高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度

1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
BUCT
谢 谢！
BUCT
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2

P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
BUCT
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
f, y
f z

l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值Biblioteka BUCT1. 定义
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
BUCT
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad
f

f x
,f y
,f z

• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)

lim
0
f
(x

x,
y

y, z

z)

f
(x,
y,
z)
记作


f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
BUCT
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
BUCT
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
可微函数 f (P)
(势)
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
x
y
z

o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
y
z
BUCT
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0

y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时, 有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 f f
2
l x
2. P73 题 16
BUCT
解答提示: 1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
BUCT
(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
BUCT
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
BUCT
备用题 1. 函数 处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
BUCT
2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
BUCT
思考与练习 1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
BUCT
一、问题的提出
实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意 一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬 行才能最快到达较凉快的地点？
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
BUCT
实例1的求解
3
金属板上各点的温度为 T (x, y) k x2 y2
各点的梯度为
grad
T
(x,
y)



(x2
kx y2
)3 2
2.5
3
2
2.5
12.5
Z
1.51
1
0.5
0.5
30
0 2.50.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
55
2 1.5
4 3 2
Y
11
X

(x2
ky y2
)3 2

等值线方程为 x2 y2 (k / c)2.
BUCT
结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
BUCT
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2

f
(r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r

grad
f
(r)


f
(r)
i

f
(r)
j


f
(r)
k
z
x
y
z
P

f (r) 1 (x
BUCT
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为

u l
P
2xyz
2 14
x2y
3 14

BUCT
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为

x y

则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
l
P
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
y
4
3.5
3
2.5
-grad f 2
1.5
grad f
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
BUCT
结论:
等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动
西
实点 例军 二校
地
形
图
BUCT
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即

f, x
f, y
f z

同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
BUCT
对函数
z

f
(x,
y) ,曲线
BUCT
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E

4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u

q
4 r
r
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
2. P73 题 16
u

2x0

2x0 a2

2 y0

2 y0 b2

2z0

2z0 c2

n M0
2
x02 a4

y02 b4

z02 c4
2
x0 2 a4

y02 b4

z02 c4
BUCT
作业 P51 2，3，6，7，8，9，10
0


4

q

r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
BUCT
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为, , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
BUCT
示意图
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行
问题：何为温度变化最剧烈的方向？
BUCT
实例二 西点军校地形图
观 察 支 流 的 流 动 方 向
BUCT
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处