Wilcoxon秩和检验详解

wilcoxon秩和检验

wilcoxon秩和检验是基于样本数据秩和。先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约均匀被分在两个样本中。如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就得到一个较小秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。

设两个独立样本为：第一个x的样本容量为，第二个y样本容量为，在容量为的混合样本（第一个和第二个）中，x样本的秩和为，y样本的秩和为，且有(28.1) 我们定义

(28.2) (28.3) 以x样本为例，若它们在混合样本中享有最小的个秩，于是，也是可能取的最小值；同样可能取的最小值为。那么，的最大取值等于混合样本的总秩和减去的最小值，即；同样，的最大取值等于。所以，(28.2)和(28.3)式中的和均为取值在0与的变量。当原假设为真时，所有的和

相当于从同一总体中抽得的独立随机样本，和构成可分辨的排列情况，可看成一排n

个球随机地指定个为x球另个为y球，共有种可能，而且它们是等可能的。基于

这样分析，在原假设为真的条件下不难求出和的概率分布，显然它们的分布还是相同

的，这个分布称为样本大小为和的Mann-Whitney-Wilcoxon分布。

一个具有实际价值的方法是，对于每个样本中的观察数大于等于8的大样本来说，

我们可以采用标准正态分布z来近似检验。由于的中心点为，根据(28.2)式，中心点为(28.4) 的方差

从数学上可推导出(28.5) 如果样本中存在结，将影响到公式(28.5)中的

方差，按结值调整方差的公式为(28.6) 其中第j个结值的个数。结值的存在将使原方差变小，这是一个显然正确的事实。标准化后为

(28.7)

其中分子加0.5或减0.5是为了对离散变量进行连续性修正，对于大于0减0.5修正，

对于小于0加0.5修正。

例28.1某航空公司的CEO注意到飞离亚特兰大的飞机放弃预定座位的旅客人数在增加，

他特别有兴趣想知道，是否从亚特兰大起飞的飞机比从芝加哥起飞的飞机有更多的放弃预定

座位的旅客。获得一个从亚特兰大起飞的9次航班和从芝加哥起飞的8次航班上放弃预定座

位的旅客人数样本，见表28.1中的第2列和第4列所示。

表28.1 放弃预定座位的旅客人数及统一秩值

25 17

96.5 56.5

如果假定放弃预定座位旅客人数的总体是正态分布且有相等的方差，我们可以采用两样本比

较的t检验。但航空公司的CEO认为这两个假设条件不能满足，因此采用非参数的Wilcoxon

秩和检验。将组与组看成是单一样本进行编秩，见表28.1中的第3列和第5列所示。，

最小值是8秩值为1，最大值是25秩值为17，有两个结值10和11，两个10平均分享秩值

3和4为3.5，两个11平均分享秩值5和6为5.5。如果两组放弃预定座位的旅客人数是相

同的，那么我们期望的两组秩和和大约是相同的；如果两组放弃预定座位的旅客人

数是不相同的，那么我们期望的两组秩和和也是非常不相同的。注意到=9，=8，=96.5，=56.5，两组放弃预定座位旅客人数的分布是相同的。标准正态分布值

的计算结果为

如果设定显著水平a=0.05，我们知道标准正态分布在0.05显著水平时，上临界值为1.645，下临界值为－1.645，由于1.445<1.645，所以不能拒绝原假设。在使用Wilcoxon秩和检验时，

也可以采用第二个样本的秩和来计算标准正态分布z值，但要注意公式中和的对

换。z值的计算结果为不能拒绝原假设

另外，要特别注意的是由于在连续型分布中随机地抽出n个样本，几乎极少可能存在有些值相等的情况，但在社会经济中有很多离散变量，很可能存在数值相同的情况，即样本中存在着“结”。我们处理“结”的方法采用分享平均秩，但当大量“结”存在时，将可能直

接影响的方差，因此需要把(28.5)式中的方差修正为(28.6)。但在手工计算和结值不多的情况下，常使用未修正方差来简化计算，因为与修正方差的计算结果比较只存在一些小差异，大多数情况下不影响最终的推断结果。