2020年重庆市巴南区春招数学试卷 (解析版)

2020年重庆市巴南区春招数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．下列四个数中，是无理数的是（）
A．B．0C．D．
2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）
A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102
3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）
A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞﹣D．x＜
4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）
A．95°B．100°C．110°D．115°
6．下列式子计算正确的是（）
A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣
C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2
7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）
A．4B．6C．8D．12
8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S＝（）
A．64B．68C．81D．92
9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O 处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
A．20米B．19米C．18米D．17米
10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．乙的速度为5米/秒
B．乙出发10秒钟将甲追上
C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米
D．m＝38
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）
A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．
13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点D为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是．
16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概
率是．
17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分，）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．化简：
（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．
（1）求证：BE平分∠CBF；
（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”
某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠
状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】
A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
【整理数据】
成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区2585
B小区3a55【分析数据】
统计量平均数中位数众数
A小区85.7587.5c
B小区83.5b80【应用数据】
请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：
（1）写出a、b、c的值；
（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；
（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：
【列表格】：列出y与x的几组对应值：
x…﹣2﹣101234…
y…10﹣1﹣2﹣10m…
[…]：…
根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：
（1）直接写出表格中m的值；
（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；
（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．
23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A 地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．
（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？
A地B地
终点
起点
M地70120
N地4580
24．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”
例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．
（1）已知b＝mn，c ＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；
（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F（56）＝＝﹣11．
①求F（37）的值；
②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），
且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x ＝．
（1）求a，b的值；
（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P 的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题共1个小题，共8分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC 相交于点K．
（1）如图1，求AD的长；
（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；
（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．
1．下列四个数中，是无理数的是（）
A．B．0C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
解：A、是分数，是有理数，此选项不符合题意；
B、0是整数，是有理数，此选项不符合题意；
C、是无理数，此选项符合题意；
D、＝3是整数，是有理数，此选项不符合题意．
故选：C．
2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）
A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：26 000用科学记数法表示是2.6×104．
故选：B．
3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）
A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞﹣D．x＜
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：移项，得：﹣x﹣x＞﹣1，
合并，得：﹣2x＞﹣1，
系数化为1，得：x＜，
故选：D．
4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）
A．95°B．100°C．110°D．115°
【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠ACD＝20°，
∴∠CAB＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
6．下列式子计算正确的是（）
A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣
C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】分别按照同底数幂的乘法运算法则、负整数指数幂的运算法则、合并同类项的运算法则和完全平方公式进行判断即可．
解：A、m3•m2＝m5，故A错误；
B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；
C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．
D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．
故选：C．
7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）
A．4B．6C．8D．12
【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝16，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．
解：设点A（a，0），点B（0，b），
∴OA＝a，OB＝b，
∵△ABO的面积为8，
∴ab＝8，
∴ab＝16，
∵点C是AB中点，
∴点C（，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝×＝4，
故选：A．
8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S＝（）
A．64B．68C．81D．92
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算，得到答案．
解：∵△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵OA＝3AA1，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：（）2＝，
∵S△ABC＝36，
∴S＝36÷＝81，
故选：C．
9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O 处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
A．20米B．19米C．18米D．17米
【分析】延长DC交OA延长线于点F，根据题意可得DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，可得四边形BCFG是矩形，根据AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，可得BG ＝9，AG＝12，再根据锐角三角函数即可求出OA的长．
解：如图，延长DC交OA延长线于点F，
根据题意可知：DF⊥OA，
过点B作BG⊥OA于点G，
则四边形BCFG是矩形，
∴CF＝BG，FG＝BC＝1.5，
∵AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，
∴BG＝9，AG＝12，
∴在Rt△ODF中，∠DOF＝18°，
OF＝OA+AG+GF＝OA+12+1.5＝13.5+OA，
DF＝DC+CF＝1.4+9＝10.4，
∴DF＝OF•tan18°，
即10.4≈（13.5+OA）×0.32，
解得OA≈19（米）．
所以观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为19米．
故选：B．
10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．乙的速度为5米/秒
B．乙出发10秒钟将甲追上
C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米
D．m＝38
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
乙的速度为：200÷32＝6.25（米/秒），故选项A不合题意；
甲的速度为：10÷2＝5（米/秒），
设乙出发x秒将追上甲，
6.25x＝10+5x，得x＝8，故选项B不合题意；
当乙到终点时，甲距离终点还有：200﹣（32+2）×5＝30（米），故选项C不合题意；
a＝200÷5﹣2＝38，故选项D符合题意．
故选：D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）
A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；
C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；
D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）
A．B．C．D．
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，求出BF＝BE＝，EF＝，可求出AE，由S△ABE＝AB•EF可求出BH，则答案可求出．
解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵菱形ABCD中，AB＝2，
∴BC＝2，
∵BE＝2EC，
∴BE＝，CE＝，
∵∠D＝120°，
∴∠ABE＝120°，
∴∠EBF＝60°，
∴BF＝BE＝，EF＝，
∴AF＝AB+BF＝2+＝，
∴AE＝＝＝，
∵S△ABE＝AB•EF，
∴BH＝＝＝．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．
13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．
【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简、三次根式化简4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：+|1﹣|﹣（π﹣3）0
＝2+﹣1﹣1
＝．
故答案为：．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是x＞0．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
解：代数式有意义，则x＞0．
故答案为：x＞0．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点
D为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是1﹣．
【分析】作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，则AH＝HC＝AB＝1，利用∠D＝45°得到DH＝AH＝1，AD＝，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE进行计算．
解：作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，
∴AH＝HC＝AB＝1，
∵∠D＝45°，
∴DH＝AH＝1，AD＝AH＝，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE
＝（1+2）×1﹣
＝1﹣．
故答案为1﹣．
16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是．
【分析】由|ab|＝2列表得出a、b取值的所有等可能结果，从中找到满足b2＝4a的结果数，根据概率公式求解可得．
解：∵|ab|＝2，
∴列表如下：
﹣1﹣212
﹣1（﹣2，﹣1）（2，﹣1）
﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）
1（﹣2，1）（2，1）
2（﹣1，2）（1，2）
由表可知，共有8种结果，其中满足b2﹣4a＝0，即b2＝4a的有（1，﹣2）和（1，2）两种情况，
∴关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是，
故答案为：．
17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是﹣8．
【分析】根据不等式组有解，可得a的范围，根据分式方程的解，可得a的值，根据正整数的定义，可得答案．
解：，
由①得：y≤8，
由②得：y≥a+6，
∵关于y的不等式组有解，
∴a+6≤8
∴a≤2，
解分式方程﹣＝4，得x＝，
∵x﹣2≠0，
∴≠2，
∴a≠0，
∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，
∴4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝4或4﹣a＝8，
∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，
∵a≤2，a≠0，
∴a＝2或﹣4，
∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为2．
【分析】当点D在点B时，点E是AB的中点，当点D运动到点C时，点E是AC的中点，可得点E运动的路径长即为三角形ABC的中位线，进而可得结果．
解：∵EA⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
当点D在点B时，点E是AB的中点，
当点D运动到点C时，点E是AC的中点，
所以点E运动的路径即为三角形ABC的中位线，
所以点E运动的路径长为：BC＝2．
故答案为：2．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分，）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．化简：
（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
解：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）
＝m2﹣6mn+9n2﹣3n2+6mn
＝m2+6n2；
（2）（﹣a﹣2）÷
＝
＝
＝﹣
＝﹣2（3+a）
＝﹣6﹣2a．
20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．
（1）求证：BE平分∠CBF；
（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥CF，得到OE∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠OBE，根据角平分线的定义证明即可；
（2）根据直角三角形的性质求出∠EOF＝60°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OE，
∵直线CF与⊙O相切，
∴OE⊥CF，
∵BC⊥CF，
∴OE∥BC，
∴∠CBE＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴BE平分∠CBF；
（2）解：∵∠OEF＝90°，∠CFB＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴的长＝＝π．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”
某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】
A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
【整理数据】
成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区2585
B小区3a55【分析数据】
统计量平均数中位数众数
A小区85.7587.5c
B小区83.5b80【应用数据】
请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：
（1）写出a、b、c的值；
（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；
（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据题目中的数据，可以计算出B小区成绩大于80分的人数；
（3）根据题目中的数据，可以得到哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，然后说明理由即可．
解：（1）由题目中的数据可得，
a＝7，b＝（80+85）÷2＝82.5，c＝90；
（2）900×＝450（人），
答：B小区成绩大于80分有450人；
（3）A小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，
理由：第一，A小区平均数大于B小区，第二，A小区的中位数大于B小区（第三，A 小区的众数大于B小区）．
22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：
【列表格】：列出y与x的几组对应值：
x…﹣2﹣101234…
y…10﹣1﹣2﹣10m…
[…]：…
根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：
（1）直接写出表格中m的值；
（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；
（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．【分析】（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，即可求出m的值；
（2）根据表格数据，描点、连线，画出该函数的图象；
（3）根据图象即可求|x﹣1|﹣2＜x ﹣时x的取值范围．
解：（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，得y＝1，
解∴m＝1．
（2）该函数的图象如图：
（3）由图形可知，当当|x﹣1|﹣2＜x ﹣时x 的取值范围是＜x＜2．
23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A 地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．
（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？
A地B地
终点
起点
M地70120
N地4580【分析】（1）根据题意即可得调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质即可求出总运费最低的调运方案和最低运费．
解：（1）由题意可知：
y＝70x+120（7﹣x）+45（6﹣x）+80[（9﹣（6﹣x）]
＝﹣15x+1350（0＜x≤6）．
（2）由（1）的函数可知：
k＝﹣15＜0，
所以函数的值随x的增大而减小，
当x＝6时，有最小值y＝﹣15×6+1350＝1260（元）．
答：总运费最低的调运方案是从M地调运6吨到A地，1吨到B地，最低运费为1260元．
24．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”
例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．
（1）已知b＝mn，c＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；
（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F（56）＝＝﹣11．
①求F（37）的值；
②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），
且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出m的值，分两种情况讨论，由勾股定理可求a的值；
（2）①由F（N）的定义可求解；
②利用F（N）的定义可求F（s）＝11（c﹣d），F（t）＝11（p﹣q），由题意可求s
和t，利用勾股数定义可求解．
解：（1）∵c＝（m2+n2）＝37，n＝5，
∴m＝7，
∴b＝mn＝35，
若a是最大边，则a2＝b2+c2＝2597，
∴a＝，
∵a是正整数，
∴a＝不合题意舍去，
若c为最大边，则c2＝b2+a2，
∴a＝＝12
答：a＝12，m＝7；
（2）①F（37）＝＝44；
②∵F（s）＝＝11（c﹣d），2≤c＜d≤5，
F（s）能被3整除，
∴c＝2，d＝5，
∴F（s）＝﹣33，
同理可求：F（t）＝11（p﹣q），
∵F（s）+F（t）+22p+55＝0，
∴﹣33+11p﹣11q+22p+55＝0，
∴3p﹣q＝﹣2，
∵1≤p≤5，1≤q≤5，
∴p＝1，q＝5，
∴s＝10c+d＝25，t＝10p+q＝15，
若s为最大边，则f2＝s2﹣t2＝400，
∴f＝20，
若f为最大边，则f2＝s2+t2＝850，
∴f＝，
∵f为整数，
∴f＝20．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x＝．
（1）求a，b的值；
（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P 的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A点坐标和抛物线的对称轴方程可求出答案；
（2）得出tan∠PBA＝tan∠ACO＝，求出OE＝，得出点E的坐标，求出直线BE的解析式，联立直线BE和抛物线方程，则可得出点P的坐标；
（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝．∴，
解得，．
∴a＝，b＝﹣．
（2）如图，设直线PB与OC交于点E，
∵抛物线解析式y＝x2﹣x﹣3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
又∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴tan∠ACO＝，
∵∠PBA＝∠ACO，
∴tan∠PBA＝tan∠ACO＝，
∴OE＝，
∴E（0，﹣），设直线BE的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣，
∴，
解得，x1＝﹣，x2＝4（舍去），
∴P（﹣，﹣）．
（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3，对称轴直线为x＝，∴设N（，b），M（m，m2﹣m﹣3），
∵以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当CB为对角线时，（0+4）＝（+m），
∴m＝，
∴M（，﹣），
②当CM为对角线时，（m+0）＝（4+），
∴m＝，
∴M（，），
③当CN为对角线时，（0+）＝（4+m），
∴m＝﹣，
∴M（﹣，），
即：抛物线上存在这样的点M，点M的坐标分别为：M（，﹣）或（，）或（﹣，）．
四、解答题：（本大题共1个小题，共8分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC 相交于点K．
（1）如图1，求AD的长；
（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；
（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．
【分析】（1）证明Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），推出BE＝CE，∠AEB＝∠DEC可得结论．
（2）如图2中，延长AE交DK的延长线于T．利用全等三角形的性质证明AG＝DT，GK＝KT即可解决问题．
（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．由三角形的中位线定理可得NQ＝AD＝2，再证明BN＝TM，求出TM的最大值即可解决
问题．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵AE＝ED，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴BE＝AB＝2，
∴AD＝BC＝2BE＝4．
（2）证明：如图2中，延长AE交DK的延长线于T．
∵DH⊥AF，
∴∠DHG＝∠AEG＝90°，
∵∠AGE＝∠DGH，
∴∠1＝∠2，
∵∠AEG＝∠DET＝90°，AE＝DE，
∴△AEG≌△DET（ASA），
∴EG＝ET，AG＝DT，
∵∠KEG＝∠KET＝45°，EK＝EK，
∴△KEG≌△KET（SAS），
∴GK＝KT，
∵DT＝DK+KT＝DK+GK，
∴AG＝GK+DK．
（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．
∵MN＝NA，MQ＝QD，
∴NQ＝AD＝2，
∴BN的值最大时，BN+NQ的值最大，
∵AB＝BT，AN＝NM，
∴BN＝TM，
∵AB＝BT＝2，AO＝2，∠TAO＝90°，
∴OT＝＝＝2，
∵∠AMD＝90°，AO＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵MN≤OT+OM，
∴MN≤2+2，
∴MN的最大值为2+2，
∴BN的最大值为1+，
∴BN+QN的最大值为3+．。