椭圆曲线密码(ECC)加解密算法的实现

毕业论文
论文题目椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现
学生姓名
学号
院别数学与信息科学学院
专业信息与计算科学
班级
指导教师
完成时间 2011 年 04 月
椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现
摘要本文首先介绍椭圆曲线密码体制(ECC)；并简明地给出了椭圆曲线的定义；接着以ElGamal公钥体制的ECC加解密的实现为例具体说明了其实现流程；最后分析了实现结果，安全性能和概述了ECC的发展现状，并对其未来的发展作了展望.
关键词椭圆曲线密码；公钥密码，数字签名
1引言
随着政府部门和行业对网络环境和网络资源依赖程度的增强,涉及国家安全和社会公共安全的所有重大问题都在网络上表现出来. 为了确保信息的保密性，完整
性，可用性，可控性，避免国家或个人的信息受到非法获取，破坏，篡改等形式的威胁，人们便提出了用密码技术来保障以电子形式保存或传送的数据. 1985年，N. Koblitz和V. Miller分别独立提出了椭圆曲线密码体制 (ECC)，这是一种高安全性，高效率的公钥密码体系，它在密钥强度，加解密的处理速度和存储开销上都有着明显的优势. 采用椭圆曲线密码技术使密钥协商协议可充分利用椭圆曲线密码的优势，在更小密钥量下提供了更大的安全性，所需带宽明显减少，而且还大大降低了用户端的计算负担和存储要求.
2椭圆曲线密码体制
2.1密码体制的含义
密码体制分为对称密码体制和非对称密码体制．非对称密码体制是指在加密
过程中，密钥被分为一对．这对密钥中的任何一个密钥都可以作为公开密钥通过非保密方式向他人公开, 而另一把作为私有密钥加以保存. 这对密钥具有这样一个特点: 当知道密钥对中的一个密钥时, 要检测出另一个密钥, 在计算上是不可能的. 公开密钥用来对信息进行加密, 则私有密钥用来对信息进行解密, 反之亦然. 在这个系统中, 每个通信实体都有一个加密密钥和一个紧密相关的解密密钥．通信的双方只要知道对方的公钥，就可以进行安全的通信．
2.2 椭圆曲线密码体制
椭圆曲线密码体制，即基于椭圆曲线离散对数问题的各种公钥密码体制. 最
早由Miller和Koblitz [1] 于1985年分别独立地提出. 它是利用有限域上椭圆
曲线的有限点群代替基于离散对数问题密码体制中的有限循环群所得到的一类密码体制. 对于椭圆曲线密码系统（ECC）的安全性，其数学基础是计算椭圆曲线离散
对数问题（ECDLP）的难解性[2] . 一般来说，ECC没有亚指数攻击，所以它的密
钥长度大大地减少，256bit的ECC密码体制成为目前已知公钥密码体制中每位提
供加密强度最高的一种体制.
3.椭圆曲线的定义
所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯 (Weierstrass)方程:
所确定的平面曲线[1]．
若F是一个域,
满足方程的数偶
称为域F上的椭圆曲线 E的点. F域可以是有理数域, 也可以是复数域, 还可以是有限域
. 椭圆曲线通常用 E 表示.
4.ECC算法的设计思想
设
, 称
为Weierstrass多项式. 当在任意点P成立, 则椭圆曲线称为光滑的或非奇
异的. 若E是定义在有限域Fq上的椭圆曲线且其
(p为素数), 这样的p称为有限域Fq的特征值. E中恰好有一个Z坐标为0的点(0, 1, 0), 我们称它为椭圆曲线的无穷远点, 用O表示. 椭圆曲线上有理点的个数称
为该椭圆曲线的阶, 若亦
表示椭圆曲线的阶, 则由
(其中
), 即Hasse定理. 如果椭圆曲线E定义在域Fq上, 其特征值不等于2和3, 则E 的Weierstrass等式可以简化, 做变换, 进而Weierstrass等式变换为
, 其中
, 判别式
, 此式为椭圆曲线的一般形式. 若令
, 则等式变为
.
根据椭圆曲线进行加密通信的过程：
1) 用户A选定一条椭圆曲线
，并取椭圆曲线上一点, 作为基点G.
2) 用户A选择一个私有密钥k, 并生成公开密钥
.
3) 用户A将
和点K, G传给用户B.
4) 用户B接到信息后, 将待传输的明文编码到
上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r ( r < n ).
5) 用户B计算点
.
6) 用户B将C1、C2传给用户A.
7) 用户A接到信息后，计算
, 结果就是点M, 即明文.
因为
再对点M进行解码就可以得到明文. 密码学中，描述一条
上的椭圆曲线，常用到六个参量：
,
其中p、a、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分[3].
5. 椭圆曲线参数的选取和基点的确定
5.1 选取参数和确定基点的理论分析
在基于椭圆曲线的加解密和数字签名的实现方案中，首先要给出椭圆曲线域的参数来确定一条椭圆曲线. 但并不是所有的椭圆曲线都适合加密，
是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类. 下面我们就选用
作为我们的加密曲线. 这条曲线定义在Fq上: 两个满足下列条件的小于p (p为素数) 的非负整数a、b:
则满足下列方程的所有点
，再加上无穷远点∞，构成一条椭圆曲线.
其中 x, y属于0到p - 1间的整数，并将这条椭圆曲线记为
.
参数p的选取：p当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求，我们将p取为200比特位的素数.
参数a、b的选取: 先随机产生小于p - 1的正整数作为参数a, 然后依据条件
，判断随机产生的小于p - 1的正整数是否适合作为参数b.
基点的确定：随着参数a, b, p确定，这条曲线
就定下来了. 先随机产生0到p - 1间的整数作为基点x坐标，计算
的结果再开方就得出基点y坐标.
5.2 选取参数和确定基点的具体程序实现
具体程序实现如下：
……
{
//
GetPrime(b,40); //先随机产生一个参数B
mp_expt_d(a, 3, &temp1);
mp_sqr(b, &temp2);
mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);
mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);
mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);
mp_mod(&temp5,p,&temp);
if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 )
{
break; //满足条件跳出循环
}
}
//
, 随机产生X坐标,根据X坐标计算Y坐标
GetPrime(x1,30); // 随机产生30比特长的X坐标
mp_expt_d(x1, 3, &temp6);
mp_mul(a, x1, &temp7);
mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);
mp_add(&temp8, b, &tempx);
mp_sqrt(&tempx, y1); // 得到Y坐标
……
私钥的确定：随机选取1到P - 1之间的素数作为私钥d.
公钥的确定：由d 乘我们所确定的基点得到公钥K，即
.
6. 椭圆曲线密码的算法
6.1 椭圆曲线密码算法的特点
6.1.1 离散性
密码算法需要的是离散值的定点运算，而不是连续值的浮点运算，在密码算法中不允许舍入.
6.1.2 大数运算
密码算法往往是大数运算，椭圆曲线密码体制要求160位的大数运算，但现有微机的CPU最多只支持64位的运算.
1) 要求大容量的数据存储.
密码运算通常都要利用大容量的数据表，即用空间来换取时间上的加速. 这就要求运算部件具有大容量的存储.
2) 包含大量的并行性.
6.2 椭圆曲线密码体制中的有关计算
6.2.1 椭圆曲线密码体制中的运算类型
作为公开密钥算法的一种，椭圆曲线密码体制要用到点乘、点加、模乘、模加、模逆、模幂这些基本运算，它们的执行速度直接决定着椭圆曲线的加密速度. 为了提高它们的速度，可从以下两方面考虑：
(1) 采用高速的算法.
(2) 实现算法的并行性(以便在硬件设计中利用多处理器进行并行运算):
1) 大数乘、大数取模属于整数域上的运算;
2) 模加、模乘、模逆、模幂属于有限域上的运算;
3) 点加和点乘属于椭圆曲线的点加群上的运算
.
6.2.2 简述椭圆曲线的点加和纯量乘法
由于本人能力有限，短时间内很难做出一些深层次的研究和探讨，因此只能在这里做一点表面文章. 所以本文在这一部分就结合前面对有关大数计算算法进行的阐述，做一些力所能及的事情. 对于一般的椭圆曲线方程
,
设点
,
和
的坐标.
的计算公式如下:
,
,
其中
.
当P ≠ Q时，
.
当P = Q时, 对于椭圆曲线方程
, 上述的公式变为:
,
,
其中
当P ≠ Q时,
.
当P=Q时, 由上述运算公式, 可以得出点积mP的运算, 即mP = P + P + … + P, 共m个P相加, 这里m∈N.
6.3椭圆曲线的点积的具体程序算法
设m的二进制表示为
，其中
, Q = P, 从左到右依次计算:
for( i = n - 2 to 0)
{ Q = 2Q;
if(
==1) Q=Q+P；
}
则Q=mP.
Return;
函数原形为：
bool Ecc_points_mul(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px, mp_int*py, mp_int*d, mp_int *a,mp_int *p)
成功返回true.
int Two_points_add(mp_int*x1, mp_int*y1, mp_int*x2, mp_int*y2, mp_int*x3, mp_int *y3, mp_int *a, bool zero, mp_int*p)
成功返回1.
7.加密文件的读入与输出
7.1椭圆曲线的加密体制
在Diffe-Hellman公钥系统体制中,具体的椭圆曲线、曲线上点P及P的周期大素数N都是公开信息.
A和B要进行通讯,首先得到椭圆曲线E、点P及素数N. 然后用户A将[1, N-1]中随机选取的整数a作为私钥, A将
作为自己的公钥传送给用户B, 与此同时B将 [1, N-1]中随机选取的整数b作为私钥, 并将
作为自己的公钥传送给A. A、B各自将自己的私钥点乘于对方传过来的公钥得到
, 这样就完成了密钥的交换过程．当用户A需要将待传数据m传送给用户B时, A 利用m和
生成
, 当用户B得到
后, 利用密钥交换过程自己生成的
和从用户A处得到的加密数据
生成数据m.见下图[5]：
7.2加密文件的读入与输出的具体程序实现
mp_digit只用28比特，因此一个单元最多可存放三个半字节. 为充分利用存取空间，采用一个单元放三个半字节.
7.2.1函数putin()的实现
函数putin()的实现的作用: 将明文的二进制比特串赋给mp_int数a. 主要循环部分及说明如下：
// chlong为要存入的字符数组长
for(j=0; j<<="(mp_digit)CHAR_BIT;" *temp 存入字符 255); 左移8位存入高8位并向左移8位，以便放入下一个字符 temp跳过前一个单元，先存入后一单元 *++temp 每次跳七个字符 i + ="7"; 的两个单元中以7个字符为单元循环，把七个字符放入的mp_int 7; j++)
{(>> 4); //存放被切分的字符的高四位，temp跳回前一个单元
//存入第一单元
*temp |= (mp_digit) (ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位
yy=(mp_digit)15;
*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //向左移8位，以便放入下一个字符*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255); //存入字符
*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位
*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255); //存入字符
*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位
*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);
//存放被切分的字符的低四位，temp跳到后一个单元
temp++; //再向后跳一单元，这样和下次的++temp实现每次循环跳两个单元
}
函数原型为：int putin(mp_int*a, char*ch, int chlong)
成功返回0．
7.2.2函数chdraw( )的实现
函数chdraw()实现将mp_int数a中的比特串还原为字符串并赋给字符串ch： chdraw和putin是相反过程，将putin存入字符的过程反过来取出字符.
函数原型为：int chdraw(mp_int* a, char*ch)
成功返回0．
8.密文的存取和读入
此过程难点是如何保证存入文件后，再从文件中读取密文并存入mp_int型数后，和原存放密文的mp_int型数不能有一个比特位的改变.
存取时先存 *mp->dp的最高8位，再依次往下存后面3个8位. 依据 *mp->dp的特点，最高8位为0000xxxx，因此，可将255作为一个密文段的结束标志，把前一密文段和后一密文段区分开. 这样在密文文件中，密文的存取结构为：
0000xxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|0000xxxx|……|11111111|0000xxxx
|xxxxxxxx|…..
0字节 1字节 2字节 3字节 4字节 4x字节下一加密
段 x为1或0
利用fgetc每次读取一个字符，并赋值给一个字符数组. 当a[i]=255，且
i%4=0时截止.
读出之后赋值就简单了.
存密文：int chmistore(mp_int*a, FILE*fp) 成功返回0
把密文赋给mp_int型数a: int miwendraw(mp_int*a, char*ch, int chlong) 成功返回0.
9. ECC加密的实现
9.1 ECC加密实现的理论依据
加密时因P长度取值为200比特，所以所取明文长度应在0到199比特之
间，另外需要一个附加的标志字节char(255)，所以一次取明文最大长为191比特. 在本程序中一次取20字节. 和RSA不同，ECC运算是基于点的运算. 一个点有两
个参数，一个X坐标，一个Y坐标. 所以取明文时需一次取两段，前一段做X坐标，后一段做Y坐标. 因此，一次加密明文为40字节. 由于每次加密要取两段，
引发了另外一个问题：当加密文件末尾所剩明文长度小于20字节时的处理. 在本
程序中，我们的解决是将剩余明文取作X，而将Y取作0，且不加标志字节
char(255)，这样解密时，程序在Y中找不到标志字节char(255)，就不会往解密
文中存任何东西.
取得明文后，产生一个随机整数r, 计算点
；
. 将点
、
坐标
,
,
,
依次存入密文文件[6].
9.2 ECC加密的具体程序实现
for(i=0; i 0) // Residue为剩余字符数
{
if (Residue <= enlongtemp )
{
fread(miwenx,1, Residue, fp); //读入字符串
miwenx[Residue]=char(255);
putin(&mx, miwenx,Residue+1); //文件存入
mp_zero(&my);
}
else
{
fread(miwenx,1,enlongtemp,fp); //读入字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);
fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp); //读入字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);
putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1); //文件存入putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1); //文件存入
}
//加密
Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p); //C2=rG
Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p); // rK
Two_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p); // C1=M+rK
//保存密文
chmistore(&c1x,fq);
chmistore(&c1y,fq);
chmistore(&c2x,fq);
chmistore(&c2y,fq);
}
函数原型为：void Ecc_encipher(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px,
mp_int*py, mp_int*a, mp_int*p);
10.ECC解密的实现
10.1ECC解密实现的理论依据
解密时，依据存密文时放入的结束标志255，读入密文. 依次取4段, 调用miwendraw将密文存入mp_int型数中，还原为加密时存入的点C1和C2坐标c1x, c1y, c2x, c2y. 依据
. 计算
(d为私钥)，得到明文点坐标
,
. 其中两点减的计算可如下：
；
计算
完毕后调用chdraw取出mp_int中的明文比特串，依次存入解密文件中，完成解密[6].
10.2 ECC解密的具体程序实现
while(!feof(fp))
{
//取C1点X坐标
i=0;
while(1)
{
stemp[i]=fgetc(fp);
if(i%4==0)
{
if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;
}
i++;
}
L1: miwendraw(&
, stemp, i); //取其他坐标
Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &
, &
, k, a, p); // 计算
mp_neg(&tempy, &temp); // -Q=（X，-Y）
Two_points_add(&
,&
, &tempx, &temp, &
, &
, a, zero, p);
int chtem;
chtem=chdraw(&
,stemp); //从ming中取出字符串
//保存解密结果
for(int kk=0;kk < chtem;kk++)
{
fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);
}
chtem=chdraw(&
,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果
for(kk=0; kk < chtem; kk++)
{
fprintf(fq, "%c", stemp[kk]);
}
}
函数原型为：void Ecc_decipher(mp_int*k, mp_int*a, mp_int*p);
11. 测试结果及分析
为验证系统的加密解密功能,对系统进行了如下测试:
测试环境
Intel p4; CPU 1.5G; 256M RAM; Windows XP DEV - C++
测试结果
利用系统对文本文件、BMP、WORD、EXCEL、EXE等文件进行加密，然后解密. 验证结果表明,给定的明文经系统加密后再解密的结果完全一致, 没有一个比特的偏差，较好的实现了ECC的功能.
12．结束语
目前，国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是 1985年 Koblitz和Miller分别独立提出的建立在椭圆曲线上的离散对数难题基础上的椭圆曲线密码体制（ECC）. 经过长期的理论研究和科学实践，ECC得到了迅猛的发展. 现在椭圆曲线密码体制不仅是一个重要的理论研究领域，而且已经从理论研究转化为实际可用的密码算法，促使民用安全技术走向产业化. 当前，国内外很多生产密码产品的公司都在致力于ECC产品的开发. 椭圆曲线加密算法ECC的安全性，是基于计算有限域上椭圆曲线点集所构成的可交换群上定义的离散对数的困难性. 该算法具有安全性能高，计算量小，处理速度快，存储空间占用小和带宽要求低等特点，已在强调速度的领域如PDA，手机，智能卡等方面得到应用.
参考文献：
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[4] 王庆先. 有限域运算和椭圆曲线数乘运算研究[D]. 电子科技大学2006.[5] 李学俊. 基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码及其算法研究[D].[6] 杨君辉, 戴宗铎, 杨栋毅, 刘宏伟. 关于椭圆曲线密码的实现[J]通信技术,
2001(06).
On the Realization of the Elliptic Curve Encryption Algorit hm
Yan Meiting
Abstract: In this paper, we first introduce the elliptic curve encryption algorithm, then give the definition of the elliptic curve briefly. The ElGamal public encryption system is based on the elliptic curve theory, and we analyze the process and the security of this encryption system. At last we realize it in c++ and offer the source code.
Keywords: elliptic curve encryption algorithm; public-key password, digital signatures。