浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题

浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。

）
1、已知d c b a >>,，则下列不等式成立的是（ ）
A ．c a d b +<+
B ．bd ac >
C ．b d c a >
D ．d b c a ->- 2、下列四个命题：其中正确命题的是（ ）
A.;过三点确定一个平面
B.矩形是平面图形
C.四边相等的四边形是平面图形
D.三条直线两两相交则确定一个平面。

3、在等差数列{n a }中，若12121324a a a a +++=，则7a 为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ． 9
4、垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ）
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
222sin sin sin ,ABC C A B ABC ∆=+∆6、在中，若则为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
7、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与
CD 的位置关系为（ ）
A.平行
B. 相交成60°角
C. 异面成60°角
D. 异面且垂直
8．设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．如l ∥m ，m α⊂，则l ∥α
B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥
C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥
D ．如l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m
9．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，
错误．．
的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1
C ．直线AH 和BB 1所成角为45°
D ．AH 的延长线经过点C 1
10、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD
-中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )
A ．点P 到平面QEF 的距离 B.直线PQ 与平面PEF 所成的角
C ．三棱锥QEF P -的体积 D.QEF ∆的面积
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q= ___________.
12．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为
13、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm 3.
14、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩
≥，≤，≥ 则函数24z x y =+的最大值为____________
15、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。

给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED, 其中成立的有
（第15题图） （第16题图）
16、一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
17．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b(a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f(x)＝x x
k ⊗的最小值为________．
三．简答题：(本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：AB ⊥平面11B BCC ；
（2）求证：1//C F 平面ABE ；
19．等差数列{}n a 中，91972,4a a a ==（1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20、（本小题10分）△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且
cos cos 2B b C a c
=- （1）求∠B 的大小；
（2）若a =4，35=S ，求b 的值。

21．如图，四棱锥
的底面是平行四边形，，
,分别是棱的中点. （1）证明：BC 上是否存在一点G 使得平面EFG ∥平面PAB
（2）若二面角P-AD-B 为，①证明：BE ⊥PB;②求直线EF 与平面PBC 所成角的正切值.
2014学年第一学期期中杭州地区六校联考
高二年级理科数学参考答案
因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC -------------8分，
所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，
又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，---------------9分
所以1//C F 平面ABE .------------------10分
解法二取AC 中点H ，连接FH 和1C H,
因为F,H 分别是BC,AC 的中点,所以AB HF //,⊄HF 平面,ABE ⊂AB ,ABE 所以//HF 平面,ABE ………….. (6分)
又由H C AE 1//,也可得到//1H C 平面,ABE ………….. (8分)
又H HF H C = 1,所以平面//1HF C 平面,ABE ………….. (9分),
因为⊂F C 1平面HF C 1,所以1//C F 平面ABE ………….. (10分)
19、（1）先设出等差数列{}n a 的公差为d ，然后由等差数列的通项公式及已知91972,4a a a ==可求得，首项1a 和公差d ，进而求出数列{}n a 的通项公式；
（2）将（1）中所求的{}n a 的通项公式代入n n na b 1=，即可求出数列{}n b 的通项公式，再运用裂项相加法求出其前n 项和n S 即可．
试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由d n a a n )1(1-+=得：⎩⎨⎧+=+==+=)8(218461119
17d a d a a d a a ………….. (2分) 解得21,11==d a ．所以{}n a 的通项公式为2
1+=n a n ．…………..4分 （2）因为111)1(121+-=+==
n n n n na b n n ， 所以1)111(
)3121()2111(+=+-++-+-=n n n n S n ．…………..4分 考点：等差数列；裂项求和．
20.解:(1)由已知得C
A B C B sin sin 2sin cos cos -=,………………….(2分) C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-∴
)sin(cos sin 2C B B A +=∴…………………(3分),A B A sin cos sin 2=∴……………..(4分)
212
15422516=⨯⨯⨯-+=
21=∴b …………..(10分)
21、(1)证明线面平行，一般利用线线平行进行证明.本题条件中的中点较多，所以取BC 的中点G,连结EG,FG, E,G 分别是AD,BC 的中点,∴EG//AB,又EG ⊄平面PAB,AB ⊂平面PAB, ∴EG//平面PAB, ………….. (2分)
又 F,G 分别是PC,BC 的中点,∴FG//PB, FG ⊄平面PAB,PB ⊂平面PAB, ∴FG//平面PAB(2分) ,又FG EG=G,∴平面EFG//平面PAB,G 即为所求的点………….. (5分)
(2) PA=PD,AB=BD,E 为AD 的中点,∴AD ⊥PE,AD ⊥BE,BEP ∠∴即为二面角P-AD-B 的平面角, BEP ∠∴=︒
60,………….. (6分) AB=2,AE=1, ∴BE=1, PA=5,AE=1, ∴PE=2
∴PB=360cos 2122122=⨯⨯⨯-+︒,∴222PE BE PB =+, ∴ BE ⊥PB …………(8分)
AD ⊥BE ∴BE ⊥BC,又BE ⊥PB,BC PB=B, ∴BE ⊥平面PBC,连结BF,则BFE ∠即为直线EF 与平面PBC 所成角, ………….. (10分)
PB=3,PA=5,AB=2,∴PB ⊥AB,
由BE ⊥PB, PB ⊥AB 得PB ⊥平面ABCD,
∴PB ⊥BC, PB=3,BC=AD=2, ∴PC=7
∴BF=27,又BE=1, ∴77227
1tan ==∠BFE ………….12分)
G。