崇明区2017年高三数学一模试卷

崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷
数 学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】 1．复数(2)i i +的虚部为 ．
2．设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩
≤，则((1))f f -= ．
3．已知{}12,M x
x x R =-∈≤，10,2x P x x R x -⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭
≥，则M P ∩等于 ．
4．抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 ．
5．已知无穷数列{}n a 满足1*1
()2
n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
lim n n S →∞
= ．
6．已知,x y R +∈，且21x y +=，则x y ⋅的最大值为 ．
7．已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α=︒，则圆锥的表面积为 ．
8．若21
(2)(*)n x n N x
+∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n = ．
9．已知A ，B 分别是函数2sin )(0()f x x ωω>=在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2
AOB π
∠=
，则该函数的最小正周期是 ．
10．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同
一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
11．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数()y f x =的图像恰好经
过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数．已知函数：①2y x =；②2sin y x =；
③1x y π=-；④cos 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你
认为正确论断的序号都填上）
12．已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若()f AP AB λλ=-()R λ∈的最小
值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为
4
3
，则线段AB 的长度为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】
13．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A ．tan y x =
B ．3x
y =
C ．13
y x =
D ．lg y x =
14．设,a b R ∈，则“2
1a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
15．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，
P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为
A ．2
21255
y x +=
B ．2
21
3010y x +=
C ．213616y x 2+=
D ．2
214525y x +=
16．实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2
a b
+、ab 按一定顺序构成的数列
A ．可能是等差数列，也可能是等比数列
B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列
D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数
列
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分. 在正三棱柱
111ABC A B C -中，11,2AB BB ==，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分. 在一个特定时段内，以点D 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点D 正北55海里处
有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A 相距 402海里的位置B 处，
经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中26
sin 26
θ=， 090θ︒<<︒）且与点A 相距1013海里的位置C 处．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.
已知点1F 、2F 为双曲线2
2
2:1y C x b
-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，
在轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒． （1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，
求12PP PP ⋅的值．
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)
小题满分7分.
设12()2x x a
f x b
+-+=+（,a b 为实常数）．
（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；
（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；
（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的、c ，
都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)
小题满分8分.
已知数列{}n a ,{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．
（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为1
3
-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出数列{}n a 的通项公
式；
（3）在(2)的条件下，设n
n n
a c
b =
， 求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 2；
2. -2；
3. 1-1,1];
4. 34;
5. 4;
6. 1
8
;
7. 75π 8. 12; 9.
8
33
; 10. 24; 11. ; 12.
42
3
. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13. C; 14.B; 15.C; 16.B. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17.解：（1）
11//B C BC ，
1BCA ∴∠是异面直线11B C 与1A C 所成角............................2分 在1BCA 中，11
1,5,5BC A B AC ===， 22211115cos 210
BC CA BA BCA BC CA +-∴∠==
⋅,........................5分 15arccos
10
BCA ∴∠= ∴异面直线11B C 与1A C 所成角大小为5
arccos
10
................7分 （2） 1113
2
ABC A B C ABC
V S
AA -=⋅=
.......................................10分 1113
3
6
A ABC ABC V S AA -=
⋅=
.........................................13分 所以1111113
3
A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-=...................................14分
18.解：(1)因为090θ︒<<︒，26sin 26
θ=
， 所以2
526
cos 1sin 26
θθ=-=
....................................2分 由余弦定理，得222cos 105BC AB AC AB AC θ=+-⋅=，..........5分
所以船的行驶速度为
105
15523
=（海里/小时）..................6分 （2）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B C ，的坐标分别是
1122 B x y C x y （，），（，），
由题意，得11cos 4540sin 4540x AB y AB =⋅︒=⎧⎨=⋅︒=⎩............................8分
22
cos(45)30
sin(45)20x AC y AC θθ=⋅︒-=⎧⎨
=⋅︒-=⎩..................................10分 所以直线BC 的方程为2400x y --=.........................12分 因为点055E -（，）
到直线BC 的距离002
2
||
357ax by c d a b
++==<+
所以船会进入警戒水域...............................14分
19.
解：（1）设2,F M 的坐标分别为220(1,0),(1,)b b y ++ 因为点M 在双曲线上，所以22
0211y b b
+-=，所以2
2||MF b =...........2分
12Rt MF F 中，因为1230MF F ∠=︒，所以21||2MF b =，...........5分
由双曲线定义，得：2
11||||2MF MF b -==...........5分
所以双曲线的方程为：2
2
12
y x -=...........6分 （2）由（1）知，双曲线的两条渐近线分别为12:20,:20l x y l x y -=+=.......8分 设11(,)P x y ，
则P 到两条渐近线的距离分别为111|2|
||3
x y PP -=
，112|2|
||3
x y PP +=
.......10分
设两条渐近线的夹角为，则两个向量夹角也为，其中1
cos 3
θ=
..........12分 又点P 在双曲线2
2
12
y x -=上，所以221122x y -=
所以12122
||||cos 9
PP PP PP PP θ⋅=⋅=
..................................14分 20.解：（1）证明：51
1
212)1(2
-=++-=
f ，4
121
21
)1(=+-
=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分 （2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，
即b
a
b a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数都成立
即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数都成立...........................................5分
所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==2
1b a ．
经检验都符合题意........................................8分
（3）当⎩⎨⎧==21b a 时，121
212212)(1++-=++-=+x x x x f ，
因为02>x ，所以112>+x ，11
21
0<+<x
， 所以2
1
)(21<<-
x f .......................................10分 而4
3
43)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数成立；
所以可取D =R 对任何、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分
当⎩
⎨⎧-=-=21b a 时，)0211
212212)(1
≠-+-=---=+x x f x
x x （， 所以当0>x 时，2
1
)(-<x f ；当0<x 时，2
1)(>x f .............14分 1）因此取),0(+∞=D ，对任何、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-
x 得：7
5log 2≤x ．所以取]7
5
log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分
21.（1）解：因为数列{}n a 是首项为
23，公比为1
3
-的等比数列 所以121()33n n a -=⋅-，1
1()32
n
n S --=.......................3分 所以21
22
n n n S b a =
=+.......................................4分 （2）若n b n =，则2(2)n n S a n =+，所以112(1)(2)n n S n a ++=++ 所以112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n n a na +-+=........5分 所以212(1)n n na n a +++=+
所以211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+-
所以212n n n a a a +++=.......................................7分 又由1122S a =＋，得：12a =..............................8分 所以数列{}n a 是首项为2公差为1的等差数列
所以1n a n =+.......................................10分
（3）证明：由（2）知1
n n c n
+=
， 对于给定的*n ∈N ，若存在k t n ≠，，且*
t k ∈N ，，使得n k t c c c ⋅＝，
只需
111
n k t n k t +++=⋅
.......................................12分 只需(1)
n k t k n
+=-......................................14分
取1k n =+，则(2)t n n =+......................................16分 所以对于数列{}n c 中的任意一项1
n n c n
+=
， 都存在12
1
n n c n ++=+与2(2)2
212n n n n c n n +++=+，使得1(2)n n n n c c c ++⋅＝， 即数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18分。