湖南省长沙市雨花区广益实验中学2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知＝，则＝（）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（）A．42件B．45件C．46件D．50件
4．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 6．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
7．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
8．如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）
A．＝B．＝C．∠ADE＝∠C D．∠AED＝∠B 9．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）
A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y ＝ax+b的图象可能是（）
A．B．
C．D．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
12．如图，在菱形ABCD中，tan A＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
13．如图，数轴上点A表示的实数是．
14．已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为．15．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是米．
16．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（）﹣2+2sin45°﹣+|1﹣|．
20．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
21．为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．
满意度人数所占百分
比
非常满意12 10%
满意54 m
比较满意n40%
不满意 6 5%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为，表中m的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为
游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．
22．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．为落实“美丽秦州”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作多少天？
24．如图，AB是⊙O的直径，P为BA延长线上一点，过P作⊙O的切线，切点为C，CD平分∠ACB交⊙O于D，交AB于G．
（1）求证：△PAC∽△PCB；
（2）已知⊙O的半径为5，PC＝2，过C作CH⊥AB于H．
①求tan∠ADC；
②求GH的长．
25．已知y1，y2分别是关于x的函数，如果函数y1和y2的图象有交点，那么称y1，y2为“亲密函数”，交点称为函数y1和y2的“亲密点”；若两函数图象有两个交点，横坐标分别是x1，x2，称L＝|x1﹣x2|为函数y1和y2的“亲密度”，特别地，若两函数图象只有一个交点，则两函数的“亲密度”L＝0．
（1）已知一次函数y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝，请判断函数y1和y2是否为“亲密函数”，若是，请写出“亲密点”及“亲密度”L，若不是，请说明理由；
（2）已知二次函数y＝ax2﹣6x+c与x轴只有一个交点，与一次函数y＝x﹣1的“亲密度”L＝3，求二次数的解析式；
（3）已知“亲密函数”y1＝ax﹣2和y2＝的“亲密度”L＝0，“亲密点”为P（x0，y0），将过P的抛物线y＝ax2+bx+c（b＞0）进行平移，点P的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1），平移后的抛物线仍经过点P，当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知＝，则＝（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用比例的合比性质得到答案即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
3．某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（）A．42件B．45件C．46件D．50件
【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50，
∴中位数为46，
故选：C．
4．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
5．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故选：B．
6．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
7．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
故选：B．
8．如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）
A．＝B．＝C．∠ADE＝∠C D．∠AED＝∠B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【解答】解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED；
当＝即＝时，△ABC∽△AED．
故选：A．
9．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）
A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y ＝ax+b的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：
抛物线的顶点坐标在第四象限，即a＞0，﹣b＜0，
∴a＞0，b＞0．
∵反比例函数y＝中ab＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限；
∵一次函数y＝ax+b，a＞0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、三象限．
故选：B．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c ＜0．
【解答】解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
12．如图，在菱形ABCD中，tan A＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为（）
A．B．C．D．
【分析】首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
【解答】解：如图，延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF＝90°，
∴∠A+∠FDH＝90°，
∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠DFN，
∴∠A＝∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH＝90°，
∴NH⊥DC，
设DM＝4k，DE＝3k，EM＝5k，
∴AD＝9k＝DC，DF＝6k，
∵tan A＝tan∠DFH＝，
则sin∠DFH＝，
∴DH＝DF＝k，
∴CH＝9k﹣k＝k，
∵cos C＝cos A＝＝，
∴CN＝CH＝7k，
∴BN＝2k，
∴＝．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．如图，数轴上点A表示的实数是﹣1 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，
则数轴上点A表示的实数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为﹣8 ．【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把代入方程组得：，
①×3+②×2得：5a＝﹣5，即a＝﹣1，
把a＝﹣1代入①得：b＝﹣3，
则原式＝a2﹣b2＝1﹣9＝﹣8，
故答案为：﹣8
15．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是6米．
【分析】根据迎水坡AB的坡比是1：，可得＝，即可求得AC的长．
【解答】解：∵堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，
∴＝，
∴AC＝BC＝6（米）．
故答案为6米．
16．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1＜y2．（填“＞”或“＜”）．
【分析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝＝＝3；
故答案为：3．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝﹣．
【分析】（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB＝2可得出b＝a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
（方法二）由一次函数图象上点的坐标特征结合AB的长度可设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣），再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于k、a的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），
∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，
∴b﹣a＝2，即b＝a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得：k＝﹣．
（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，
∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得：．
故答案为：﹣．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（）﹣2+2sin45°﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2×﹣2+﹣1
＝4+﹣2+﹣1
＝3．
20．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
21．为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．
满意度人数所占百分
比
非常满意12 10%
满意54 m
比较满意n40%
不满意 6 5%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为120 ，表中m的值45% ；
（2）请补全条形统计图；
（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．
【分析】（1）利用12÷10%＝120，即可得到总人数；用120×40%即可得到n的值．（2）根据n的值即可补全条形统计图；
（3）根据用样本估计总体，3600××100%，即可答．
【解答】解：（1）12÷10%＝120，总人数＝120，
n＝120×40%＝48，m＝＝45%．
故答案为120，45%．
（2）根据n＝48，画出条形图：
（3）3600××100%＝1980（人），
答：估计该景区服务工作平均每天得到1980名游客的肯定．
22．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，
在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，
在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．
答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．
23．为落实“美丽秦州”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过195万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度
为x米．
根据题意得：﹣＝4
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝90．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天．
根据题意得：7m+×5≤195．
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
24．如图，AB是⊙O的直径，P为BA延长线上一点，过P作⊙O的切线，切点为C，CD平分∠ACB交⊙O于D，交AB于G．
（1）求证：△PAC∽△PCB；
（2）已知⊙O的半径为5，PC＝2，过C作CH⊥AB于H．
①求tan∠ADC；
②求GH的长．
【分析】（1）如图，连接OC，先证∠B＝∠ACP，又因为∠CPA＝∠BPC，即可得出结论；（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，利用相似三角形的性质可求出AP的长，可求出∠B的正切值，即可写出∠ADC的正切值；
②如图，连接OD，证OD∥CH，所以△DOG∽△CHG，在Rt△ABC中，设AC＝x，则BC＝x，由勾股定理可求出x的值，即得AC，BC的长，由面积法求出CH的长，由锐角三角函数求出BH的长，进一步求出OH的长，利用相似三角形的性质即可求出GH的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠OCA+∠ACP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠B＝∠ACP，
又∵∠CPA＝∠BPC，
∴△PAC∽△PCB；
（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，
∴＝＝，
∵PC＝2，AB＝5×2＝10，
∴＝，
∴AP＝2（取正值），
∴＝＝，
∵∠ADC＝∠B，
∴tan∠ADC＝tan∠B＝＝；
②如图，连接OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝ACB＝45°，
∴∠BOD＝∠DOA＝90°，
∵CH⊥AB，
∴∠CHG＝90°＝∠DOA，
∴OD∥CH，
∴△DOG∽△CHG，
在Rt△ABC中，设AC＝x，则BC＝x，∴x2+（x）2＝102，
∴x＝（取正值），
∴AC＝，BC＝，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，
∴×＝10CH，
∴CH＝，
∵tan∠B＝，
∴＝＝，
∴BH＝，
∴OH＝BH﹣BO＝﹣5＝，
∵△DOG∽△CHG，
∴＝，
即＝，
∴GH＝2﹣．
25．已知y1，y2分别是关于x的函数，如果函数y1和y2的图象有交点，那么称y1，y2为“亲密函数”，交点称为函数y1和y2的“亲密点”；若两函数图象有两个交点，横坐标分别是x1，x2，称L＝|x1﹣x2|为函数y1和y2的“亲密度”，特别地，若两函数图象只有一个交点，则两函数的“亲密度”L＝0．
（1）已知一次函数y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝，请判断函数y1和y2是否为“亲密函数”，若是，请写出“亲密点”及“亲密度”L，若不是，请说明理由；
（2）已知二次函数y＝ax2﹣6x+c与x轴只有一个交点，与一次函数y＝x﹣1的“亲密度”L＝3，求二次数的解析式；
（3）已知“亲密函数”y1＝ax﹣2和y2＝的“亲密度”L＝0，“亲密点”为P（x0，y0），将过P的抛物线y＝ax2+bx+c（b＞0）进行平移，点P的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1），平移后的抛物线仍经过点P，当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
【分析】（1）联立y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝并整理得：2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x
＝3或﹣，即可求解；
（2）由题意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，L＝3，则L2＝9，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，即可求解；
（3）联立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，当a＝1时，x＝1，故点P（1，﹣1）；由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．因为平移后P（1，﹣1）的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1），可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．即可求解．
【解答】解：（1）联立y1＝2x﹣5与反比例函数y2＝并整理得：
2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣，
故“亲密点”为：（﹣，6）或（3，1）；
“亲密度”L＝3+＝；
（2）由题意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，
联立y＝ax2﹣6x+c、y＝x﹣1并整理得：ax2﹣7x+c+1＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝；
L＝3，则L2＝9，
即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
则（）2﹣4（）2＝9，
解得：a＝1或﹣，c＝9或﹣；
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+9或y＝﹣x2﹣6x﹣；
（3）联立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，
△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，
当a＝1时，x＝1，故点P（1，﹣1）；
由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．
因为平移后P（1，﹣1）的对应点为P1（1﹣m，2b﹣1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，
即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．
把（1，﹣1）代入，得
（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．
（1++m）2＝﹣b+1．
（1++m）2＝（﹣1）2．
所以1++m＝±（﹣1）．
当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；
当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b，
因为m≥﹣，所以b≤．
所以0＜b≤，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣2+b．
即顶点为（，﹣2+b），
设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．
因为﹣＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．
因为0＜b≤，
所以当b＝时，p取最大值为﹣，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，﹣）．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．
【分析】（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x ﹣m）（x﹣n），MH＝|y M|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan ∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y ＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【解答】解：（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），
则MH＝|y M|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，
AH＝x M﹣x A＝﹣m
tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，
化简得：a（n﹣m）＝…②，
将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），
则k＝＝m﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点H（，），则HP＝HC，
即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3m2﹣18m+19＝0，
解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），k＝m﹣4＝．。