人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)

函数的奇偶性
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1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；
2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；
一、函数奇偶性定义 1、图形描述：
函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；
函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述
一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，那么称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么称函数()y f x =具有奇偶性。

特别提醒：
1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。

换言之，假设所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不具备奇偶性。

2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：〔1〕考察函数的定义域是否关于原点对称。

假设不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；假设对称，那么进入第二步；〔2〕判断()()f x f x -=与
()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论
1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。

2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1
2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：
奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇
5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶那么偶，内奇同外〞。

6、多项整式函数110()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零。

类型一 函数奇偶性的判断
例1：判断以下函数是否具有奇偶性：
(1)f (x )＝2x 4＋3x 2
； (2)f (x )＝1x
＋x ；
解析：(1)函数f (x )的定义域为R ，
又∵f (－x )＝2(－x )4＋3(－x )2
＝2x 4＋3x 2
＝f (x )，
∴函数f (x )＝2x 4＋3x 2
是偶函数．
(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f (－x )＝1－x －x ＝－(1
x ＋x )＝－f (x )，
∴函数f (x )＝1
x
＋x 是奇函数．
答案：〔1〕偶函数 〔2〕奇函数 练习1：判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2
＋1；
(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；
答案：〔1〕偶函数 〔2〕奇函数
练习2：(2021～2021学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)以下函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝－x 2
C ．y ＝1x
D ．y ＝x |x |
答案：D
类型二 分段函数奇偶性的判定
例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋1x >0
x 2
－1x <0
的奇偶性．
解析：任取x >0，那么－x <0. ∴f (－x )＝(－x )2
－1＝x 2
－1 ＝－(－x 2
＋1)＝－f (x )． 又任取x <0，那么－x >0.
∴f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2
＋1 ＝－(x 2
－1)＝－f (x )．
对x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )成立．∴函数f (x )为奇函数． 答案：奇函数
练习1：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋2 x >00
x ＝0－x 2－2 x <0
的奇偶性．
答案：奇函数.
练习2：如果F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3
x >0f x x <0
是奇函数，那么f (x )＝________.的单调性
答案：2x ＋3
类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式
例3：假设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．
解析：当x >0时，－x <0， ∵当x <0时，f (x )＝x (1－x )， ∴f (－x )＝－x (1＋x )，
又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x (1＋x )，∴f (x )＝x (1＋x )， 又f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0， ∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x ) 练习1：(2021～2021学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，那么函数f (x )的解析式为________________．
答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋1 x >00
x ＝02x －1
x <0
练习2：(2021～2021学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，那么当x <0时，f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝x ＋1
B ．f (x )＝x －1
C ．f (x )＝－x ＋1
D ．f (x )＝－x －1
答案：D
类型四 抽象函数奇偶性的证明
例4：函数y ＝f (x )(x ∈R )，假设对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．
解析：令a ＝0，那么f (b )＝f (0)＋f (b )，
∴f (0)＝0，再令a ＝－x ，b ＝x ，
那么f (0)＝f (－x )＋f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称，∴f (x )是奇函
数．
答案：见解析
练习1：函数y ＝f (x )(x ∈R )，假设对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．
答案：令x 1＝0，x 2＝x ， 得f (x )＋f (－x )＝2f (0)·f (x )，
① 令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (0)·f (x )，
②
由①②得， f (－x )＝f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称， ∴函数f (x )为偶函数．
2：()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，那么()G x 必定为〔 〕 A 、增函数且为奇函数 B 、增函数且为偶函数 C 、减函数且为奇函数 D 、减函数且为偶函数 答案：A
类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断
例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1的奇偶性．
解析：当a ＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1， ∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1 ＝x2＋|x|＋1＝f(x)，
∴当a ＝0时，函数f(x)为偶函数． 当a ≠0时，f(1)＝2＋|1－a|， f(－1)＝2＋|1＋a|， 假设f(1)＝f(－1)，
那么|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2， ∴a ＝0，这与a ≠0矛盾，
假设f(－1)＝－f(1)，那么2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，
∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)， ∴当a ≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数． 答案：非奇非偶.
练习1：(2021～2021学年度河南省实验中学高一月考)函数f (x )＝x 2
＋a x
，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．
答案：偶函数
练习2：(2021～2021学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)函数f (x )＝ax ＋b x
(其中a 、b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，5
2
)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)判断函数f (x )的奇偶性．
答案：(1)f (x )＝x ＋1
x
.(2)f (x )为奇函数．
类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值
例6: 函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5
3.求实数a 、b 的值；
解析：∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴ax 2
＋2－3x ＋b ＝－ax 2
＋2
3x ＋b ， ∴－3x ＋b ＝－3x －b ，∴b ＝0. 又f(2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.
答案：a ＝2.b ＝0.
练习1: (2021～2021学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )＝x ＋b
1＋x
2为奇函数.
求b 的值；
答案：b=0
练习2: 假设函数(0)y kx b k =+≠是奇函数，那么b = ；假设函数2(0)y ax bx c a =++≠为偶函数，那么b = 。

答案: 0 ; 0
类型七：利用奇偶性解不等式
例7：函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，假设f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．
解析：由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
－2<m －1<2
－2<1－2m <2
，
得－12<m <3
2
.
由函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数及f (m －1)＋f (1－2m )≥0，得f (m －1)≥f (2m －1)． ∵函数f (x )在(－2,2)上是减函数， ∴m －1≤2m －1，得m ≥0. ∴实数m 的取值范围是[0，3
2)．
答案：[0，3
2
)．
练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x ≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m 的取值 范围．
答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 练习2：(2021～2021学年度河南省实验中学高一上学期月考)偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，那么满足f (2x －1)<f (1
3
)的x 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 答案：C
类型八 利用奇偶性求函数值
例8：函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求 f(1)．
解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8， ∴g(－1)＝7
2
.
又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)． ∴g(1)＝－g(－1)＝－7
2
.
∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－7
2)＋1＝－6.
答案：－6.
练习1：f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，那么2f(－6)＋f(－3)＝( ) A ．－15 B ．－13 C ．－5 D ．5
答案:A
练习2: (2021～2021学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1
2
，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，那么f (5)等于( ) A ．0 B ．1 C ．5
2 D ．5 答案：C
1、判断以下函数的奇偶性：
〔1〕()11f x x x =+--； 〔2〕()()1f x x =-； 答案：〔1〕奇函数 〔2〕既不是奇函数也不是偶函数。

2、函数()f x 是奇函数，定义域为{}
0x x R x ∈≠且，又()f x 在()0,+∞上为增函数，且
()10f -=，那么满足()0f x >的x 的取值范围是 。

答案：()()1,01,-+∞。

3、 假设2)(24+-=bx ax x f ，且5)(=c f ，求)(c f -的值； 答案：5
4、()f x 是R 上的奇函数，且当0x >
时，()(1f x x =，求()f x 的解析式。

答案
: (10)()0 (0) (10)x x f x x x x ⎧+>⎪
==⎨⎪-<⎩
5、()()2111
x a
f x x x bx +=-≤≤++奇函数，求,a b 的值。

答案：0
0a b =⎧⎨
=⎩
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根底稳固
1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，那么f (3)＋f (0)＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．7
答案： C
2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )，其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案： A
3．假设二次函数f (x )＝x 2
＋(b －2)x 在区间[1－3a,2a ]上是偶函数，那么a 、b 的值是( ) A ．2,1 B ．1,2 C ．0,2 D ．0,1
答案：
B
4．(2021·湖南理，3)f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案： C
5．(2021·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是( )
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案： C
6．f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，那么函数f(x)在R上的解析式是( ) A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
答案： D
7．假设f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，那么实数a＝______.
答案：4
能力提升
8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，那么f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)
答案：≥
9．(2021～2021学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．
答案：(1)∵－3≤x≤3，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)函数f(x)的图象如下图．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,3]，单调递减区间为[－3，－1]，[0,1]．10．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．
答案：得f(x)＝x2＋1，g(x)＝x(x2＋1)．
课程顾问签字： 教学主管签字：。