第4章材料的力学性能应力应变关系

xy G xy
剪切胡克定律
G 称为材料的切变模量，其值与材料有关， 可由实验测得。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-4 各向同性材料的广义胡克定律 （1）简单胡克定律 （2）广义胡克定律 空间应力状态下，对于各向同性材料，在线弹性范围内，坐 标轴方向的正应力只引起坐标轴方向的线应变，而不引起切应变； 同样，各坐标面内的切应力只引起该坐标面内的切应变，而不引 起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理 ，即
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验 （4）铸铁的压缩试验 与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极 限很高，例如，HT150 压缩时的强度 极限约为拉抻时强度极限的四倍。
抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点， 也是脆性材料的共同特点。
铸铁试件受压缩发生断裂时，断裂面与轴线大致成45的 倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。
第3章 应变状态分析
3-1 应变（strain）的概念 线应变与切应变 一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均 要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。
若要研究构件内某一点 a 的变形，可围绕该点取一单元体
如下图所示。 在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，
棱边 ae 由 Dx 伸长到 Dx+Du 。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-3 没有明显屈服阶段的塑性材料
工程中，有一类塑性材料，其 应力应变曲线中没有明显的屈服阶 段。例如，中碳钢、合金钢等。
对于没有明显屈服阶段的塑性 材料，通常人为地规定，把产生 0.2%塑性应变时所对应的应力称为 材料的屈服强度，并用 s 0.2 表示 。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第二阶段——屈服（流动）阶段 （曲线bc段 ）
曲线最低点所对应的应力，称为材料的屈服点，用 s s 表示，
即
ss

Fs A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
于弹性变形阶段时所能承受的最大应力，用 s e 表示，即
se

Fe A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第一阶段——弹性变形阶段 （曲线ob段 ） 该阶段，曲线有很大一段是直线段（oa直线段），说明应 力应变成正比关系 ，即
s E 胡克定律
• 第四阶段——颈缩破坏阶段 （曲线 ef 段 ） 过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为 颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。 颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速 降低，最后在颈缩处试件被拉断。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
（1）简单胡克定律
（2）广义胡克定律
若单元体的三个主
x y

1
E 1
E
[s x [s y
v(s y v(s z
+s +s
z )]
x )]
z

1 E
[s
z
xy

xy
G

yz

yz
G
v(s x
+s
y )]
zx

zx
G

应力已知时，其广义胡 克定律可写成
第 4 章 材料的力学性能 应力应变关系
4.1 材料的力学性能与基本实验 4.2 轴向拉伸与压缩实验 4.3 没有明显屈服阶段的塑性材料 4.4 各向同性材料的广义胡克定律 4.5 应变能 4.6 各向同性材料弹性常数之间的关系
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-1 材料的力学性能与基本实验 材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，
4-4 各向同性材料的广义胡克定律 （1）简单胡克定律
s x E x
简单拉、压胡克定律
v y x
实验表明，在比例极限内，横向（与应力 s x 垂 直的方向）线应变（ y 或 z ）与纵向应变 x 之比为 一常量。用 v 表示这一比值的绝对值，则
y 或 z

v x v x
• 第三阶段——强化阶段 （曲线ce段 ）
过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强
化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的强度极限，
用 s b 表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承
受的最大应力，即
sb

Fb A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
冷作硬化现象
比较这两个图形中的曲线，说明在第二次加载时，材
料的比例极限得到提高（ s p s p ），而塑性变形和伸长
率有所降低。
在常温下，材料经加
载到产生塑性变形后卸载，
由于材料经历过强化，从
而使其比例极限提高、塑
1

1 E
[Байду номын сангаас1
v(s 2
+
s
3
)]


2

1 E
[s 2
v(s3
+ s1)]
3

1 E
[s 3
v(s1
+ s 2 )]
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-5 应变能 （1）体变应变与形状变形 变形分为两类：体积变形与形状变形。 只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为纯体积变形。
+sx

z

1 E
s z

sx +sy

第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-4 各向同性材料的广义胡克定律
（1）简单胡克定律
（2）广义胡克定律 据剪切胡克定律
xy

xy
G
同理
x

1 E
[s x
v(s y
+ s z )]
yz

yz
G
zx

zx
E 为比例常数，是材料的弹性 模量，它反映了材料抵抗弹性 变形的能力。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第一阶段——弹性变形阶段 （曲线ob段 ） a 点对应的应力称材料的比例极限。即，材料应力应变处于
正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用 s p 表示，即
拉伸试件
压缩试件 短圆柱试件
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直 到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量 Dl 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F - Dl曲线，称为拉伸图。
xm

Du Dx
点 a在 x 方向 的平均线应变
lim x

Dx0
Du Dx
点 a在 x 方向的线 应变（或正应变）
第3章 应变状态分析
3-1 应变（strain）概念 线应变与切应变
点 a 在 x 方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。
同理， y 、 z 分别表示点 a 沿 y 、z 方向的线应变。
反映强度的力学性能只能测得强度极限，而且拉伸 时强度极限 s b 的值较低。
由于铸铁的抗拉强度较差，一般不宜选做承受拉力的 构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （3）低碳钢的压缩试验 低碳钢试件压缩时的应力应变曲线 。 与拉伸曲线相比，屈服阶段以前曲线 基本重合，即低碳钢压缩时，弹性模量 E、 屈服点 s s 均与拉伸时大致相同。 过了屈服阶段，继续压缩时，试件的长度愈来愈短， 而直径不断增大，由于受试验机上下压板摩擦力的影响， 试件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。 压力继续增加，直径愈益增大，最后被压成薄饼，而不 发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限s b 。
sp

Fp A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第二阶段——屈服（流动）阶段 （曲线bc段 ） 外力在小范围内波动，但变形显著增加。即，材料暂时失去 了抵抗变形的能力。 在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分 变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。试件表面出 现滑移线（与试件轴线成45度角度）。
称为材料的力学性能。 材料不同，其力学性能也不同。
同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环 境的不同，其力学性能也不相同。
本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的 力学性能。
最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-1 材料的力学性能与基本实验 试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、 加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。 例如，国家标准 GB6397 — 1986《金属拉伸试验试样》中规 定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。

y


v
E
s x
v 称为横向变形系 数或泊松比，是
z


v
E
sx

材料常数，其值 可通过实验进行 测定。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-4 各向同性材料的广义胡克定律 （1）简单胡克定律
由试验（扭转试验）还可指出，在材料的比例极限范围 内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-4 各向同性材料的广义胡克定律 （1）简单胡克定律 （2）广义胡克定律
x x + x + x
叠加得
s x + s y + s z
EE E

1 E
s x

sy +sz

同理得
y

1 E
s
y

s z
除去尺寸因素， 变为 应力-应
变曲线。即 s 曲线。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直 到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量 Dl 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F - Dl曲线，称为拉伸图。
G
综上所
y

1 E
[s
y
v(s z
+
s
x
)]
述，对 于原三 向应力 状态， 有
z

1 E
[s
z
xy

xy G
yz

yz G
zx

zx G
v(s x
+s
y )]

广义胡克定律
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-4 各向同性材料的广义胡克定律
延伸率
l1 l0 100%
l0
其中，l1 是试件包括塑性变形的长度，
是试l件0 试验前的长度。
断面收缩率
A0 A1 100%
A0
其中，A0 是试件试验前的横截面面积; A1是颈缩处的最小 横截面面积。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
分析曲线，有几个特征点，把曲线分成 四 部分，说明低碳 钢拉伸时，变形分为 四个阶段。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第一阶段——弹性变形阶段 （曲线ob段 ） 在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称卸载）为零，变 形会消失。b 点对应的应力称材料的弹性极限。即，材料处
冷作硬化现象
经过弹性阶段以后，若从某点 （例如d点）开始卸载，则力与变形间 的关系将沿与弹性阶段直线大体平行 的 dd 线回到 d 点。
若卸载后从d 点开始继续加载，曲线将首先大体沿dd
线回至d点，然后仍沿未经卸载的曲线def 变化，直至 f 点发 生断裂为止。
可见，在再次加载过程中，直到 d 点以前，试件变形 是弹性的，过 d 点后才开始出现塑性变形。
性降低的现象称为冷作硬
化。
第4章 材料的力学性能 应力应变关系
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （2）铸铁的拉伸试验
铸铁拉伸时，没有屈服阶段，也没有 颈缩现象。
铸铁的应力应变曲线没有明显的直线段，通常在应力 较小时，取σ-ε 图上的弦线近似地表示铸铁拉伸时的应力 应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量 E。
单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度 的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae 和
af 两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。

xy

lim (a
Dx0
+
b)
Dy0
称为点 a 在 x y 平面内的 切应变或角应变。
同理，用 yz、 xz 分别表示 y -z 平面内和 x -z平面内的切应变。