无穷小与无穷大

无穷小。
2）如果函数 为无f (穷x)小，且
则
为无f 1(穷x)大。
1
为f (x)
f (x) 0
1.4 具有极限的函数与无穷小的关系
定理8 在自变量的同一变化过程中， 1）具有极限的函数等于极限值与一
个无穷小的和。
2）如果函数可表为常数与无穷小之 和，则该常数就是函数的极限值。
即若函数 f (x)在x x（0 或x ）时的极限 为A，则 f (x) A (x) 或简记为 y A 。其 中 (x) 为 x x0（或 x ）时的无穷
数学
无穷小与无穷大
1.1 无穷小
当 x x（0 或x ）时，函数 f (x) 的极限为
零，则称函数 f (x)当x x（0 或 x ）时为无穷小。
定义7如果对于任意给定的 0 总存在 0 （或 M>0 ），使得对于适合不等式 0 x x0 （或 x M）的一切x，对应的函数值f (x) 都满足
例
试证当
x
1
时，f (x)
1 x 1
是无穷大量。
证明对任意给定的正数M，要使
x
1 1
M
只须 x 1 1 M
所以取值
1 M
则对于
适合 0
x 1
的一切x，有
1 M x 1
。
这就证明了
lim 1 x1 x 1
。
1.3无穷小与无穷大之间的关系
定理7 在自变量同一变化过程中，
1）如果函数 为无f (穷x)大，则
3）因为
Lim csc x cot x Lim 1 cos x Lim
sin 2 x 2
sin x Lim 2
1
1 1
x0
x
x0 x sin x x0 x 2sin x cos x x0 x cos x 4 4
22
2
2
故当 x 0 时，（csc x cot x ）与 x 是同阶无穷小。
本题若用 x 分别代替 tan x 和sin x 则此极限
为零 是错误的。
数学
小，反之，若上式成立，则 f (x) 在 x x0
（或 x ）时的极限值为A。
1.5 关于无穷小的几个性质
定理9 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。
定理10 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
例
证明
lim 1 sin x 0 x x
1
证明 因为当 x 时，x 是无穷小,而函
数 sin x是有界函数，即 sin x 1
足无限小的定义，除此以外，任何无论多 么小的数，都不满足无穷小的定义，都不 是无穷小。
1.2无穷大
定义8 如果对于任意给定的正数M（不论多
么大），总存在 0（或X>0 ），使得对适
合不等式 0 x x0 （或 x X ）的一切x， 所对应的函数值 总f (满x) 足 f (x) M，则
4）因为
Lim
x
x2
sin
1 x
Lim(1
x sin
1)
1
x0
x
x0
x
故当 x 0
时，（ x x2 sin 1 ）与 x 是等价无穷小。
x
例 求
sin x Lim x0 x 2 3x
解 当 x 0 时，sin x～x 所以
Lim sin x Lim x Lim 1 1 x0 x 2 3x x0 x 2 3x x0 x 3 3
x0 x
较高阶的无穷小。
注意
两个等价无穷小可以互相代换，且有下列性质：
如果当 x x0 （
小量，且～ '
'
x
～
）时，、，
'
而且 lim x x0
' '
( x)
、 均为无穷 存在，则
lim lim
。 xx0
( x)
x x0
'
( x)
例 当时 x 0 ，将下列函数与进行比较，哪些是高
阶无穷小？哪些是低阶无穷小？哪些是同阶无穷小？
称 f (当x) x （x0或 x ）时，为无穷大，
记作： lim f (x) 或
lim f (x)
x x0
x
注意（1）无穷大是函数在某一变化过程中极限 不存在的一种情况，为了表示函数的这一变化 趋势，我们说函数的极限是无穷大，仍借用极 限符号表示。无穷大不是数，不能与很大的数 相混淆。
（2）无穷大与无界函数的关系，当自变量 在某种变化过程中，如果函数 f (x) 是无穷大， 则自变量变化到一定阶段以后 f (x) 就会永远大 于任意给定的正数M（不论M多么大）。这说明， 在自变量相应范围内，函数 f (x) 是无界的，反 之不一定成立。
由定理10可得
lim 1 sin x 0 x x
推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
1.6 无穷小量的阶
定义9设 , 是同一变化过程中的两个无穷小量。
1)如果
lim 0
则称 是
比较高阶的无穷小量，
记为 0( )
2)如果 lim c 0（c 为常数）则称与 为同阶无穷
例求 解当
x
Lim
x0
tan
x sin x3
x
0时，tan x ~ x,1
cos
x
~
x2
,
2
于是
Lim
x0
tan
x sin x3
x
Lim
x0
tan
x(1 cos x3 cos x
x)
Lim
x0
x 1 x2 2
x3 cos x
1 2
注意 用等价无穷小作代换时，一定要在乘
除运算中使用不能在加减运算中使用，如
小量。
3)如果 lim
1
则称与 为等价无穷小量记为
～ 。
4)如果 lim 则称 是比 较低阶的无穷小量。
例 lim x x2 1 所以 (x x2 )～x(x 0) 。lim x2 1 2
x0 x
x1 x 1
所以 (x2 1) 与 (x 1) 同阶。lim x2 0 所以 x 2 是比x
哪些是等价无穷小？
1） tan 3 x
2） 1 x2 1
3）csc x cot x
4） x x2 sin 1
x
解： 1）因为
Lim
x0
tan 3 x
x
0
故当 x 0
时，tan 3 x 是比
x 高阶的无穷小。
2）因为
Lim
x0
1 x2 1 Lim
x
x0
x 0 1 x2 1
故当x 0 时，
( 1 x2 1) 是比 x 高阶的无穷小。
不等式 f (x) ，则称函数lim f (x) 0 x x0
（或
lim f (x) 0
x
）。
注意 无穷小不是一个很小的数，而是一个 以零为极限的变量。但是零是可作为无穷 小的唯一的常数，因为如果，f (x) 0 则对
任给的 0 ，总有 f (x) ，即常数零满