2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：7.1.2 复数的几何意义

第七章复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
教学设计
一、教学目标
1.了解复数的几何意义。

2.了解共轭复数的概念。

二、教学重难点
1.教学重点
复数的向量表示。

2.教学难点
复数的几何意义。

三、教学过程
1.新课导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。

复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。

由此你能想到复数的几何表示方法吗？
2.探索新知
因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。

而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。

由图可知，显然向量由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量唯一确定。

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi
与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。

我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。

图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。

即==，其中a,b∈R。

如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0
的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi，那么=a-bi。

3.课堂练习
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于()
A. 5 B．2 5 C．4 D.13
解析：选D由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此| |＝| |＝|3－2i|＝13，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A∵|z1|＝a2＋4，|z2|＝5，
∴a2＋4<5，∴－1<a<1.
3．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z为()
A.-5＋2i
B.－5－2i
C.5＋2i
D.5－2i
解析：选A设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－5，
由|z|＝3，得(－5)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－5＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()
A．一个圆B．线段
C ．两点
D ．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α，
∵π<α<2π，∴－1<cos α<1.
∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z －|z|＝－1＋i ，则复数z ＝________.
解析：法一：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，
由题意，得x ＋yi －x 2＋y 2＝－1＋i ，
即(x －x 2＋y 2)＋yi ＝－1＋i. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝1，∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z|－1)＋i ，
等式两边取模，得|z|＝|z|－12＋12.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z ＝i.
答案：i
4. 小结作业
小结：本节课学习了复数的几何意义、复数的模以及共轭复数的概念。

作业：完成本节课课后习题。

四、板书设计
7.1.2 复数的几何意义
复数z=a+bi 与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系
复数z=a+bi 与平面向量
建立了一一对应关系 图中向量
的模叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。

即==，其中a,b ∈R。

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。