2.2.1直线的参数方程2

1.若点 M 2,1 ？
2.若点 M 4,5？
A
M(-1，2)
N
B
O
x
M 2,1
探索思考
直线与曲线
f
(
x，y)
0交于M1，M
两点，对应的
2
参数分别为t1，t2 .
(1)曲线的弦M
1
M
的长是多少？
2
(2)线段M1M2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) | M1M2 | | t1 t2 |； (2) t t1 t2 .
直线 y - y0 tan (x x0 ) ①
如何建立直线的 参数方程？
学习目标
1、掌握建立直线参数方程的方法； 2、了解直线参数方程中参数t的意义； 3、熟悉直线的参数方程在求一些点距 问题的应用；
二、新课讲授
已知一条直线过点M0 ( x0，y0 )，倾斜角，求这条
直线的方程.
（1）如何利用倾斜角 写出直线的单位方向
O
x
探究思考
由M0M te，你能得到直线l的参数方程中参数 t 的几何意义吗？
解： M0 M te，| M0 M | | te |，
又因为 e 是单位向量， | e | 1，
| M0 M | | t || e | | t | .
y
M
所以，直线参数方程中参数
t的绝对值等于直线上动点M
这就是 t 的几何 意义，要牢记
向量 e ？
（2）如何利用 e 和 M0 的坐标表示直线上任意
一点的坐标？
解：在直线上任取一点M(x，y)，则 M0 M ( x，y) ( x0 y0 ) ( x x0，y y0 )
设 e 是直线 l 的单位方向向量，则e (cos，sin )
因为M0 M // e，所以存在实数t R，使 M0 M te，即
2
课堂练习2：
1、直线l经过点 M 0 1,5 ，倾斜角为
3
，
（1）求直线l的参数方程；
（2）求直线l和直线 x y 2 3 0 的交点到
点M 0 的距离； （3）求直线l和圆 x2 y2 1直线
x
y
3 4
4t （t为参数），则直线
3t
4 所以直线的参数方程可以写成：
B
O
x
x y
1 2t
t
cos
3
4
sin 3
4
(t为参数)
即
x
1
2 2
t
(t为参数)
y
2
2t 2
y
A
M(-1，2)
把它代入抛物线方程y x2， 得t 2 2t 2 0.
B
O
x
解得t1
2 2
10 ，t2
2 2
10 ，
由参数 t 的几何意义得
有向线段的数量；
（B）直线上动点Px, y 到定点 P0 3,1 的
有向线段的数量.
三、典型例题
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x2交于
A，B两点，求线段AB的长度和点M (1，2)到A，B
y
两点的距离之积.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解？
2.分别如何解？
A
M(-1，2)
B
O
x
3.点M是否在直线上？
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x2交于
A，B两点，求线段AB的长度和点M (1，2)到A，B
两点的距离之积.
y
解：因为把点M的坐标代入直
线方程后，符合直线方程，所 A
以点M在直线上.
M(-1，2)
易知直线的倾斜角为 3 ，
一、温故知新
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k( x x0 )
两点式: y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 ab
k= y2 y1 tan
x2 x1
在平面直角坐标系中，确定一条直线 的几何条件是什么？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
随堂练习1：
1、直线
x
y
2tsin200 （t为参数），
1 t cos200
经过定点 (2, - 1) ;
倾斜角为 70°
.
2、直线
x
31t
2 （t为参数）方程中,
y
1
3t 2
t的几何意义是（ A ）.
（A）定点 P0 3,1 到直线上动点 Px, y 的
过定点 M0（ ）；斜率为（ ）； t 是定点 M0 到该直线上动点M的距离吗？
四、课堂小结
1、直线参数方程标准形式：
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t是参数)
2、明确直线参数方程中参数t 的几何意义；
3、应用：直线上两点间的距离； 弦长问题；中点问题.
( x x0，y y0 ) t(cos，sin ) 所以 x x0 t cos，y y0 t sin y
M(x,y)
即 x x0 t cos，y y0 t sin
所以，该直线的参数方程为 M0(x0，y0) e
x
y
x0 y0
t cos(t为参数) t sin
(cos，sin )
M0
e
到定点M0的距离.
| t | = | M0M |
O
x
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy
| AB | | t1 t2 | 10，
| MA | | MB | | t1 | | t2 | | t1t2 | 2.
变式训练：
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x2交于
A，B两点，求线段AB的长度和点M (1，2)到A，B
两点的距离之积.
M 4,5 y