同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分
§ 1对弧长地曲线积分
计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程
x =x t L ：
y =y t
x = x(t ) L:<y = y(t )
"z(t )
L
f x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限
1.计算下列对弧长地曲线积分
<1) \(x 2
y 2)2
ds ,其中 L 为圆周 x 2
y 2
=a 2
； 解：法一：Q|jx
2
+y 2)2ds = |J L (a 2)2
ds
二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5
法二：
_L x =acosv L: 0 心：:2
二,
匸(x 2 y 2)2
ds
2
二 2 2 2 2 2
[a cos ： a si n ] -asi n
a cos d ：
2
二 5 . 5
ad^ - 2「a
<2) \e x y
ds ,其中L 为圆周x 2
■ y 2
=a 2
,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形
b
a 兰t 兰
b ,则(f (x, y ps= f a f
(x (t ), y(t
d
d
b
a
f
xt ,y t ,zt
解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中
故口 e^iy
ds=e a
(2+ — a) -2
匕 4
<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2
-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;
「X =x
解：由 L:
2
0<x<1，得
、y=2x -1
l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx
2 3
_2(1+
16x
)2
o_17用-1 -
32
-
48
<4) L y 2
ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2
ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]
2
a si nt^dt
2TI 5
=V2a 3「(1 —cost)2dt
x = x x = a cos
—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:
,0
, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2
f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dx
oA
-0
a
o
a
二
AB
e
y ds 二
AB
e ds
二 e AB
ds
4
<或]e x 七ds
■AB
=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos
日 j d 日
JI
4 e a ad ) 4
a 二 BO
-a
-2-2
匸
2
a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2
,12 12
dx 0
-1 a
二
5
二 迈a 3 ： (2sin 2*)2
dt =8a 3
J6a 3
si
JI
3
5
3
= 32a 2
sin 如-32a
」0
x 2+y 2
+z 2
=2
2 2
]x = cosT
解：由」 丫
，得2X 2
+Z
2
=2,令 < 厂 0兰日兰2兀
y = x
z = \ 2 sin 71
x= cos 日
sin 5 -dt <令—-v
4 2 256 3
a
5 3 15
<5) “L xyds ，其中L 为圆周
x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性
J |xyds = 4jJxyds ,其中 L
i
x = a cos 日 0<6
y = a sin
JI
< 一
2
[xy ds = 4『xy ds = 4 f
xyds
迟
,
=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv
"a 3
jcosrsin
=2a 3
sin =
-2a 3
<6)
-x 2
y 2
2ds ,其中-为曲线 z 2
X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地
------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dt
e t
cost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 0
2
<7)广yds ,其中-为空间圆周:
x 2 + y 2 + z 2 =2
』=x
弧段; 解：
故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。

匚yds
=[[cos ^lJ sin?日 +sin?e +2cos 2 日 d 日
COST d 二
兀
3兀 2 =.,2[ ：cosvdv - _2
cosvdv 3-cos^dv] = 4,2
2 T
"x = ac ots
2.螺旋形弹簧一圈地方程为：』y=asin(0^tE2jr),设它地线密度为
z = kt
2 2 2
「(x, y, z) =x y z ,求：
(1) 它关于z 轴地转动惯量I z ； <2)它地重心坐标.
2 2
<1) I z = L x y
'ds
2 2 2 2 2
二 L x y x y z ds
=f 駕2 (a 2 +k 2t 2 )x/a 2 +k 2dt =a 2 J a 2 +k 2 f J a 2 +k 2t 2 )dt
吟几口®2
八2
)
L y x
2 y 2
z 2 ds L
x 2 y 2 z 2 ds o
a sin t a 2 k 2t 2 , a 2 k 2dt 『(a 2
+k 2
t 2
"a 2
+k 2
dt
2
：二 2 2 2 2 2
o a cost a k t 、a k dt
2JI 2 2 2
a 2
k 2
t 2
'、a 2 k 2
dt 0；：
a 2
k 2t 2 acostdt a 2
k 2
t 2 dt 6ak 2
3a 2
4：
2
k 2
分子采用分部积分
法)
<2)
x x 2 y 2 z 2 ds
L
x 2 y 2 z 2
ds
■6 二 ak 2
2
2~2
3a 4. k
9 9 9
-L z x y z ds z 二
[S t(a 2 +k 2t 2 )J a 2 +k 2dt
dt
2 2 2
_3二 k(a 2 二 k ) =3a 2 4二2k 2
§ 2对坐标地曲线积分
无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程
l x = x(t ) n n
1计算公式：若L: t
■,＜其中:，:分别始点和终点对应地参数)
，则
[y = y (t )
P
'
'
L
P x,y dx Q x,y d^ . [P x t ,y t x t Q x t ,y t y t ]dt
X =x(t )
若L:«y = y (t ) t gT P ,＜其中cc , P 分别始点和终点对应地参数)
，则
午
z
(t )
L
P x, y,zdx Q x, y,z dy R x, y, z dz
P
，
，
=.[P x t ,y t ,z t x t Q x t ,y t ,z t y t R x t ,y t ,z t z t ]dt
注意：＜1)对定向曲线才能说对 坐标地曲线积；定向曲线地参数方程与未定向曲线地参数 方程地
不同：
① 定向曲线地参数表示为始点地参数到终点地参数而不管谁大谁小：
t : ：■- J I
'1
② 未定向曲线地参数方程地参数表示为不等式： a_t_b
＜2)①弧长地积分转化为定积分时定积分地
上限一定要大于下限
②对坐标地曲线积分转化为定积分时定积分地 上限一定是终点地参数，下限是始点地参
数，而不管上限是否一定要大于下限 b5E2RGbCAP 2:两类曲线积分地关系
(1) 定向曲线地切向量及其方向余弦 若L:
①当、「卩时
2 2 2
L
x y z ds
切向量为：x' t ,y' t ；
方向余弦为
cos ：
x (t )
…R y (t )
COS
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
x t
y
t
x t
y t
切向量为： (―X (t ), _y
②当时
方向余弦为cos 二
-X t
:—
一2
' 2
,COS
'=
(x (t ))+(y (t ))
类似可以推广到空间曲线. (2) 两类曲线积分地关系
-y (t )
1
' 2 ' ~2
x
t
y t
L
P(x, y px +Q (x, y )dy = JJ P(x, y )cosa +Q (x, y )cos0]ds
其中COS 〉,COS :为定向曲线切向量地方向余弦
注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量 参数与终点参数大小关系对切向量符号地影响 .plEanqFDPw .特别要注意始点 1.把对坐标地曲线积分 L P(x, y)dx Q(x,y)dy 化为对弧长地曲线积分，其中L 为: 2 ＜1)从点＜0,0)沿抛物线y =x 到点＜1,1); (x = x
解：L: 2 x:0 ＞ 1,由0：：：1,故在x, y 处切向量为1,2x ,所以
y = x 1 1 J+(2x )2 \ 1 4x 2 2x 2x J+(2x )2 \ 1 4x 2
cos : 所以 cos : L P x, y dx Q x, y dy 二 JP x, y cos ：亠Q x, y cos 订ds 心)=丝(叫
d 4x 2
＜2)从点＜0,0)沿上半圆周x 2 • y 2 =2xy-0到点＜1,1)
解: 工X = X L: - 7-2 x -x 2 1 — x
x:0T 1,由0V1,故在(x,y )处切向量为 1,；
，所
以
＜』2x-x 2
J
1 -x
E ==
^x
，所以
1 -x \l2x-x 2
丿
L
P x, y dx Q x, y dy =][P(x, y jcosa +Q(x, y Jcos B ]ds
=[[J2x —x 2
P(x, y) +(1 —x)Q(x,y)]ds
<或=([yP(x, y) + (1 -x)Q(x, y)]ds )
l x =1 COSd
法一 L :
，二：
,由
，
y =si n 日
2 2
故切向量为
—(—sinr),—COST ,即 sin 二—COST 所以
:
7门日 2 =sin 甘=y ,
a sin
acos ：
—cos -
COST - 1「X ，所以 .2 2
sin
cos
l
P x, y dx Q x, y dy 二 JP x, y cos t " Q x, y cos :]ds
二 L [yP(x, y) (1 -x)Q(x,y)]ds
2.计算下列对坐标地曲线积分: <1） L （x 2
—y 2
）dx ,其中L 为抛物线y=x 2
上从点<0,0）到<2,4）地一段弧;
fx = x
解：由 L: 2
x:0 > 2,得 y 二x
<2） xydx ,其中L 为圆周（x —a ）2
+y 2
=a 2
（a >0）及x 轴所围成地在第一象限内地区域 地整个边界曲线弧 < 按逆时针方向）； 解：「L xy dx =（母 A 。

）
xydx , 其中 OA:!x
—x
X ：0T 2a ,
l y =0
cos ：
1 -x
$2x —X
cos -：i L
(x 2 -y 2
)dx
2 2 0
(X 2 - x 2
)dx 二-
56 15
x = a + acos 日
AO: :0 ＞r：
y =asi nB
＜注意此方程不是地极坐标方程，故不能说在极坐标系下二地范围二：0》二,事实上极坐标方程为r =2aCOS,二：0 •，故在极坐标系下二地范围为"0 ■)DXDiTa9E3d
2 2
2a
^xydx 二o x Odx 二0
n
L O xydx = j0 (a+acosB )asin日d (a + cos日)
• 2 2
--a o sin v sin v cosv d
JI JI
=-a3[2 J02 sin28d8 +『sin28 cos8d 8]
3 二
—a(2 0)一2
<3) L(1 2xy)dx x2dy,L为从点<1,0)到点<-1,0)地上半椭圆周x2 2y2 =1(y_0)；
x 二COST
解：由L : 、 2 - : 0—■：，得
y sin -
1 2
L(1 2xy)dx x
2dy
、、2 . . 2 ；｛ 2
=o [1 2cos 二( sin 二)](—sin 巧cos co^ ]d - — p sin如-& 0 si n^cos知手。

cos3心
sin 2込亦子.。

心in Fds in =
3
• a sin 日
sin^
3
_ _2 -0 0 »2
(x y)dx -(x -y)dy
x2 y2,其中L为圆周x2■ y2 =a2＜按逆时针方向)；
二a3
故口xy dx = 0 •()
二a3
ji
o
解：由L : x 二
acosr y
= asin v
2
二(acosv asi nR(-asi n 旳-(acos v - as in d)acosr
z =t 3
3•计算 L
(x y)dx ，(y-x)dy ,其中 L : <1)抛物线 y 3
段弧；＜2）从点＜1,1 ）到点＜4,2）地直线段;RTCrpUDGiT
2 2
<3)曲线 x =2t t 1,^t 1 上从点 <1,1)到点 <4,2) 解：<1 )由 L:
X=y
y:1 > 2,得 y = y
=「.(sin 2(x 2 y 2) cos 2(xy)ds _ l \ 2d
法二：证明：
3
二 一 0 dr - 2
<5) -](z-y)dx ・(x-z)dy ，(x-z)dz ,其中】为椭圆周: 去,:取顺时针方向;
口 (x y)dx _(x —y)dy
x * 2 y 2
解:
i[(y 2「z 2)dx 2yzdy-x 2dz
2 二
=!)(3t _2t )dt =-
64 5
384 7
n + n
5 7 X 2
• y2
'，且从z 轴正方向看
x - y z = 2
解：由丿 <6) .「(y 2 _z 2)dx 2yzdy —x 2dz ，其中「是曲线：* y =t 2上t 由0到2
兀地一段弧.
二X 上从点＜1,1 ）到点＜4,2）地一
地一段弧•
L
(x y)dx (y -x)dy
x = x
<2)由 L :
1 y 二
L
(x y)dx (y -x)dy
4
1 2 1 2 ,1
=(|(x + — x +—)+( — x + — —x)L —dx =11 J 3 3 3 3 3
2
x = 2t +t +1
<3)由
2
t: 0 -• 1，得 y=t +1
L
(x y)dx (y -x)dy
1
32
-i J (3t 2 t 2) 4t 1 -(t 2 t 2)L2t dt
4.证明：L sin(x 2
+ y 2
)dx+cos(xy)dy 兰J2I 其中I 为平面上光滑曲线 L 地长度• <提示：转化为对弧长地曲线积分) 证明：
[si n( x 2 +y 2)dx +cos(xy)dy
2
2
l
[sin(x y )cos J
叱
os(xy)cos
其中 COS 〉,COS :是切向量地方向余弦，故满足cos
2
1
cos 2
■ - 1.
2
2
2
2
n
[sin(x +y )dx+cos(xy)dy 兰(sin(x + y )cos □ +cos(xy)cos P ds
2 2 2 2 2 2 2 2 "■
(sin (x y )cos :丄"2sin( x y )cos ： cos( xy)cos :) cos (xy)cos : )ds 兰 J L J(sin 2(x 2 十 y 2)cos 2a 十[sin 2(x 2 + y 2)cos 2 P +cos 2 a cos 2(xy)]十cos 2(xy)cos 2
P ds
1 2 x:1r 4,得
y 2 y)・2y (y 一 y 2
3
s = ；
2
2 2
[
sin(x 十 y )dx+cos(xy)dy
2
={[si n(x
其中 cos 「,cos 是切向量地方向余弦，故满足cos
4
：； ：：・cos 2
一： = 1 .
[sin(x 2 +y 2)dx +cos(xy)dy 兰 £ sin(x 2 + y 2)cos 口 +cos(xy)cos 0 ds
2
2
设向量 n =：〔sin(x y ),cos(xy) , n ° = cos ： ,cosl ：贝U
sin(x 2 +y 2
)cosa +cos(xy)cosB = n ・n e
兰 n n e = Jsin 2
(x 2 + y 2) +cos 2
(xy)
故 (sin(x
2
+y 2
)dx +cos(xy)d,兰[sin(x 2
+y 2
)cosa +cos(xy)cos B ds
i 2ds =〔. 2l
§ 3 Green 公式
i .用曲线积分计算下列曲线所围平面图形地面积:
解：若：
x = a cos 31
L: 3
t:0 》2二，则
1 I —
A = J] = $ J L
xdy _ydx
4
cos 41 sin 2t 3a 2 sin 41 cos 2
1 dt
解：若：
X x 二 a COST L : . r : 0— 2-则
y = bsin)
<1）椭圆:
a 2
1 l
<2）星形线： 3 3
x=acos t,y 二as in t , (a 0,0_t_2r absinJ d = 二-ab
3a 2 2 二
4
cos
tsin 2t 3a 2 sin 41 cos 21
x 2 y 2)cosx "cos(xy)cos
""D
3a 2 -2 2 2 2 o sin t cos tdt
3a 2 J' sin 2
2tdt 2 3a 2
阳— cos4t 亠 3 2 dt a
8 0
2 8 2 •用格林公式计算下列曲线积分 <1） 1 xy 2dy-x 2
ydx ,其中L 为圆周（a 0）,取逆时针方向; <2) o[e X [(1—cos y)dx —(y —sin y)dy],其中L 为闭区域 D : 0兰x 兰兀,0兰y 兰sinx 地正
向边 解：<1)\ p = -x 2y,Q =xy 2
r — ex cy =x 2 又L 逆时针方向，设D : x 2 y
2 a 2，所以
「L xy 2dy -x 2ydx 二 D x 2 y 2
d^ y 2 =a 2
二：d 叮r 2rdr 冷二a 4 <注意[Jxy 2dy —x 2ydx = f^f x ^y 2 )d a 2
d 二，为什
么? <2) ； P 二e x (1—cosy),Q (y —sin y),
Q P
=-ye x
ex &y
所以：
L e x [(1 -cosy)dx -(y -sin y)dy] x H sinx x D -yed ； - 0 dx 0 -ye dy sin x 0 e x dx 0 "y
1 ■: x
2 [e sin xdx 2 0
1
二 x 1 -cos2x , e dx
-1[)0 e x dx - 0 e x cos 2 xdx] 4 十e)盘宀=5(1
&)
＜其中 「e
x
cos2xdx = e x cos2x 1^2 ^e^s in 2xdx
=e 第-1 2[e x
sin 2x 評-2 ° e x
cos2xdx]
二 e -1 一4 e cos2xdx
所以 0 e
x
cos2xdx=1 e -1 )
3•计算积分I xdy
2 一 *2，其中L 为圆周(X-1)2
• y 2
=R 2
(R = 1) ＜按逆时针方向)； 4x 2
+y 2
D 内有连续偏导，满足格林公式条件xdy
2
-彎=“ 0db =0
L
4x y D
2 2 2
<2）故当R 1时，（x-1） • y 乞R （R = 1）所围地区域D 含有（0 , 0点，故
.P
,Q
在区域D 有点没有连续偏导，不满足格林公式条件•不能直接
4x + y ' 4x +
y
用格林公式条件.5PCzVD7HxA
2 2 2
做曲线l :4x y 二； < ；取得足够小保证丨含在L 所围区域）方向为逆时针，即 工 1
x cos 二 l 2
X 0》2 二.
y = ；sin v
则曲线L l 一围成复连通区域 D 1且为D 1地正向边界.
故在复连通区域 D 1
xd 占-
ydx
满足格林公式条件，故
1
，+4x 2 +y 2
xdy^ydx 0d —0 即 L 「4x 2 y 2 …D 1
xdy -ydx
xdy - ydx xdy - ydx
L
4x 2 y 2
「4x
2
y
2 1
4x 2 y 2
.:Q 解;P=；x^7，Q=4x
2
y 2
' rx
,:
P
=0
<1）故当
R ：:1
时，；P =4Z$,Q
=4T ：
在(x-1)
2
• y 2
^ R 2(R = 1)所围地区域
-z cos e +1z 2 sin 2 6
dr
12「"
<注之所以取曲线I :4x
2
• y 2二；2是方便计算，若取l:x 2 • y 2二；2
则计算麻烦)
4•证明下列曲线积分在 xoy 面上与路径无关，并计算积分. <1) (-^e xy 2
—y 3
)dx (6x 2
y —3xy 2
)dy 解：：P=6xy
2
-y 3,Q =6x 2y-3xy 2,所以单连通区域xoy 面有连续偏导，且
—=12x -3y^—,所以曲线积分在 x o 面上与路径无 .x ；:
y
=(丽.BC )(6xy 2 -y 3)dx (6x 2y -3xy 2)dy
x =x
其中 AB: x:1 > 3 BC:
l y =2
=f (6x><22 _23
)dx +f(6M32
M y_3M3xy 2)dy = 236
法二设： u(x, y)二(6xy 2 - y 3)dx = 3x 2y 2 - xy 3
亠「〔 y
则—=6x
2y -3xy 2 d — =6x 2^3xy 2
得 d
― =0
y dy
dy
u(x, y) =3x 2
y 2
-xy 3
C ,故
(3,4
) 2 3 2 2
(1,2)
(6xy -y )dx (6x y -3xy )dy 二 u(3,4) -u(1,2) = 236
<2) ((12g 1))
(2x^y 4
- 3)dx (x 2
-4xy 3
)dy
4
2
3
解：< P =2xy -y ・3,Q =x -4xy ，所以单连通区域 xoy 面有连续偏导，且
2
y -3xy 2 )dy
-^Q 3 -p
2x-4y ，所以曲线积分在xoy面上与路径无关「x y
(2,1) (1,0) 4 2 3
(2xy - y 3)dx (x -4xy )dy
2 3
3)dx (x -4xy )dy
x =x x = 2
其中AB: x:1 > 2 BC: y:0 > 1 y=0 y二y
2
4 1
2 3
(2x 0-0 3)dx 亠i (2 -4 2 y)dy=5 A<1
C<2
，B<2
，
法二设：u(x, y)二(2xy - y4 3)dx 亠'：；[y =x2y-xy4 3x 亠'：；[y
亠=x2-4xy3 d
冬,-4xy3,得
■y dy
y
dy
=0,所以
u(x, y)二x2y「xy43x
C ,
故d^xy _y4 +3)dx+(x2—4xy3)dy=u(2,1) — u(1,0) =5
5 •用适当地方法计算下列曲线积分
<1) L(xsin 2y-y)dx (x2 cos2y -1)dy,其中L 为圆周x2y2依逆时针方向到点(0, R)地弧段；
FQ cP
解：由P =xsin2y - y,Q = x2cos2y-1,有—' 1
ex cy L BO(xsin2^ y)dx (x
2cos2y - 1)dy =二
X = X 其中OA：
[y =0 x:0 > R,BO: x-° y :R > 0
^ = y
|jL (xsin 2y -y)dx +(x2 cos2y -1)dy
=QA L而(xsin2y -y)dx (x2cos2y -1)dy
-[,OA,B O](xsin2^y)dx (x cos2y -1)dy
二D d二一[帧BO](xsin2^y)dx ■ (x2cos2y-1)dy
2
■: R2 R 0
一.(xsin(2 0)「0)dx「.. (0cos2yT)dy
0 R
15 /
35
<2) ,
ydx
；
xdy
,其中L 为从点(2,1)到点(1,2)地直线段•
L
X
解：由有卫一兰=0
X
X :：X 鋼
积分与路径无关，则
ydx - xdy ydx - xdy
L X 2 [
AC CB ]
X^
X = X
X = 1
其中 AC ：
x:2 > 1,CB: y :1 、 2
y =1
y = y
6.解下列全微分方程
3
2
3
2
<1) (x -3xy )dx (y -3x y)dy =0 ;
P = x 3 -3xy 2, Q = y 3 - 3x 2 y ,在xoy 面有 —=-6x^ —，得方程为全微分方程•
1 3 u X, y ]： I ix 3 -3xy 2
dx[y
x 4 - x 2y 2
曲？y ,故 4 2
d ：
y
3
2 /曰
d ：
y 3
—
1 4
y -3x y ,得
y ,即 y y
dy 4
3
2
2
5
4
_肿 y , y =c
2 4
(x,y) 3
2
3
2
(0,0)
(x -3xy )dx (y -3x y)dy
3
2
3
2
=(OA AB
)(X -3xy )dx (y -3x y)dy
5 4 1 4 3 x y x y 4 4
2 ■: R -0 - - (Ocos 2y -1)dy = 2
■: R
ydx - xdy 訂
]ydx - xdy
X 2
X 2
1
dx £
2
-dy 12
<注意：若应用积分与路径无关 ，则必须保证在添加地曲线与原曲线所围地区域是单连通地 和P,Q 在区域有连续偏导数 ，如该题中区域就不能含原点) jLBHrnAlLg
解: -3x 2
y ■y
dy
1 所以方程通解为 X 4
4
法二，令 u x,y 二
x = x x = x
其中OA: x:0 —x AB : y:0r y l y=o ly = y
x 3y 3 2
(x「3x 0)dx 0 0 0 (y -3x y)dy
所以方程通解为 4 1
x 4
3 2
2
1 4
2xy 4
y
<2) xdx ydy 1 x 2
y 2
xdy ydx = 0.
解: x 2 y 2
y,Q
二
x 2 y 2
rQ
- P
-x ，在 xoy 面有
，得方程为全微分
方
ex cy
ux
，
y
—1
x 2 y 2
+ y dx +®(y ) = J 1
x 2 y 2 xy :
y ，故
.
:u ■7 1 x 2
y dy -x ，得
dy
d y
=0,即》0
所以方程通解为,1 x y xy =C 法二，令 u X,y 二， (x ，y)xdx ydy (0,0)
.1 x 2 y 2 xdy ydx
xdx ydy J 9冷寺■ g
其中OA: x
y 二 x x = x
x:0—； x AB:
y :0—； y
=0 y = y .1 x 2 02
y y OX O 0
0(1；y 2 my 二、1 x 2 -1 (.、1 x 2 y 2 xy) =1 x 2 T , 1 x 2 y 2 xy 1 x 2 -0) 所以方程通解为 2 2 x y xy _1 = C
7•计算曲线积分L
（x y ）d
^（^
y ）dy
x 2 y 2
，其中
L :
2 2 2
<1)闭区域 a '^x 2
y 2
2
-b （b a 0）地正向边界; (x y) P 二亍七,Q =WT ，则丈二Q
x y x
显然在a 2
乞x 2
• y 2
空b 2
(b . a . 0)内P x
公式条件 ，故 (x y)dx _(x _ y)dy x 2 y 2 <2）圆周 y 2
解：圆周 x 2 y 2 -2 2 ,Q x y
::P 、」 (—- )jx ；
P (x y) 2
x y 二a 2所围区域含原点，故 2 =a （a > 0）按逆时针方向 D ~
（2^ y 2）
有连续偏导数，满足格林 x y
Q = _（x _ ”
在其内没有连续偏导， x + y 数，不能用格林公式 X x 二 Rcos^ •直接计算L:
y =
Rsi n& (x y)dx _(x _
y)dy x 2 y 2 0 a 2 <3）从点 A （T ,-黒）沿曲线 y =
■: cosx 到点 B （二，7〔）地弧段.xHAQX74J0X OP
解：由- '，则积分路径无关，故: :y :x
(x y)dx -(x - y)dy
AE
x 2 y 2
(x y)dx _ (x _ y)dy
AC CE
x 2 y 2
(x y)dx-(x-y)dy EB x 2 y 2
— ED DB (x y)dx -(x- y)dy
—— X = X y :—兀t 兀CD :叫
(y = TT
故: (x y)dx _(x _ y)dy
x 2 +y 2
(x y)dx -(x -y)dy
x 2 +y 2
f +f + f +f AC CE ED DB
=[
AE ' EB ]
(x ' y)dx -(x -y)dy
]
2 2
x 十y
J d 』
(
x y)dx
-g y)dy
小 ， x 仃3 =6arcta n — 0 =
2
x 4
4xy a
)dx (6x a
‘y 2
-5y 4
)dy 与路径无关; 解：P =x
4
• 4xy a ,Q =6x a 」y 2 -5y 4,欲使曲线积分与路径无关当且仅当
，
即
c y e x
4a = 6(a -1 )
4xay a ° = 6 a -1 x a 'y 2,即 a -2=1
得 a =3
a —1 =2
y
<2)求可微函数
(y), (1) =e,使曲线积分 I 二 L y (y)dx (e
(y))xdy
y
在y • 0地开区域内与积分路径无关 •
Sy 屮旦3得
dy y d ( y) …(y) e ，
2 =o,<这是以
V 自变量'y 为未知函数地一阶线性微分方程)
dy y y
e
y
又(1)二6得「y 二勺
y
(x y)dx -(x -y)dy
L
X^
二
二 _(-二 _ V)
dy
-二-二 y 2 _二 _(二-y) dy
二
2
y 2 '亠y
dy 2 2
--二 y 2
2 --- dx -■x 2
二
'亠y
2 2
■-二二2
dy o f
Tt
x +n , =3 2 -- dx T ：X +n ■: x 亠二
=3 2 -- dx
-■：x-二2 JI JI
dx 3
2
-■x 2 二
JI JI
Rx =06,
2 ^
dx
71 &利用曲线积分与路径无关地条件
，求待定参数或函数•
<1)确定a 地值,使曲线积分I = L (
解:
e
y
p = y 「(y),Q =(巳一
「(y))
x ，积分与路径无关当且仅当
:p g
，即
其中L 是单连通开域G 内地一条简单闭曲线，v(x, y)在G 内具有连续地二阶偏导数
f tv &
9•证明 j — dy -
:y
dx =0地充分必要条件为:
-2
-：x 2 厂2
V a 2
■y
=0
证明：对曲线积分
V
dy
V
dx P
V
,Q
V
，故j-^dy 一一V dx = 0地充分必要
条
L；:x 鋼:y :x；：x ；：y
2 2
.:P ；:Q P v .:Q v
__ - ___ 又___ — - ___ ___ —____
—— 2 5— 2 :y；:x 訝:y :x [x
_ ■ ._2 2 .2 .2
故T：y dy - ：y dx=0地充分必要条件为
'V' V,即「V V，
:x :y :-y : x ：议2：：y
§ 4对面积地曲面积分
1计算下列曲面积分
2 2
<1) iidS,其中刀为抛物面z = 2-(x y )在xoy面上方地部分。

Z
解: 1：z =2-(x2y2) x,y D X y,D X y :x2 2
则dS = J + z^ + z：dxdy = + (-2x )2+( -2y )2dxdy = J i + 4x2 +4y2dxdy
故I idS . 1 4x 4y d . 1 4r rdr
^^xy 0 0 3
1 嵌$
2 2 It 2 2 n
=2 1 4r2d(4r2 1)[ 1 4r2 2 <2)
13 =—Ji 3
2 2 I 2 2
Ii(x y )dS,其中刀为锥面Z = •.、x y及平面z=1所围成闭区域地边界曲面Z
解：如图匸二爲V2，其中
二：z 二x2 y2, x,y 卢D,D :x2y2-1
12：z=1, x,y D,D:x2y2「,故
(x2 y2)dS J(x2 y2)dS+ . (x2 y2)dS 送瓦瓦
「.(X2 y2L. 1 2 dxdy
+ I i(x2 y2) . 1 02 02dxdy D
二、21〕i i(x2 y2)dxdy
D
h[£'2 10d^ 0r2rdr (1 • .,2)二
<3) Il(xy yz - zx)dS，其中刀为锥面z - .. x2 y2被柱面x2• y2=2ax(a • 0)所截得
Z
地部分。

解：匕：z = x2 y2x, y D, D : x2y2乞2ax
贝V dS = J +z； +z：dxdy = j1 +
故i i(xy yz - zx)dS 二(xy y x2 y2..x2 y2x)、、2dxdy
丈 5
八2[ D xydxdy 亠I ID y ； x2 y2dxdy 亠11D x x2 y2xdxdy] = 0+0 + j2 Jj D J x2+ y2xdxdy
＜区域关于x轴对称，函数,xy是关于y奇函数）
2acos •二
2COST r3dr
•亠0
2
31
=4 2a4 2_ cos5
~2
"WosF 5 牛眷2a
4
<4) (x2 y2)dS,其中刀为上半球面z — 4 - x2 - y2.
Z
解：匕：z = . 4 -x2-y2x, y 产D, D : x2y2_ 4，则dS = J + +z：dxdy
故：邛x2 y
2
)
心.D(x2
2
2 兀 2
2r2
4 _ x2_
y2
dxdy
牙dxdy = V2dxdy cos^rdr = 2
dxdy = d rdr
0 0*2
74 —r
=4- r 2
d( - 4-r 2
) =4二[-、4-r 2
r
■0
解：l z 二(x
2
y 2) 'dS
Z
刀在xoy 面上地投影区域 D xy : x 2
y - a
2
=2 七二.0 r 2d(rj a 2 _r 2
) = 2 ：a 二[_：；'.a 2 -r 2 r 2
=2 Pa 叫一 ,0 J a 2 -r 2 (a 2 -r 2)] =2%叫一2(a 2 -r
3
4.求密度为常数'地均匀半球壳 z = a 2
-x 2
2
-y 对于oz 轴地转动惯量
I z . a
r^2
2
2 a _x -y 2 1
rd
r 2 2 -r
=8二冷4一『2
64
=——H
3
3.计算曲面壳 亍
1/2
:z (x
2 2
y )(0 _ z _ 1)地质量，面密度匸
11 ；・:dS =
jj zdS Z Z
1 2 2 2 2 (x y ), x, y D,D : x y - 2 2
dS 1 z ： z ：dxdy = , 1 x 2 y 2dxdy
则 M 二 zdS 二 D -(x
2
y 2) 1 x 2 y 2
dxdy 丈
2
)2-m r
二二 2
r 3
..1 r 2
dr 二二 o 2
r 2
d 1
1
3
3
2
界
2
2 1
2
11 r
3
击]
+ f J a 2 -r 2dr 2] ■ 0
a 4 *
- 4
0P
3 ：a
§ 5对坐标地曲面积分
计算联合形式Pdxdy Qdydz Rdzdx
S
法一：直接计算：则分别计算Pdxdy, Qdydz, Rdzdx
z z z
(1)计算！！Pdxdy 时
迟____________________________________________________________________ < i)将曲面匕投影在xoy面<且只能投影xoy面，即使投影为曲线而非区域，此
时
Pdxdy =0 )为区域D xy,即根据匕方程解出：z = z(x, y),(x,y) • D xy,并确定曲面
Z
是朝上还是朝下LDAYtRyKfE
1计算下列对坐标地曲面积分
<1) 11 zdxdy - xdydz ydzdx,其中刀是柱面x2y2= 1被平面z = 0及z = 3所截下地
Z
第一卦限内部分地前侧。

解：<1)计算zdxdy
Z
刀在xoy面投影为0,故zdxdy二0
Z
(2)计算11 xdydz
Z
曲面匕朝yoz投影为D yz :0乞y <1,0乞z乞3
故-X —1 - y2y,z产D yz :0乞y岂1,0乞z岂3,前侧
故xdydz 二1 _y2dydz 丈D yz
=0dy011-y2dz= 0 J-y2dy ：dz
=3 0 J1 _ y2dy＜令y =cost) =3 2 cos2 tdt = 一
0 4
(3)计算11 ydzdx
t
曲面匕朝xoz投影为:0乞x乞1,0乞z乞3
故三：y八1—x2x,z D Q :0玄x弐1,0玄z玄3,右侧
故11ydzdx 二
Z 亠11 ■■ 1 -x2dzdx
1 3
2 1 ------ 2 3
dx o .. 1 - x dz 1 - x dx o dz = 故！!zdxdy xdydz ydzdx
Z
=i i zdxdy 亠 11xdydz 亠 11 ydzdx 二
z 壬 壬
442
2
1 2 2
<2) II (Z • x)dydz -zdxdy ,其中刀是抛物面z
(x 2
y 2
)介于平面z = 0及z=2之间
丈
2
— 1 2 2
Jz =2(x y ), x, y
D xy ，朝下故
1 2 2
..-zdxdy = - D (x y )dxdy 二 匚
D xy
计算ii(z
2
x)dydz 将匕投影到yoz 面为D yz ,如图 Z
3 =爲 *2,其中 二
：x = . 2z - y 2, x, y • D yz ，朝前
=
% =- 2z y , x, y ］二 D yz ，朝后，故
2
x)dydz=(
)(z x)dydz
t 密
(z 2
、2z _ y 2
)dydz 11 (z 2 _ 2z _ y 2
)dydz
-人
2
血
yz
z_y 2dydz =2 ,dy 片 一 2z_y 2
dz =2 J(2z_yj
2
3
2
1
2 2y
dy 2 2
xy
x y 4
2& 21『rdr F
o -0
2
Z=2 ------
1 2 z y
2
y
4
02
16COS vd v -4 二
2
故！ !(z x)dydz -zdxdy =8二
Z
法二 <投影面转换法)因为z J (x 2
• y
2
) ,D xy : x 2
4朝下，z x =x ，所以
2
2
II (Z x)dydz-zdxdy
Z
2
二[(z x)( -x) -z]dxdy
Z
… 2 2
--(z x x z)dxdy
Z
二-[-..[(4(x 2
y 2
)2
x x 2
扣2
y 2
)]dxdy]
D xy
4
2
1 2 22 2
1 2 2 =(-(x y ) x x -(x y )]dxdy
D xy
4
1 2 2 2 2 1 2 2 =(4(x y ) xdxdy [x -(x y )]dxdy
D xy
4
D xy
1
二 0 亠 i i[x (x y )]dxdy
D xy
2
2
2兀 2 2
二 (x y )dxdy d —。

r rdr =8 D
xy
11 (】(x
2
y 2)2xdxdy 二 0,
D xy
4
!! x 2dxdy = y 2dxdy
D xy
D xy
11 x
2
dxdy (x 2 y 2
)dxdy )
<其中利用对称性:
由于 D xy
D xy
2
D xy
2把对坐标地曲面积分化为对面积地曲面积分：
<1 ) P(x, y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy 刀：平面z x = 1 被柱面Z
2 2
x y =1所截部分地下侧。

11 P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
Z
二 [P(x, y, z)cos x ，Q(x, y, z) cos ： R(x, y, z) cos ]dS Z =-寻[P(x, y,z) R(x,y,z)]dS
2 x
<注意对于非定向曲面 z
' x -
1
可为(1,0,1),或-(1,0,1) = (-1,0, -1),但对于定向
曲面朝下
则第三个分量应为负)
<2) iiP(x,y,2)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxd 归：抛物面 y = 2x 2
z 2 被平面 y=2
所截
Z
地部分地左侧.
解：曲面在(x, y,z)处地法向量为(4x, -1,2z),故：
4x
4x
cos <
J(4x)2 +(_1)2 +(2z)2 J1+16x 2 +4z 2
COS L _ ----------- , cos ------------ ，故
J 1 +16x 2 +4z 2 (1 +16x 2 +4Z"2 11 P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
Z
= [P(x, y, z)cos-八Q(x, y, z)cos ： R(x, y, z)cos ]dS
二 4xP(x, y, z)二Q(x, y, z)=2zR(x, y, z) dS
丈
J1+16x 2 +4z 2
<注意对于非定向曲面
y =2x 2 z 2可为(4x,-1,2z),或-(4x,-1,2z) =(-4x,1,-2z),但对
于定向曲面朝做则第二个分量应为负)
3.计算曲面积分 11[ f(x,y,z) x]dydz [2 f (x,y,z) y]dzdx [ f (x, y,z) z]dxdy
解：曲面在(x, y,z)处地法向量为(_1,0, _1),故：cos 、*
-1
近
.(一1)
2
02
(一1厂
2
(-1)2 02
(-1)2
-1
.(-1)2 02
(-1)2
吕故
Z
其中f (x, y, z)为连续函数，刀是平面x-y z =1在第四卦限内地上侧•
解：由刀是平面x 一 y • z = 1在第四卦限内地上侧，故曲面在（x,y, z ）处地法向量为
!![ f (x, y,z) x]dydz [2 f (x, y, z) y]dzdx [ f (x, y, z) z]dxdy
Z
二{[ f(x,y,z) x]丄
3
[2 f (x, y, z) y]^-3) [f(x, y,z) z^-3
}dS Z 3 3 3
..(x -y z)dS
3
dS £ 送
3送 2
＜其中平面二地面积为卅xo
y 面投影区域面积）
cosY
2 2 ; 2 2
5.计算 II （X y ）dzdx zdxdy ,E 为锥面 z =「x y 上满足 x_0,y_0,z^1 地
Z
那部分曲面地下侧•
解： ＜采用投影面转换法计算较为简单）
2 O
(x y )dzdx zdxdy
t
2 2
二..[(x y )(-Z y ) z]dxdy
Z
二(_y x 2
y 2
z)dxdy
故 COS -■
2cos 二，则 3 3
y
由zy
-
Z
又E为锥面z = .x2 y2 D xy: x2• y2-1, x - 0, y 一0，朝下,
! !(x 2 y 2)dzdx zdxdy 二 (-y .. x 2 y 2
z)dxdy Z Z
____ _________ 兀
i
--(_y x 2
y 2 x 2 y 2)dxdy = _
「0(1 _rsin v)r 2dr
D xy
1 3 1 2
=『d T [ r sinTdr -『d 8 .0r dr
i
-
-i 2sin^dr r 3
dr -
0 0
6
§ 6 Gauss 公式与Stokes 公式
1 •利用高斯公式计算下列曲面积分
.
—
3
3
3
_ ,
2
2
2
＜1) 17x dydz + y dzdx + z dxdy 其中刀是球面 x + y +z =1 地外侧. 解帀 x
3
dydz + y 3dzdx + z 'dxdy =
(3x 2
3y 2
3z 2
)dxdydz
= 3iii_r (x 2 y 2 z 2)dxdydz
二 o 2 q d 0r
2
r 2sin dr
＜本题中若写成3 I I I #X 2 • y 2
• z 2
)dxdydz =3 .i i sdxdydz 是错误地，为什么？)
2) Jj2xzdydz+yzdzdx-z 2
dxdy 其中刀为由曲面 z = J x 2
+y 2
与z= J 2 —X 2
— y 2
所
围立体地表面地外侧.
I —
2
解： U 2xzdydz + yzdzdx - z dxdy
= .(2z z -2z)dxdydz 二 .ydxdydz
＜若采用先二后一地方法计算三重积分) ■ -V
，其中 I \ : 0 乞 z 乞 1,D z :、... x 2
y^ z 「2 :1 乞 z
D z ：、2—(x 2 y 2)乞 z
1
、-2
i i
Szdxdydz 二 °dz D zdxdy 厶 dz D zdxdy
1 二 4 一
1—0
zdz dxdy zdz dxdy 二
"Dz
J
1 "Dz
2 JL
z(
2-z )dz
&
1 3
Jzdz
＜若采用柱坐标方法计算三重积分）
i 】：r_z_ ,2-r ,0 _ r _1,0 _ 二 _ 2二
1
「hzdxdydz- ° d 「o
rdr
w'2
」2
兀
zdz =一
2
2 •计算下列曲面积分：
2 2 2
<1)
11 yzdzdx 2dxdy ,刀是球面 x y z
Z
解；作曲面 二:z =0, D xy : x
2
y 2
<4朝下.则
11yzdzdx 2dxdy
Z
二 yzdzdx 2dxdy ii yzdzdx 2dxdy 三i
、i
zdxdydz ii yzdzdx 2dxdy
=4(z _ 0)地上侧.
2
i i hzdxdydz 「°dz Dzdxdyr 0 壮 z 2
dz 二 4二 ＜先二后
由二:z =0, D xy ： x
2
y 2
-4，朝下，有
yzdzdx 2dxdy =0 2 dxdy - -2 11 dxdy - -8二，
故 ” *1 'l D
xy 11yzdzdx 2dxdy =12二 Z
3
2
2
2
2
<2) i ix dydz 2xz dzdx 3y dxdy ,E 为抛物面 z = 4-x - y 被平面 z = 0所截下地 X 部分地下侧.
解；作曲面 二：z = 0, D xy : x
2
4朝上.则
3 2 2
I ix dydz 2xz dzdx 3y dxdy
Z
x 3dydz 2xz 2dzdx 3y 2dxdy - x 'dydz 2xz 2dzdx 3y 2dxdy
=-.(3x 2 0 0)dxdydz i ix 'dydz 2xz 2dzdx 3y 2dxdy
其中门：z 乞4 —x
2
—y 2(z -0)
2 二 2
4 -r 2
2
2
■ r 2 cos^dz
11 i.,x 2
dxdyd^ ：Q
d ］。

rdr 。

2 二 2 . . 2 3
4 -r 2
16■:
y
＜用柱坐标门：0岂z乞4-r2,0岂r岂2,0 v 2 ,) - 2 2 由11
: ^ 0, D xy ： x y<4，朝上有
3 2 2 2
I ix dydz 2xz dzdx 3y dxdy =0 0 亠 i i3y dxdy
2 2兀2
3 2
2兀
2
2
3
二3ydxdy = 3° dr r sin)dr =3。

sin rdv r dr = 12 ：
D xy
2 2
故IIX dydz 2xz dzdx 3y dxdy = -16黛-12”：- -28二Z
<其中利用定积分地几何意义有
:cos2 rd 八2 sin2ndr
= ^q2 (sin= cosr)dr 二二)
I— 2 2 3 2
3 :计算曲面积分J [ xz dydz十(x y - z )dzdx十(2 xy十y z) dxdy其中刀为z = 0 z「a2-x2-y2所围曲面外侧.
I— 2 2 3 2
解：J7xz dydz +(x y —z )dzdx + (2 xy + y
z)dxdy T
a
= .(z2 x2 y2)dxdydz = 0 02 d :0r2r2 sin
'dr
2 a 2
4•设f是连续可导函数，计算曲面积分
x3dydz [丄f (丫) y3]dzdx+[- f (上)z3]dxdy其中刀为锥面
z z y z
2 2 2 2 2 2 2 2
x - y - z与两球面x y ■ z =1及x y ■ z =4所围立体表面地外侧
解: x3dydz I 1
f
(丫)
y3]dzdx+[- f (') z3]dxdy
y z
1 ' y
2 1 ' y
=(3x 2 f T) 3y - 2 f T) 3z )dxdydz
z z z z
2 2 2
=.(3x 3y 3z )dxdydz
2H - 2
2 JI 亠0 d「04
2
sin ".1『『dr
93(2 -、、2)
JI
第十章自测题
5 •利用斯托克斯公式计算下列曲线积分 ：
2 2 2 2
x y z a
，从z 轴正向看去，取逆时针方
<1)令ydx +zdy +xdz ,『为圆周：
dydz dzdx dxd
y
ex 创
cz y
z x
二 -dydz 「dzdx 「dxdy 二- dydz dzdx dxdy
Z
＜其中［如图它是 x y z=0在球内地部分，朝上.) 2地法向量为1,1,1 ,故
--dydz dzdx dxdy - -
(―
3 3 3)dS
丈
i
3 3
3
--3 dS - -、3二 a 2
<2) ： (y -z)dx (z -x)dy (x -y)dz ，丨为椭圆
2 2 :
x y a x z
(a, b - 0)，从z 轴正向看
去，
取逆时针方向•
dydz dzdx dxdy
ex
cz
y —z z —x x —
—— x z
=-2 ii dydz dzdx dxdy ＜其中匕它是
1在圆柱内地部分，朝上)
a
二地法向量为 b,0,a ，故
b
2 )dS
原积分--2 11 dydz dzdx dxdy - -2\ i ( . _ _______ Z
丈 J a 2+b 2 J a 2
+b
--2(
b a
) dS »2(—
■，a 2
b 2
a 2
b 2'
2
--a 2 b 2
-
二
a 2
一2二 a(a b)
a 2
b 2
解：原积分=
z 11-2 dydz - 2 dzdx
- 2dxdy
解：原积分=
Z
1. <1)求.zds,其中】为曲线x =tcost
y =tsint ,(0 空t 4)；
z = t
解：J 产ds = (t J(cost —tsin +(s in t + tcost)?
+1dt
t-厂2dt =
3
t222
3
t
3
(2 尸 -2、、2
3
x x
<2 ) 求Je s yi - ny dx 2e )y-(dyc;其中L 为上半圆周
2 2 2
(x-a) y二a,y_0,沿逆时针方向
解：P =e x siny _2y,Q = e x cosy 一2,2 一―= 2
dx cy
做直线段OA:y =0,x:0—；2a,则
L(e x sin y _2y)dx (e x cosy _2)dy
(e x sin y _2y)dx (e x cos y _2)dy _ (e x sin y _2y)dx (e x cosy _2)dy
L ^5A ' ^5A
=J*2dxdy in y _2y)dx +(e x cosy
_2)dy
= ^a2- _OA(e x sin y -2y)dx +(e x cos y -2)dy
由OA: y = 0, x: 0
—；2a 有
2a
(e x si ny -2y)dx (e x cosy-2)dy (e x si nO-2 0)dx 0 =
^5A 0
故((e x sin y —2y)dx +(e x cos y —2)dy =兀a2
2•计算下列各题:
R 2
- y 2
2
+ 02
dydz
R 2
R
y
2
dydZ
._dS
“ dS
=4 V
\ x 2
y 2
z 2
冷
x 2 y 2 z 2
冷
R 2 z 2
R
H R
1 V R
2 z2Fy 2
dyd
—
dz
R
R 2 z 2、R 2_y 2
dy
"H
=Udz R
旦 dy
. R 2 z 2
■ R 2_y 2『
= 4ln z R 2 —z2 H
RarcsinX R
' R 丿0 H • R 2 H 2 =2 二 Rin
R 2 <2 )求 11 (y - Z
z = .J x 2 • y 2(0 乞 z <
h)地外侧. z) d y d z 2 ,
)z ，x(d-z 其d 中x 刀 x 为锥y 面d x d y
-- 2 2 2
解：作曲面二：z=h,D:x y - h ，朝上，则 2 2 2
ii(y -z)dydz (z -x)dzdx (x - y)dxdy Z
2 2 2
= (y -z)dydz (z -x)dzdx (x - y)dxdy 2 2 2
11 (y - z)dydz (z -x)dzdx (x - y)dxdy n n n 二.]0 • 0 ■ 0)dxdydz ,(y -z)dydz (z -x)dzdx (x - y)dxdy ■_1 由 Zi : ^ h,D : x y < h ，朝上有 ii(y 2 -z)dydz (z 2 - x)dzdx (x 2 - y)dxdy =0 0 亠 i i(x - y)dxdy 2 2 2 = (x -y)dxdy 二 x dxdy 11 ydxdy 二 x dxdy-0 D
D D D
■: h 4
1 2 2 1 2二.h 3 =尢心
y
)dxdy=2
djr de 4。