF
分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
D
F
C
T
E
R
A
B
解 ： 设 A u u B u r a r , A u u D u r b r , A u u R u r r r , 则 A u u C u r a r b r .
由于
A与uuRur
uuur
共线A，C 故设
r r n (a r b r),n R ，
因为 E u u B u rA u u B u rA u u E u ra r1b r,
又因为 E uuR 共ur与 线，E uuB ur
2
所以设 E u u R u rm E u u B u rm (a r1b r).
uuur r r | A C | a b
rr (a b)2
即（a b）2 4,
2
2
a 2a b b 4,
2
2
a 2a b b 4,
r2
r r r2
a 2a b b
r2
r r r2
a 2a b b 6.
所以a b 1 . 2
【变式练习】
求证：直径所对的圆周角为直角．
[证明] 则A→B＝
ar设＋A→Obr＝，arO→， C＝ O→Bar＝，brB→C，＝
ar
－
r b
，
|
ar
|＝|
r b
|.
因为A→B·B→C＝(
ar
＋
r b
)·( ar
－
r b
rr )＝| a |2－| b
|2＝0，
所以A→B⊥B→C.所以∠ABC＝90°.
因 为 向 量 a r , b r 不 共 线 ,
n m 0，
所
以
n
m 1 2
0.
解得：n m=1.
所 以 A u u R u r 1 A u u C u r,同 3理 T u u C u r 1 A u u C u r,于 是 R u u T u r 1 A u u C u r.
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】 ∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0， ∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．
B
4.如图，已知甲、乙两人同时从 O 出发，甲行走 10 km 到达 B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角 为 60°，乙走了 14 km 后到 A 处，求此时甲、乙两 人之间的距离．
什么？向量DB 等于什么？
AC
B
AB 则a， 向A量D 等b于
提示:
DB a b, AC a b.
r
r rr
rr
思 考 3利 用 a 2 ,b 1 ,a -b 2 ,如 何 求 a b ?
u u u r A C 等 于 多 少 ？
提示:
由 a b 2, 得 a b 2 =4
探究点2 利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生 活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？
提示：夹角越大越费力.
思考1:若两只手臂的拉力为
物体F的1，重F2力，为
G,
那么 F1， 三F2个，G力之间具有什么关系？
提示: F1＋F2＋G 0.
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是 向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内 在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又 是一个值得探讨的课题.
日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一
r ·b ＋ r a |2＋
所以|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
ห้องสมุดไป่ตู้
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 A u u C u r 型A u u ，B u r 如 图A u u D u ，r , D u u B u r A u u B u r u A u D u r , 你能发现平行
uur uur
uur uur
1.在 四 边 形 ABCD中 ABBC=0， 且 AB=DC， 则 四 边 形
ABCD是 （B ）
A.平 行 四 边 形
B.矩 形
C.菱 形
D.正 方 形
2．在△ABC 中，若(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
则△ABC 为( C )
A．正三角形
B．直角三角形
设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用 P的坐标表示R点的坐标， 之后代入已知直线方程化简即得。
【解析】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 ,物体受到 F
的重力为 G.
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 的
F1
大小与两绳之间的夹角θ的关系？
1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂直等问题. 2.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问 题.(重点、难点） 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用 向量方法研究物理中相关问题的步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的 概念和向量运算的认识.（难点）
u u u r u u u r u u u r 2
因为 A R A E E R ，
所以 rr1b rm(a r1b r).
2
2
因 此 n (a r b r) 1 b r m (a r 1 b r) ，
2
2
即 (n m )a r (n m 1 )b r 0 r. 2
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题. （2）通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题. （3）把运算结果“翻译”成几何元素.
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
水 流 速 度v2 =2km/h， 问 行 驶 航 程 最 短 时 ， 所 用 的
时 间 是 多 少 (精 确 到 0.1 min)？
C
·B
D
A
C
B
·
D
v v1
A
v2
r uur uur
分析：如图，已知v
uur
uur
v1
v2，
v1 10km/ h, v2 2km/ h，
r uur
v v2，求t.
解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力 所成的角都相等，且等于 60°，故每根绳子的拉力都是 10N. 故填 10N.
例 2.如 图 ， 一 条 河 的 两 岸 平 行 ， 河 的 宽 度 d=500 m， uu r
一 艘 船 从 A处 出 发 到 河 对 岸 .已 知 船 的 速 度v1 =10km/h， uu r
【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【互动探究】
用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所 示，已知灯具的重量为 10N，则每根绳子的拉力大小是
探究点1 （长度问题） 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么
对角线AC的长是否确定？
提示：确定
D
C
A
思考2:在平行四边形ABCD中，设向量
四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
uuu r r uuur r
解 ： 设ABa,ADb，
uuur r r uuur r r
则 ACab,DBab.
A
B
uuur 2 uuur uuur r r r r AC AC AC (a b)(a b)
rr rr rr rr aaabbabb
【即时训练】
如图所示，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，
【 |2AbraBr解|＝ · 2＝ b析 则 而 又 r25＋ ， 】 B||→ AB－ → → D|C对 设 Db2＝ r||2角 A2ar＝ → |＝ 2aDr＝ ·线|b＝ － raa5rrB＝ ＋＋ ba2rrD－42， ， ＝ b， rar2AA→ 2→ |所 · ar2B.bC＝ r求·＝ 以 ＝＝ br对 arb2ar6r＋ 2角， a＋ r， ＋线 b·r2bbrra2rA＝ ＝ . C·br1| 的 a.r＋长 |2 b－ r．22＝ar|
【变式练习】
一艘船用 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶， 航船实际航行方向与水流方向成 30°角，求水流速度与 船的实际速度． 【解析】如图，O→A表示水流速度，O→B表示船向垂直 于对岸行驶的速度，O→C表示船实际速度，∠AOC＝ 30°，|O→B|＝5km/h.
∵四边形 OACB 为矩形， |O→A|＝ta|An→C30| °＝ta|On→3B0| °＝5 3(km/h)， |O→C|＝c|oO→ s3A0| °＝10(km/h)， ∴水流速度为 5 3km/h，船实际速度为 10km/h.
3
3
3
故 A R R T T C .
【方法规律】
利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理， 将问题转化为求m，n的值，是处理线段长度关系的一种常用手 段.
【变式练习】
如图所示，四边形 ABCD 是菱形，AC 和 BD 是它的 两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
证明：∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0. ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD.
何？
| F1 |
提| 示G:|
,
2 cos
2
增函数
0 1 8 0
思考4: | |有F1最小值吗？| |与| |F可1 能相等G
吗？为什么？
ur
提示:
ur
G
0o时， F1 最小，最小值为 ,
2
ur ur
120o时， F1 G.
用向量解力学问题 对物体进行受力分析 画出受力分析图 转化为向量问题
r2 r r r2 a 2ab b (1)
同 理 u D u u B r2 a r2 2 a rb r b r2 ( 2 )
注意这种求模的 方法
(1) (2)得
AC
2
2
DB
2
2( a
2
b)
2
2
2( AB AD ).
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和 的两倍.
r u u r 解 ： 由 已 知 条 件 得 v v 2 0 . |v r | |v u u r 1 | 2 |v u u r 2 | 2 9 6 ( k m / h ) ,
所 以 td r 0 .5 6 0 3 .1 (m in ). |v| 9 6
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.
解析： A→B2＝(O→B－O→A)2＝O→B2＋O→A2－2O→A·O→B， 又∵|O→B|＝10，|O→A|＝14， ∴A→B2＝100＋196－2×14×10×cos60°＝156， ∴|A→B|＝2 39. ∴此时甲、乙两人之间的距离为 2 39km.
5.已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P，求点 P 的轨迹方程． 【解题关键】代入法求轨迹方程
思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，
那么| |F，1 | |，Gθ之间的关系如何？
F
提示:
|F1 |= 2c|oGs|θ， 2
θ
F1
F2
0 1 8 0
G
思考3:上述结论表明，若重力 一定，则G拉力的大小是关于夹角
θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面 几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平 面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法 在平面几何中的运用.
例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF
分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
D
F
C
T
E
R
A
B
解 ： 设 A u u B u r a r , A u u D u r b r , A u u R u r r r , 则 A u u C u r a r b r .
由于
A与uuRur
uuur
共线A，C 故设
r r n (a r b r),n R ，
因为 E u u B u rA u u B u rA u u E u ra r1b r,
又因为 E uuR 共ur与 线，E uuB ur
2
所以设 E u u R u rm E u u B u rm (a r1b r).
uuur r r | A C | a b
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即（a b）2 4,
2
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a 2a b b 4,
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2
a 2a b b 4,
r2
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a 2a b b
r2
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a 2a b b 6.
所以a b 1 . 2
【变式练习】
求证：直径所对的圆周角为直角．
[证明] 则A→B＝
ar设＋A→Obr＝，arO→， C＝ O→Bar＝，brB→C，＝
ar
－
r b
，
|
ar
|＝|
r b
|.
因为A→B·B→C＝(
ar
＋
r b
)·( ar
－
r b
rr )＝| a |2－| b
|2＝0，
所以A→B⊥B→C.所以∠ABC＝90°.
因 为 向 量 a r , b r 不 共 线 ,
n m 0，
所
以
n
m 1 2
0.
解得：n m=1.
所 以 A u u R u r 1 A u u C u r,同 3理 T u u C u r 1 A u u C u r,于 是 R u u T u r 1 A u u C u r.
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】 ∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0， ∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．
B
4.如图，已知甲、乙两人同时从 O 出发，甲行走 10 km 到达 B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角 为 60°，乙走了 14 km 后到 A 处，求此时甲、乙两 人之间的距离．
什么？向量DB 等于什么？
AC
B
AB 则a， 向A量D 等b于
提示:
DB a b, AC a b.
r
r rr
rr
思 考 3利 用 a 2 ,b 1 ,a -b 2 ,如 何 求 a b ?
u u u r A C 等 于 多 少 ？
提示:
由 a b 2, 得 a b 2 =4
探究点2 利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生 活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？
提示：夹角越大越费力.
思考1:若两只手臂的拉力为
物体F的1，重F2力，为
G,
那么 F1， 三F2个，G力之间具有什么关系？
提示: F1＋F2＋G 0.
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是 向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内 在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又 是一个值得探讨的课题.
日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一
r ·b ＋ r a |2＋
所以|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
ห้องสมุดไป่ตู้
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 A u u C u r 型A u u ，B u r 如 图A u u D u ，r , D u u B u r A u u B u r u A u D u r , 你能发现平行
uur uur
uur uur
1.在 四 边 形 ABCD中 ABBC=0， 且 AB=DC， 则 四 边 形
ABCD是 （B ）
A.平 行 四 边 形
B.矩 形
C.菱 形
D.正 方 形
2．在△ABC 中，若(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
则△ABC 为( C )
A．正三角形
B．直角三角形
设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用 P的坐标表示R点的坐标， 之后代入已知直线方程化简即得。
【解析】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 ,物体受到 F
的重力为 G.
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 的
F1
大小与两绳之间的夹角θ的关系？
1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂直等问题. 2.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问 题.(重点、难点） 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用 向量方法研究物理中相关问题的步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的 概念和向量运算的认识.（难点）
u u u r u u u r u u u r 2
因为 A R A E E R ，
所以 rr1b rm(a r1b r).
2
2
因 此 n (a r b r) 1 b r m (a r 1 b r) ，
2
2
即 (n m )a r (n m 1 )b r 0 r. 2
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题. （2）通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题. （3）把运算结果“翻译”成几何元素.
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
水 流 速 度v2 =2km/h， 问 行 驶 航 程 最 短 时 ， 所 用 的
时 间 是 多 少 (精 确 到 0.1 min)？
C
·B
D
A
C
B
·
D
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A
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分析：如图，已知v
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v1 10km/ h, v2 2km/ h，
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