第9讲 牛顿运动定律之弹簧连接体模型(解析版)

第9讲弹簧第二定律—弹簧连接体模型
1
一、连接体问题
1.连接体与隔离体：两个或几个物体相连组成的物体系统为连接体，如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为隔离体。

2.连接体的类型：物+物连接体、轻杆连接体、弹簧连接体、轻绳连接体。

3.外力和内力：如果以物体系统为研究对象，物体受到的系统之外的作用力是该系统受到的外力，而系统内各物体间的相互作用力为内力。

应用牛顿第二定律列方程时不用考虑内力，如果把某物体隔离出来作为研究对象，则一些内力将作为外力处理。

4.解答连接体问题的常用方法
（1）整体法：当系统中各物体的加速度相同时，我们可以把系统内的所有物体看成一个整体，这个整体的质量等于各物体的质量之和，当整体受到的外力已知时，可用牛顿第二定律求出整体的加速度，这种处理问题的思维方法称为整体法。

（2）隔离法：为了研究方便，当求系统内物体间相互作用的内力时，常把某个物体从系统中“隔离"出来进行受力分析，再依据牛顿第二定律列方程，这种处理连接体问题的思维方法称为隔离法。

温馨提示：处理连接体问题时，一般的思路是先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力。

特别说明：在处理连接体问题时，必须注意区分内力和外力，特别是用整体法处理连接体问题时，切忌把系统内力列入牛顿第二定律方程中。

若用隔离法处理连接体问题，对所隔离的物体，它所受到的力都属外力，也可以采用牛顿第二定律进行计算。

2
一、单选题
1.（2020·山东省高三其他）如图甲、乙所示，细绳拴一个质量为m的小球，小球分别用固定在墙上的轻质铰链杆和轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角均为53°，轻杆和轻弹簧均水平。

已知重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6。

下列结论正确的是（）
A.甲、乙两种情境中，小球静止时，细绳的拉力大小均为43mg
B.甲图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为43
mg C.乙图所示情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小为53
mg D.甲、乙两种情境中，细绳烧断瞬间小球的加速度大小均为53
mg 【答案】C
【解析】A.甲、乙两种情境中，小球静止时，轻杆对小球与轻弹簧对小球的作用力都是水平向右，如图所示
由平衡条件得细绳的拉力大小都为
5cos533
mg T mg =
=︒ 故A 错误； BCD.甲图所示情境中，细绳烧断瞬间，小球即将做圆周运动，所以小球的加速度大小为
1a g =
乙图所示情境中，细绳烧断瞬间弹簧的弹力不变，则小球所受的合力与烧断前细绳拉力的大小相等、方向相反，则此瞬间小球的加速度大小为
253
T a g m =
= 故C 正确，BD 错误。

故选C 。

2.（2020·四川省棠湖中学高一期末）如图所示，A 、B 两个小球质量为1m 、2m ，分别连在弹簧两端，B 端
用平行于斜面的细线固定在倾角为37°的光滑固定斜面上，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，A 、B 两球的加速度大小分别为（ ）
A.35g 和35g
B.0和35g
C.12235m m g m +⋅和0
D.0和12235
m m g m +⋅ 【答案】D
【解析】剪断前，小球A 处于平衡状态，弹簧的弹力
1sin 37F m g =
剪断后瞬间，绳子拉力突然消失，而弹簧的形变量没变，小球A 仍处于平衡状态，加速度为0；而此时B 小球，根据牛顿第二定律
222sin 37F m g m a +=
整理得，B 小球的加速度
122235
m m g a m +=
⋅ 故D 正确，ABC 错误。

3.（2020·通辽市第一中学高三其他）如图所示，水平面上放有三个木块A 、B 、C ，质量均为m =1kg ，A 、C 与地面间的接触面光滑，B 与地面间的动摩擦因数μ=0.1，A 、B 之间用轻弹簧相连，B 、C 之间用轻绳相连.现在给C 一个水平向右的大小为4N 的拉力F ，使A 、B 、C 三个木块一起以相同的加速度向右做匀加速直线运动.某一时刻撤去拉力F ，则撤去力F 的瞬间，轻绳中的张力T 为(重力加速度g =10m/s 2)（ ）
A.0
B.1N
C.2N
D.3N
【答案】B
【解析】在拉力作用下对整体，由牛顿第二定律可得： 3F mg ma μ-=
解得：
a =1m/s 2
对A 由牛顿第二定律可得，弹簧弹力：
11N 1N F ma '==⨯=
当撤去外力后，把BC 作为整体，由牛顿第二定律可知：
2F mg ma μ'+='
解得：
a ′=1m/s 2
方向向左
对C 受力分析有牛顿第二定律可得：
1N T ma ='=
A.0，与计算不符，故A 项错误；
B.1N ，与计算相符，故B 项正确；
C.2N ，与计算不符，故C 项错误；
D.3N ，与计算不符，故D 项错误.
4.（2020·黑龙江省大庆实验中学高二期末）如图所示，A 、B 的质量分别为m A =2kg ，m B =4kg ，盘C 的质量m C =6kg ，现悬挂于天花板O 处，处于静止状态。

当用火柴烧断O 处的细线瞬间，木块A 、B 、C 的加速度分别是a A 、a B 、a C ，B 对C 的压力大小是F BC (g 取10m/s 2），则（ ）
A.a A =a B =a C =g ，F BC =0
B.a A =0，a B =a C =g ，F BC =0
C.a A =a B =0，a C =3g ，F BC =60N
D.a A =0，a B =a C =12m/s 2，F BC =12N
【答案】D
【解析】烧断细线前细线的拉力为
()120N A B C T m m m g =++=
弹簧的弹力大小
20N A F m g ==
烧断细线后瞬间，弹簧的弹力没有改变，则A 的受力情况没有改变，其合力仍为零，根据牛顿第二定律得 A 的加速度a A =0
对BC 整体，根据牛顿第二定律得 ()22BC 20(46)1210m 46
/s m/s B C B C F m m g a m m ++++⨯=+=
=+ 对C 由牛顿第二定律可得 BC C C BC F m g m a +=
解得F BC =12N 。

故ABC 错误，D 正确。

故选D 。

5.（2020·河北省高二月考）如图所示，A 、B 为两个质量相等的小球，由细线相连，再用轻质弹簧悬挂起来，在A 、B 间细线烧断后的瞬间，A 、B 的加速度分别是（ ）
A.A 、B 的加速度大小均为g ，方向都竖直向下
B.A 的加速度为0，B 的加速度大小为g 、竖直向下
C.A 的加速度大小为g 、竖直向上，B 的加速度大小为g 、竖直向下
D.A 的加速度大于g 、竖直向上，B 的加速度大小为g 、竖直向下
【答案】C
【解析】对整体分析，弹簧的拉力为
2F mg '=
细线的弹力
F mg =
剪断细绳的瞬间，对A ，瞬间加速度：
F mg a g m
'-== 方向竖直向上；
对B ，只受重力的作用，故加速度的大小为 mg a g m
'== 方向向下，故C 正确，ABD 错误；
故选C 。

6.（2020·北京交通大学附属中学高一期末）如图甲所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m 的小球，从离弹簧上端高h 处由静止释放，落在弹簧上后继续向下运动到最低点的过程中，小球的速度v 随时间t 的变化图象如图乙所示，其中OA 段为直线，AB 段是与OA 相切于A 点的曲线，BCD 是平滑的曲线。

若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox ，则关于A 、B 、C 、D 各点对应的小球下落的位置坐标x 及所对应的加速度a 的大小，以下说法正确的是（ ）
A.A x h =，0A a =
B.B mg x h k =+
，0B a = C.2
B mg x h k =+，
C a g = D.2B mg x h k =+，
D a g = 【答案】B 【解析】小球的速度v 随时间t 的变化图象如图乙所示，其中OA 段为直线，表示物体在OA 段加速度不变，即OA 段物体自由下落，若以小球开始下落的位置为原点，则
A x h =，A a g =
B 点时物体的速度最大，加速度为0，则B 点时弹簧的弹力等于小球的重力，则B 点对应的小球下落的位置坐标
B mg x h k
=+ AC 段，加速和减速具有对称性，则C 点时物体的加速度大小
C a g =
BCD 是平滑的曲线，则D 点时物体的加速度大小
D C a a g >=
故B 项正确，ACD 三项错误。

故选B 。

7.（2020·四川省泸县第二中学高三其他）如图所示，一根弹簧一端固定在左侧竖直墙上，另一端连着A 小球，同时水平细线一端连着A 球，另一端固定在右侧竖直墙上，弹簧与竖直方向的夹角是60°，A 、B 两小球分别连在另一根竖直弹簧两端.开始时A 、B 两球都静止不动，A 、B 两小球的质量相等，重力加速度为g ，若不计弹簧质量，在水平细线被剪断瞬间，A 、B 两球的加速度分别为（ ）
A.a A ＝a B ＝g
B.a A ＝2g ，a B ＝0
C.a A 3，a B ＝0
D.a A ＝3g ，a B ＝0
【答案】D
【解析】剪断前，设悬挂A 小球的受到倾斜弹簧拉力为F ，细线拉力为T ，将AB 两个小球做为一个整体，受力分析可知
o cos 602F mg =
o sin 60F T =
解得
3T mg =
剪断后瞬间，绳子拉力突然消失，两根弹簧的弹力还没有来的及发生变化，因此A 小球所受合力水平向左，大小为T ，根据牛顿第二定律
T ma =
因此小球A 的加速度
23A a g =
而小球B 所受合力仍为0，加速度为零，D 正确，ABC 错误。

8.（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模）如图所示，质量均为m ＝3kg 的物块A 、B 紧挨着放置在粗糙的水平地面上，物块A 的左侧连接一劲度系数为k ＝100N/m 的轻质弹簧，弹簧另一端固定在竖直墙壁上。

开始时两物块压紧弹簧并恰好处于静止状态，现使物块B 在水平外力F 作用下向右做a ＝2m/s 2的匀加速直线运动直至与A 分离，已知两物块与地面的动摩擦因数均为μ＝0.5，g ＝10m/s 2.则物块A 、B 分离时，所加外力F 的大小，物块A 、B 由静止开始运动到分离所用的时间t 分别为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）
A.F ＝15N 3t =
B.F ＝21N 3t s =
C.F ＝15N 310t s =
D.F ＝21N t ＝0.3s
【答案】D 【解析】ABCD.开始时两物块压紧弹簧并恰好处于静止状态，则弹簧的弹力大小等于最大静摩擦力
12N F mg μ=
物块A 、B 刚要分离时，A 、B 无作用力，对A 受力分析可得
2N F mg a m
μ-= 物块A 、B 刚要分离时，A 、B 无作用力，对B 受力分析可得
F mg a m
μ-=
再根据胡克定律可得 11N F kx = ， 22N F kx =
物块A 、B 由静止开始运动到分离运动的位移
12x x x ∆=-
物块A 、B 由静止开始运动到分离运动的时间
212
x at ∆=
综上可求得
21N F = ，0.3s t =
ABC 错误，D 正确。

9.（2020·四川省宜宾市第四中学校高三其他）如图，将金属块用压缩的轻弹簧卡在一个箱子中，上顶板和下底板装有压力传感器.当箱子随电梯以a ＝4.0 m/s 2的加速度竖直向上做匀减速运动时，上顶板的传感器显示的压力为4.0 N ，下底板的传感器显示的压力为10.0 N.取g ＝10 m/s 2，若下底板示数不变，上顶板示数是下底板示数的一半，则电梯的运动状态可能是（ ）
A.匀加速上升，a ＝5 m/s 2
B.匀加速下降，a ＝5 m/s 2
C.匀速上升
D.静止状态
【答案】B
【解析】当箱子随电梯以24.0 m/s a =的加速度竖直向上做匀减速运动时，对金属块受力分析，由牛顿第二定律知N F 上N mg F +-下ma =，解得1kg m =；若上顶板传感器的示数是下底板传感器的示数的一半，由于弹簧压缩量不变，下底板传感器示数不变，仍为10 N ，则上顶板传感器的示数是5 N ，对金属块，由牛顿
第二定律知N
F '上N mg F +'-下ma ='，解得25m/s a '=，方向向下，故电梯以25m/s 的加速度匀加速下降，或以25m/s 的加速度匀减速上升，故选项B 正确，A 、C 、D 错误。

10.（2020·邢台市第二中学高一开学考试）如图所示，质量为2 kg 的物体A 静止在竖直的轻弹簧上面。

质量为3 kg 的物体B 用轻质细线悬挂，A 、B 接触但无挤压。

某时刻将细线剪断，则细线剪断瞬间，B 对A 的压力大小为（g ＝10 m/s 2）（ ）
A.12 N
B.22 N
C.25 N
D.30N
【答案】A
【解析】剪断细线前，A 、B 间无压力，对A 受力分析，受重力和弹簧的弹力，根据平衡条件有：
21020A F m g ==⨯=N
剪断细线的瞬间，对整体分析，根据牛顿第二定律有：
()()A B A B m m g F a m m =+-+
代入数据得整体加速度为：6a =m/s 2
隔离对B 分析，根据牛顿第二定律有：
B B m g N m a -=
代入数据解得：12N =N ，故A 正确，BCD 错误。

故选A.
二、多选题
11.（2020·辽宁省高三三模）在倾角为θ的固定光滑斜面上有两个用轻弹簧相连的物块A 、B ，它们的质量分别为1m 和2m ，弹簧劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态。

现用一平行于斜面向上的拉力拉物块A ，使它以加速度a 沿斜面向上做匀加速运动直到物块B 刚要离开挡板C ，在此过程中（ ）
A.拉力的大小一直增大
B.物块B 刚要离开挡板C 时拉力()121sin F m m g m a =++θ
C.拉力做功的功率先增大后减小
D.物块A 的机械能先减小后增大
【答案】AB
【解析】B.当物块B 刚离开挡板C 时，有
21sin m g kx θ=
物块B 刚要离开挡板C 时拉力最大，对A ，有
111sin F m g kx m a θ--=
解得拉力的最大值为
121()sin F m m g m a θ=++
B 正确；
AC.从A 开始运动到弹簧恢复原长前，弹簧的形变量为x ，对于A
11sin F m g kx m a θ-+=
x 减小，F 增大，根据
P Fv =
知拉力的功率增大，弹簧恢复原长后，弹簧的形变量为'x ，对于A
'11sin F m g kx m a θ--=
'x 增大，F 增大，由
P Fv =
物块A 以加速度a 沿斜面向上做匀加速运动，速度增大，所以拉力做功的功率也一直增大，C 错误A 正确；
D.物块A 以加速度a 沿斜面向上做匀加速运动，速度增大，动能增大，上升高度增加，势能增大，所以机械能增大，D 错误。

12.（2020·河北省汇文二中高一期末）如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 栓接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上（桌面足够大），A 右端连接一水平细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连，开始时托住B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度，下列有关该过程的分析中正确的是（ ）
A.B 物体受到细线的拉力始终保持不变
B.B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
C.A 物体动能的增加量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和
D.A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功
【答案】BD
【解析】分析B ，从开始运动到最后静止，B 受到绳子的拉力和重力，当T mg >时，做加速运动，当T mg
=
做减速运动，因为B的加速度在变化，所以T也在变化，A错误.AB和弹簧时，B的速度最大，当T mg
组成的系统机械能守恒，所以B减小的机械能等于弹簧的弹力势能的增加量与A动能的增加量，B正确.A 受绳子的拉力，弹簧的弹力，所以根据动能定理可得A物体动能的增加量等于细绳对A做的功与弹簧弹力对A做的功之和.C错误.因为A物体与弹簧组成的系统只有细绳的拉力做功，所以A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功，D正确.
13.（2020·银川唐徕回民中学高三三模）A、B两小球质量相等，A球不带电，B球带正电，光滑的绝缘斜面倾角为θ，图甲中，A、B两球用轻质绝缘弹簧相连，图乙中，A、B两球用轻质绝缘杆相连，两个装置均处于平行于斜面向上的匀强电场E中，此时A、B两球组成的系统均处于静止状态，轻弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度大小为g，当撤去匀强电场E的瞬间，则下列说法正确的是（）
A.两图中A、B两球的加速度大小均为g sin θ
B.两图中A球的加速度大小均为零
C.图乙中轻杆的作用力一定为零
D.图甲、乙中B球的加速度大小之比为2∶1
【答案】CD
【解析】撤去电场前，B球所受的电场力大小为2mg sinθ，因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去电场的瞬间，图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2mg sinθ，加速度为2g sinθ；图乙中杆的弹力突变为零，A、B球所受合力均为mg sinθ，加速度均为g sinθ，故图甲中B球得加速度是图乙中B球加速度的2倍；故AB错误，DC正确；。