宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)考试试题(解析版)

宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期第一次月考数学（文）考试试题（解析版） 1 / 9
宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期第一次月考数学
（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意，做出数轴表示AB 可得：
即可得 ， 故选：A ．
根据题意，做出数轴，结合并集的意义，即可得到答案． 本题考查并集的计算，细心计算即可．
2. 已知函数
，则
A.
B.
C. 2
D.
【答案】B
【解析】解： 函数
， ，
．
故选：B ．
由 ，结合分段函数的性质得 ，由 ，结合分段函数的性质得 ．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
3. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】解：解二次不等式x 2
-4x+3＜0得：1＜x ＜3，
又
，
故“0＜x ＜3”是“x 2
-4x+3＜0”的必要不充分条件， 故选：B ．
由二次不等式的解法得：解二次不等式x 2
-4x+3＜0得：1＜x ＜3，
由集合的包含关系得：，
由必要充分条件得：“0＜x＜3”是“x2-4x+3＜0”的必要不充分条件，得解．
本题考查了二次不等式的解法、集合的包含关系及必要充分条件，属简单题．
4.设，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由指对函数的性质知，，，
因为，又，所以，所以．
故选：D．
由指对函数的性质知，，，再借助中间量求a，b大小．
本题考查指数函数和对数函数的性质属于简单题．
5.若，则的定义域为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意有：
解得：，
所以其定义域为：
故选：C．
根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得不等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案．
本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等．
6.函数的图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】解： ，
是偶函数，
可排除B 、D ，
由 排除C ， 故选：A ．
利用函数
的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项 从而得以解决．
本小题主要考查复合函数的图象识别 属于基础题．
7. 已知命题p ： ， ；命题q ：若 ，则 下列命题为真
命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：命题p ： ， ，是真命题； 命题q ：若 ，则 ，是假命题， 故 ￢ 是真命题， 故选：B ．
分别判断出p ，q 的真假，从而判断复合命题的真假即可． 本题考查了复合命题的判断，考查不等式的性质，是一道基础题．
8. 已知 ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
．
故选：D ．
利用 ，令原式除以 ，从而把原式转化成关于 的式子，把 代入即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换应用 本题利用了 巧妙的完成弦切互化．
9. 设变量x ，y 满足约束条件
则
的最大值为 A. 0
B. 2
C.
4
D. 3
【答案】C
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线 过点D 时，在y 轴上截距最小，z 最大
由 知 ． 故选：C ．
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
10.已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则
A. 2
B.
C.
D. 98
【答案】B
【解析】解：在R上是奇函数，且满足，
当时，，
．
故选：B．
利用函数的周期性、奇偶性求解．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
11.设定义在R上的奇函数满足，对任意，，且都有
，且，则不等式的解集为
A. ，
B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：是奇函数，不等式不等式等价为，
即，
任意，，
且都有，
当时，为减函数，
，，
作出的图象如图：
则等价为或，
即或，
即不等式的解集为，
故选：D．
根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件判断函数单调性是解决本题的关键注意要利用数形结合来求解比较方便．
12.若函数，函数，则
的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】解：设 ，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，
求函数
的导数，
，直线 的斜率 ， 由 ，即
，
即
，解得
，此时
，
即函数在
处的切线和直线 平行， 则最短距离
，
的最小值
，
故选：B ．
根据平移切线法，求出和直线 平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．
本题主要考查导数的综合应用，利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，考查学生的运算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线 在点 处的切线方程为______． 【答案】
【解析】解：函数的导数 ， 则 ，
即函数在点 处的切线斜率 ，
，即切点坐标 ， 则对应的切线方程为 ， 即 ，
故答案为：
求出函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出函数的导数是解决本题的关键 比较基础．
14. 函数 的单调递减区间为______． 【答案】
【解析】解： 函数 ， ，求得 ，或 ，故函数的定义域为 ，或 ．
故函数 的单调递减区间，即函数 在定义域内的减区间．
利用二次函数的性质可得函数 在定义域内的减区间为 ， 故答案为： ．
先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性，本题即求函数
在定义域内的减区间 再利用二次函数的性质，得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
15.若存在，使得，则实数a的最小值为______．
【答案】
【解析】解：等价于，
设，
存在，使得等价于，
由，
易得：函数在为增函数，为减函数，
又，，
所以，
即，
即a的最小值为，
故答案为：
由不等式有解问题可构造函数求最值得：等价于，设
，存在，使得等价于，
利用导数研究函数的单调性及最值得：函数在为增函数，为减函数，又，，所以，即，得解．
本题考查了不等式有解问题及构造函数利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题
16.若函数，则使得成立的x的取值范围
是______．
【答案】
【解析】解：函数，则是偶函数，
当时，为增函数，
则不等式等价为，
即，
平方得，
即，
即，得，
即不等式的解集为，
故答案为：
根据条件判断函数是偶函数，且在上是增函数，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性的性质，利用奇偶性
宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期第一次月考数学（文）考试试题（解析版）和单调性的性质转化不等式是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.计算下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．
【答案】解：Ⅰ
．
；
Ⅱ
．
【解析】Ⅰ直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；
Ⅱ直接利用对数的运算性质化简求值．
本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础的计算题．
18.已知角终边上一点的坐标为．
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ求的值．
【答案】解：Ⅰ，，，
则，，；
Ⅱ．
【解析】Ⅰ由已知求得，再由任意角的三角函数的定义求解；
Ⅱ利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ求在上的最大值和最小值．
【答案】解：Ⅰ函数的定义域是R，
，
令，解得：或，
令，解得：，
所以的单调递增区间为和；
单调减区间为
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Ⅱ由在递减，在递增，
而，，，
故最大值是，最小值是．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；Ⅱ根据函数的单调性求出函数的最值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题．
20.已知函数，若在处取得极值．
Ⅰ求a的值；
Ⅱ证明：当时，．
【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，
函数的导数，
在处取得极值．
，即，得；
Ⅱ当时，，，由得得或舍，此时函数为增函数，
由得得，，此时，此时函
数为减函数，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
最小值为，
即当时，，即成立．
【解析】Ⅰ求函数的导数，利用函数极值关系解方程即可
Ⅱ求出和，研究函数的极值和最值，进行证明即可．
本题主要考查函数导数与极值的应用，通过条件解方程，求出a的值是解决本题的关键．
21.设函数．
Ⅰ讨论的导函数的单调性；
Ⅱ当时，函数有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：，．
令ℎ，，
则ℎ，
令ℎ，得，或，
令ℎ，得，
的单调递增区间为，．
单调减区间为
当时，函数，．
，
，
函数在上单调递减．
．
时，，函数在上单调递减，不符合题意，舍去．
宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期第一次月考数学（文）考试试题（解析版）
，即时，存在，使得函数在内单调递增，在内单调递减， 时，．
则函数此时有两个零点．
综上可得实数a的取值范围是．
【解析】，令ℎ，，利用导数已经其单调性即可得出．
当时，函数，
，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建
立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为．
Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
Ⅱ设直线l与曲线C交于A，B两点，求．
【答案】解：Ⅰ由得，得，
直线l的参数方程为：为参数，
Ⅱ联立直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：，
设M，N两点对应的参数分别为，，
则，，
．
【解析】Ⅰ两边同时乘以 后利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，根据点M 和倾斜角写出直线l的参数方程的标准形式；
Ⅱ联立直线与圆的方程，根据参数的几何意义可得．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
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