2022年陕西省宝鸡市高考文科数学二模试卷及答案解析

2022年陕西省宝鸡市高考文科数学二模试卷
一.选择题：共计12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若复数z 满足2z +z =3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ） A ．1+2i
B ．1﹣2i
C ．﹣1+2i
D ．﹣1﹣2i
2．（5分）已知全集为U ，集合A ，B 为U 的子集，若（∁U A ）∩B ＝∅，则A ∩B ＝（ ） A ．∁U B
B ．∁U A
C ．B
D ．A
3．（5分）“0＜m ＜2”是“方程x 2m
+
y 22−m
=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）
A ．充要条件
B ．.充分不必要条件
C ．.必要不充分条件
D ．.既不充分也不必要条件
4．（5分）庄子说：一尺之锤，日取其半，万世不竭．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正数n 后，输出的S ∈(3132，127
128
)，则输入的n 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
5．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3
=3，则
S 9S 6
=（ ）
A ．2
B ．7
3
C ．83
D ．3
6．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；
④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β． 其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（5分）若变量x ，y 满足条件{x −y ≤0x −2y +2≥0x ≥−2，则目标函数z ＝x +y 的最小值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣2
C ．﹣4
D ．4
8．（5分）设函数f(x)=sin(2x −5π
6)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为偶函数，则φ的最小值是（ ） A ．π
6
B ．π
3
C ．
2π3
D ．
5π6
9．（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会徽章中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取4只，则n 为（ ） A ．3
B ．2
C ．5
D ．9
10．（5分）已知直线y ＝x +a 与曲线y =√2−x 2的两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）
B ．（0，2）
C ．(√2，2)
D ．[√2，2)
11．（5分）已知x ＞0，y ＞0，lg 2x +lg 8y ＝lg 2，则1
x
+13y 的最小值是（ ）
A ．4
B ．2√2
C ．2
D ．2√3
12．（5分）定义方程f （x ）＝f ′（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数．若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．b ＞c ＞a
二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分
13．（5分）已知平面向量a →
，b →
满足a →
=（1，√3），|b →
|＝3，a →
⊥（a →
−b →
），则a →
与b →
夹角的余弦值为 ．
14．（5分）函数f(x)=log 12
(x 2−ax +3a)在区间[2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值
范围是 ．
15．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则数列{1
a n a n+1}的前15项和为 ．
16．（5分）已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1
的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →
=AB →
，F 1B →
•F 2B →
=0，则C 的离心率为 ．
三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分
17．（12分）函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π
2）的图像过点(π
3，1)，且相邻对称轴间的距离为π
2．
（1）求ω，φ的值；
（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若f(A
2)=3，且a ＝2，求△ABC 的面积最大值；
18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元） 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 市场规模
35
44
58
70
88
100
（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y 关于年度代码的线性回归方程y =b x +a ；
（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模
型？ 参考数据：y
=59，∑ 5
i=1x i y i ＝1017，参考公式：b
=
∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n
i=1x i 2
−nx
2
，a =y −b x ．
19．（11分）如图所示，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为8的正方形，∠APB ＝90°，点E ，F 分别是DC ，AP 的中点． （1）证明：DF ∥平面PBE ；
（2）若AB ＝2P A ，求四棱锥P ﹣ABED 的体积．
20．（10分）已知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离比它到直线x ＝﹣5的距离小2，经过点F （3，0）的直线l 的曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的方程；
（2）若曲线C 在点A ，B 处的切线交于点P ，求△P AB 面积最小值．
21．（10分）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣e x ，其中a ∈R ．e ＝2.718⋯为自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性；
（2）若方程f （x ）＝xlnx 对x ∈（1，e ）有实根，求a 的取值范围．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参
数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为θ＝β（0＜β＜
π
2
，ρ∈R ）． （1）求曲线C 的普通方程；
（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，且|OA |+|OB |＝3，求直线l 的斜率． 23．已知函数f （x ）＝lg （|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3）（m ∈R ）． （1）当m ＝1，求函数f （x ）的定义域；
（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，求实数m 的取值范围．
2022年陕西省宝鸡市高考文科数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：共计12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若复数z 满足2z +z =3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ） A ．1+2i
B ．1﹣2i
C ．﹣1+2i
D ．﹣1﹣2i
【解答】解：复数z 满足2z +z =3﹣2i ， 设z ＝a +bi ，
可得：2a +2bi +a ﹣bi ＝3﹣2i ． 解得a ＝1，b ＝﹣2． z ＝1﹣2i ． 故选：B ．
2．（5分）已知全集为U ，集合A ，B 为U 的子集，若（∁U A ）∩B ＝∅，则A ∩B ＝（ ） A ．∁U B
B ．∁U A
C ．B
D ．A
【解答】解：因为（∁U A ）∩B ＝∅，所以B ⊆A ， 所以A ∩B ＝B ． 故选：C ．
3．（5分）“0＜m ＜2”是“方程x 2m
+
y 22−m
=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）
A ．充要条件
B ．.充分不必要条件
C ．.必要不充分条件
D ．.既不充分也不必要条件 【解答】解：若方程
x 2m
+
y 22−m
=1表示焦点在x 轴上的椭圆，
则{m ＞0
2−m ＞0m ＞2−m
，解得1＜m ＜2，
所以“0＜m ＜2”是“方程 x 2m
+
y 22−m
=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的必要不充分条
件． 故选：C ．
4．（5分）庄子说：一尺之锤，日取其半，万世不竭．这句话描述的是一个数列问题．现用
程序框图描述，如图所示，若输入某个正数n后，输出的S∈(31
32，
127
128
)，则输入的n的
值为（）
A．7B．6C．5D．4【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值0，
输入n的值后，执行循环体，S=1
2，k＝1；
判断1＞n不成立，执行循环体，S=3
4，k＝2；
判断2＞n不成立，执行循环体，S=7
8，k＝3；
判断3＞n不成立，执行循环体，S=15
16，k＝4；
判断4＞n不成立，执行循环体，S=31
32，k＝5；
判断5＞n不成立，执行循环体，S=63
64，k＝6；
判断6＞n不成立，执行循环体，S=127
128，k＝7；
…
由于输出的S∈(31
32，
127
128
)，可得：当S=6364，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n
＜6，
可得输入的正整数n 的值为5． 故选：C ．
5．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3
=3，则
S 9S 6
=（ ）
A ．2
B ．7
3
C ．83
D ．3
【解答】解：设公比为q ，则S 6S 3
=a 1(1−q 6)
1−q a 1(1−q 3)1−q
=
1−q 61−q =1+q 3＝3，
所以q 3＝2， 所以
S 9S 6
=
1−q 91−q =
1−231−2=7
3
．
故选：B ．
6．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；
④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β． 其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：对于①，假设n ⊂β，α∩β＝l ，因为n ∥α，所以n ∥l ，又m ⊥α， 所以m ⊥l ，而n ∥l ，所以m ⊥n ，正确；
对于②，若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α或m ⊂α，故错误；
对于③，若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β，又m ∥α，所以在平面α内一定存在一条直线l ，使m ∥l ，
而m ⊥β，所以l ⊥β，l ⊂α，则α⊥β，正确；
对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的． 故真命题有3个． 故选：C ．
7．（5分）若变量x ，y 满足条件{x −y ≤0x −2y +2≥0x ≥−2，则目标函数z ＝x +y 的最小值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣2
C ．﹣4
D ．4
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立{x =−2x −y =0
，解得A （﹣2，﹣2），
由z ＝x +y ，得y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为﹣4． 故选：C ．
8．（5分）设函数f(x)=sin(2x −5π
6)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为偶函数，则φ的最小值是（ ） A ．π
6
B ．π
3
C ．
2π3
D ．
5π6
【解答】解：函数f(x)=sin(2x −5π
6
)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，
得到函数g （x ）＝sin （2x +2φ−5π
6）的图象． 若g （x ）为偶函数，则2φ−5π
6=k π+π
2，k ∈Z ， 令k ＝﹣1，求得φ的最小值为π6，
故选：A ．
9．（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会徽章中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取4只，则n 为（ ） A ．3
B ．2
C ．5
D ．9
【解答】解：根据分层抽样的定义可得：420
=
n 20+15+10
，解得n ＝9．
故选：D ．
10．（5分）已知直线y＝x+a与曲线y=√2−x2的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣2，2）B．（0，2）C．(√2，2)D．[√2，2)
【解答】解：曲线y=√2−x2线是以（0，0）为圆心，√2为半径位于x轴上方的半圆．当直线l过点A（−√2，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时0=−√2+a，解得a=√2．
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d=
2
=√2
解得a＝2或﹣2（舍去），
若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，
则直线l夹在两条直线之间，
因此√2≤a＜2，
故选：D．
11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则1
x +
1
3y
的最小值是（）
A．4B．2√2C．2D．2√3【解答】解：lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，
又由lg2x+lg8y＝lg2，
则x+3y＝1，
进而由基本不等式的性质可得，
1 x +
1
3y
=（x+3y）（
1
x
+
1
3y
）＝2+
3y
x
+x3y≥4，
故选：A．
12．（5分）定义方程f（x）＝f′（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，其中f′（x）是函数f（x）的导函数．若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小是（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【解答】解：∵函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，∴a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．
∵h（x）＝lnx+1，h′（x）=1
x，∴b为lnx+1=
1
x的根，可得x＝1，即可b＝1，
∵φ（x ）＝x 3﹣1，φ'（x ）＝3x 2，∴c 为x 3﹣1＝3x 2的根，即函数φ1（x ）＝x 3﹣1﹣3x 2的零点，
∵φ1′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2），
∴当x ∈（0，2）时，φ1′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，φ1′（x ）＞0，函数单调递增，
又∵φ1（0）＜0，φ1（2）＜0，φ1（4）＞0，∴c ∈（2，4）， ∴c ＞b ＞a ． 故选：C ．
二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分
13．（5分）已知平面向量a →
，b →
满足a →
=（1，√3），|b →
|＝3，a →
⊥（a →
−b →
），则a →
与b →
夹角的余弦值为
23
．
【解答】解：|a →
|=2，|b →
|=3； ∵a →
⊥(a →
−b →
)；
∴a →
⋅(a →
−b →
)=a →
2−a →⋅b →
=4−6cos ＜a →
，b →
＞=0； ∴cos ＜a →
，b →
＞=2
3． 故答案为：2
3．
14．（5分）函数f(x)=log 12
(x 2−ax +3a)在区间[2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值
范围是 （﹣4，4] ．
【解答】解：设t ＝x 2﹣ax +3a ，则y ＝log 12
t 为减函数，
则若f （x ）在区间[2，+∞）上是减函数，
则满足t ＝x 2﹣ax +3a ，在区间[2，+∞）上是增函数且t ＞0恒成立，
即{−
−a
2
≤2
4−2a +3a ＞0
得{a ≤4a ＞−4， 得﹣4＜a ≤4，
即实数a 的取值范围是（﹣4，4]， 故答案为：（﹣4，4]
15．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则数列{
1
a n a n+1}的前15项和为 1531
． 【解答】解：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则S n −S n−1=√S n +√S n−1，
整理得√n −√S n−1=1，所以数列{√S n }是以1为首项，1位公差的等差数列， 则√S n =1+(n −1)=n ，所以a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1． 所以
1a n a n+1
=
1
(2n−1)(2n+1)=
1
2(
1
2n−1
−
1
2n+1
)．
所以T 15=12(1−13
+13
−15
+⋯+129−131)=1531
． 故答案为：
1531
．
16．（5分）已知双曲线C ：x 2a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1
的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →
=AB →
，F 1B →
•F 2B →
=0，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：如图，
∵F 1A →
=AB →
，∴A 为F 1B 的中点，且O 为F 1F 2的中点， ∴AO 为△F 1F 2B 的中位线，
又∵F 1B →
⋅F 2B →
=0，∴F 1B ⊥F 2B ，则OB ＝F 1O ＝c ． 设B （x 1，y 1），A （x 2，y 2）， ∵点B 在渐近线y =b
a x 上， ∴{
x 12+y 12=c 2
y 1=b
a x 1
，得{x 1=a y 1
=b ．
又∵A 为F 1B 的中点，∴{x 2=
−c+a
2
y 2=b
2， ∵A 在渐近线y =−b a
x 上， ∴b
2=−
b a
⋅
a−c 2
，得c ＝2a ，则双曲线的离心率e =c
a =2．
故答案为：2．
三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分
17．（12分）函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π
2）的图像过点(π
3，1)，且相邻对称轴间的距离为π
2．
（1）求ω，φ的值；
（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若f(A
2
)=3，且a ＝2，求△ABC 的面积最大值；
【解答】解：（1）∵相邻对称轴间的距离为π
2．∴
2πω
=π，∴ω＝2，
∴f （x ）＝2sin （2x +φ）+1，
∵f （x ）的图像过点(π
3
，1)，∴2sin （2×π3
+φ）+1＝1，∴sin （2×π
3
+φ）＝0， ∴φ=−2π
3+k π，k ∈Z ，又|φ|＜π
2，∴φ=π
3；
（2）由（1）知f （x ）＝2sin （2x +π
3）+1，又f(A
2)=3， ∴2sin （A +π
3）+1＝3，∴sin （A +π3）＝1， 又π
3＜A +π3
＜
4π3，∴A +π3=π2，∴A =π6， 在△ABC 中，由余弦定理有a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，∴4≥2bc −√3bc ， ∴bc ≤
2−3
=8+4√3，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积最大值为S =1
2×（8+4√3）sin
π6
=2+√3．
18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元） 年份
2017
2018
2019
2020 2021 2022
市场规模3544587088100（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y关于年度代码的线性回归方程y=b x+a；
（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？
参考数据：y=59，∑5i=1x i y i＝1017，参考公式：b=∑n
i=1
x i y i−nxy
∑n i=1x i2−nx2
，a=y−b x．
【解答】解：（1）由表中的数据可得，x=1
5
×(1+2+3+4+5)=3，
y=59，∑5i=1x i2=55，∑5i=1x i y i＝1017，
故b=∑n
i=1
x i y i−nxy
∑n i=1x i2−nx2=1017−5×3×39
55−5×32
=13.2，
a=y−b x=59﹣13.2×3＝19.4，
故y=13.2x+19.4．
（2）当x＝6时，y=13.2×6+19.4=98.6，
∵|98.6﹣100|＜100×5%，
∴认为预测数据符合模型．
19．（11分）如图所示，平面P AB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为8的正方形，∠APB ＝90°，点E，F分别是DC，AP的中点．
（1）证明：DF∥平面PBE；
（2）若AB＝2P A，求四棱锥P﹣ABED的体积．
【解答】（1）证明：设G是PB的中点，连接FG，EG，
由于F 是P A 中点，所以FG ∥AB ，FG =1
2AB ， 由于E 是CD 的中点，所以DE ∥AB ，DE =12AB ， 所以FG ∥DE ，FG ＝DE ，则四边形DEGF 是平行四边形， 所以DF ∥EG ，
因为DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面 PBE ， 所以DF ∥平面PBE ．
（2）由于AB ＝2P A ＝8，所以PA =4，PB =√82−42=4√3， 过P 作PH ⊥AB ，交AB 于H ，
由于平面P AB ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面ABCD ，且交线为AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ， 由1
2×AB ×PH =
12
×PA ×PB ⇒PH =2√3，
直角梯形ABED 的面积为4+82
×8=48，
所以V P−ABED =
1
3
×48×2√3=32√3． 20．（10分）已知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离比它到直线x ＝﹣5的距离小2，经过点F （3，0）的直线l 的曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的方程；
（2）若曲线C 在点A ，B 处的切线交于点P ，求△P AB 面积最小值．
【解答】解：（1）由题意知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离与它到直线x ＝﹣3的距离相等，
由抛物线的定义可知，曲线C 的方程为y 2＝12x ． （2）设点P （x 0，y 0），A （
y 1212
，y 1），B （
y 2212
，y 2），
由题设直线l 的方程为my ＝x ﹣3，
联立方程{my =x −3
y 2=12x ，消去x 得y 2﹣12my ﹣36＝0，
则y 1+y 2＝12m ，y 1y 2＝﹣36，
由y 2
＝12x 得2yy ′＝12，即y ′=6y ，则切线AP 的方程为y ﹣y 1=6
y 1
（x −y 1212），即为y =
6y 1x +y 12，同理切线BP 的方程为y =6
y 2x +y 22
， 把点P （x 0，y 0），代入切线AP ，BP 方程得{
y 0=6
y 1
x 0+y
1
2
y 0=6
y 2
x 0+y 22
，
解得{x 0=y 1y
212y 0=y 1+y 22，则P （y 1y 212，y 1+y 22），即P （﹣3，6m ）， 点P （﹣3，6m ）到直线l ：x ﹣my ﹣3＝0的距离d =
2√m +1
=5√m 2+1，
线段|AB |=√(m 2+1)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(m 2+1)(144m 2+144)=12（m 2+1），
S △P AB =12|AB |d ＝36（m 2+1）√m 2+1=36（m 2+1）32，
故当m ＝0时，△P AB 面积有最小值36．
21．（10分）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣e x ，其中a ∈R ．e ＝2.718⋯为自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性；
（2）若方程f （x ）＝xlnx 对x ∈（1，e ）有实根，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝a ﹣e x ，
当a ≤0时，f ′（x ）≤0恒成立，故函数f （x ）在R 上递减， 当a ＞0时，令f ′（x ）＞0， 解得x ＜lna ，
故函数f （x ）在（﹣∞，lna ）递增，（lna ，+∞）递减， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在R 上递减，
当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）递增，（lna ，+∞）递减； （2）由已知有：ax ﹣1﹣e x ＝xlnx 在（1，e ）有实数根， 参变分离可得：a =
xlnx+e x +1
x
， 构造g （x ）=xlnx+e x +1
x ，
则g′(x)=(e x +1)(x−1)
2
，
∵x ∈（1，e ），
∴g ′（x ）＞0在（1，e ）恒成立， 故g （x ）在（1，e ）恒增，
g(1)=e +1，g(e)=1+1
e +e e−1， 故a 的取值范围是：(e +1，1+1e +e e−1)．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参
数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为θ＝β（0＜β＜
π
2
，ρ∈R ）． （1）求曲线C 的普通方程；
（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，且|OA |+|OB |＝3，求直线l 的斜率．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参数），转换为普
通方程为（x ﹣2）2+y 2＝2， （2）根据{x =ρcosθ
y =ρsinθ
x 2+y 2=ρ2，得把（x ﹣2）2+y 2＝2转换为极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+2
＝0；
由于{
ρ2−4ρcosθ+2=0θ=β，
故ρ2﹣4ρcos β+2＝0， 所以ρ1+ρ2＝4cos β，ρ1ρ2＝2 故4cos β＝3；
所以cosβ=34，sin β=√7
4； 故tanβ=√7
3； 故直线的斜率k =
√7
3
．
23．已知函数f （x ）＝lg （|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3）（m ∈R ）． （1）当m ＝1，求函数f （x ）的定义域；
（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）m ＝1时，函数f （x ）＝lg （|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣3）， 令|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣3＞0，
则不等式等价于{
x ＜1
(1−x)+(2−x)−3＞0或{1≤x ≤2(x −1)+(2−x)−3＞0或
{x ＞2
(x −1)+(x −2)−3＞0， 解得x ＜0或无解或x ＞3，
所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）；
（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，则|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3≥1恒成立，即|x ﹣m |+|x ﹣2|≥4，
因为|x ﹣m |+|x ﹣2|≥|（x ﹣m ）﹣（x ﹣2）|＝|2﹣m |， 所以不等式可化为|2﹣m |≥4，即|m ﹣2|≥4， 所以m ﹣2≤﹣4或m ﹣2≥4， 解得m ≤﹣2或m ≥6，
所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．。