排队模型——精选推荐

排队模型
一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。

排队过程的一般过程可用下图表示。

我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:
在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。

它们可以是人，也可以是某种物质或设备。

排队可以是有形的，也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.
1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括：
顾客源中顾客的数量是有限还是无限；
顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；
顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括：
即时制还是等待制；
等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；
等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。

3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。

包括：
服务台（员）的数目和排列情况；
服务台（员）的服务方式；
服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2.到达和服务过程的模型
2.1 到达过程的模型
用表示第i 个顾客到达的时间,.
i t 称为第i 个到达时间间隔.
1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的
情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.
12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时
1()()i E T E X λ==
即平均每隔1
λ
来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个
顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的
假设下()N t ()()N t P t λ∼.
除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为
1()(), 0.(1)!
k Rx
R Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R
==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.
当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服
从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.
2.2服务过程的模型
一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.
若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的
服务时间平均为1
μ
. 单位时间里可以完成的平均顾客数为
μ.
若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ
=的爱尔朗分
布, 则平均服务时间为1
μ
, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将
Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数
为
1
kμ
的指数分布且相互独立.
在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间
隔或服务时间分布:
M: i.i.d. 指数分布
D: i.i.d. 的确定分布
E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布
GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布
在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，
确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学
的方法确定符合哪种理论分布。

经验分布的主要指标如下：
1==总时间平均时间间隔到达客户总数平均到达率
1==服务时间总和平均服务时间顾客总数平均服务率
2.3.排队规则
常用的排队规则有:
FCFS: 先来先服务
LCFS: 后来先服务
SIRO:按随机顺序服务
GD: 一般排队规则
D.G.Kendall在1953年提出了一个分类方法，按照系统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类，它们是：顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、并列的服务台个数。

用符号（称为Kendall记号）表示为
X/Y/Z
X:顾客相继到达的间隔时间分布
Y:服务时间的分布，
Z:并列的服务台个数。

例如M/M/1，表示顾客相继到达的间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台的模型。

在1971年关于排队论符号标准化的会议上决定，将Kendall 符号扩充为：
X/Y/Z/A/B/C
其中前三项意义不变。

A处填写系统容量限制(等待与接受服务顾客总数);
B处填写顾客源中的顾客数目;
C处填写服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）。

约定，如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形.略去第六项表示先到先服务FCFS的情形。

3.排队系统基本指标
3.1一个排队系统，运行状况的好坏既涉及到顾客的利益，又涉及到服务机构的利益，还有社会效果好坏的问题。

为了研究排队系统运行的效率、估计服务质量、研究设计改进措施，必须确定一些基本指标，用以判断系统运行状况的优劣。

下面介绍几种常用的指标。

1)队长：系统中的顾客数. 它的期望值记作L。

系统中排队等待服务的顾客数称为排队长（队列长），它的期望值记作Lq。

显然有
队长＝排队长＋正被服务的顾客数（L s）。

2)逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间，它的期望值记作W。

一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间，它的期望值记作Wq。

显然有
逗留时间＝等待时间＋服务时间（W s）。

3)瞬态和稳态
把系统中的顾客数称为系统的状态。

考虑在t 时刻系统的状态为n 的概率，它是随时刻t 而变化的，用P n (t)表示，称为系统的瞬态。

求瞬态解是很不容易的，一般即使求出也很难利用，因此我们常用它的极限
lim P n (t)＝P n
t →∞
称为稳态概率或平稳分布或统计平衡状态的解。

对于任意存在平稳分布的排队系统，下列关系成立：
q q s s
L W
L W L W λλλ===
其中λ表示单位时间进入排队系统的到达者平均值。

3.2 生灭过程与稳态概率
排队系统的状态n 随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ, 指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
利用生灭过程理论可得稳态概率满足的方程
0111n n n P P n
P P P λμP λμλμ−+=⎧⎨+=+⎩ 再利用0
1n n P ≥=∑解得
P 0=1-ρ
P n =(1-ρ) ρn , n ≥1
这里的ρ称为服务强度，也称话务强度，它刻划了服务机构的繁忙程度，所以又称服务机构的利用率。

实际上我们可以更一般的看待以上生灭过程, 只要求它满足如下三条基本性质即可:
A. 在时间间隔内排队系统由状态j “出生”一个的概率为t Δ(j t t )λοΔ+Δ；
B. 在时间间隔内排队系统由状态j “灭亡”一个的概率为t Δ(j t t )μοΔ+Δ；
C. 生和灭相互独立。

利用生灭过程理论就可以得到稳态概率满足的如下关系：
()()()0011
1110022
2221133
111n n n n n n n 1
P P P P P P P P P P P λμλμλμλμλμλμλμ−−++=+=++=++=+
定义
01112, 1,2,j j j
c j λλλμμμ−== 则可以证明
0, 1,2,j j P c P j ==
再利用0
1n n P ≥=∑可解得
01
1
1j
j P c ∞==+∑
如果1
j j c ∞=∑发散，稳态概率不存在。

稳态概率不存在的常见
原因是到达速率至少与最大服务速率一样大。

4．M /M /1/GD /∞/∞排队系统
这是包含下列参数的生灭过程:
0, j =0,1,20, , j =1,2,3j j λλμμμ===
4.1稳态分布 可以求得 0:, 1,2,j
j j P P P j λρμ⎛⎞===⎜⎟⎝⎠ , λρμ
=是服务强度. 如果01ρ≤<, 则易知 ()01, 1, 1,2,j j P P j ρρρ=−=−= .
如果1ρ≥,系统不存在稳态分布, 顾客人数最终“爆炸”。

4.2 稳态下排队系统指标计算
顾客平均数L ：
()0011j
j j j L jP j ρλ
ρρρμλ∞∞====−==−−∑∑
等待顾客平均数L q ：
()()()221111j q j L j L ρλρρρρμμλ∞
==−−=−==−−∑ 正在接受服务顾客平均数L s ：
s 012001()1L P P P P ρ=×+++=−=
顾客平均逗留时间W ：
1(1)L W ρ
λλρμ===−−λ
顾客平均等待时间W q ： ()
q
q L W λλμμλ==− 例 4.1 设所有车主在他们的油箱剩下一半时加油.目前,平均每小时有7.5位顾客到只有一个油泵的加油站加油.给一辆汽车提供服务平均需要4分钟.假设到达时间间隔和服务时间都服从指数分布.
(1).在当前情况下计算计算该加油站的平均对长和平均逗留时间;
(2).假如汽油短缺出现了抢购,所有车主在他们的油箱剩下四分之三油量时购买汽油.由于每个车主加油的量减少了,所以我们假设平均服务时间也减少到了133
分钟.抢购对平均对长和平均逗留时间有何影响?
解: 这是一个M /M /1/GD /∞/∞排队系统.其中
7.57.5/, =15/, =0.5.15
λμρ==辆小时辆小时 所以可求的
11, 0.13.17.5L
L W ρρλ=====−小时
(2). 还是一个M /M /1/GD /∞/∞排队系统.其中
27.515/60155=18/, =.118633
,
λμρ=×===辆小时(因为每个车主加油次数是以往的两倍)辆小时所以可求的
515(, .1153L
L W ρ
ρλ=====−辆)(小时)=20分钟 抢购导致排长队.
5．M /M /1/GD /c/∞排队系统
在这个排队系统中,总容量为c.当系统有c 位顾客时,所有到达者都会被拒绝.这是一个包含下列参数的生灭过程: 0, j =0,1,2, 1.
0,0,
, j =1,2,3,.
j c j c c λλλμμμ=−===
5.1稳态分布 如果1λρμ
=≠, 可以求得 0101,1, 1,2,,,0, 1,2,.
c j j j P P P j c P j c c ρρ
ρ+−=−====++ ,
1101(1).(1)(1)c c c j c j c c L jP ρρρρρ++=⎡⎤−++⎣⎦==
−−∑ 如果1λρμ
==, 可以求得 11,0,1,2,,; .2
j c c P j c L +=
==
5.2 稳态下排队系统指标计算
正在接受服务顾客平均数L s ：
s 01201()1L P P P =×+++=− 0P
等待顾客平均数L q ：
s .q L L L =−
顾客平均逗留时间W ：
每单位时间平均有λ名到达者,但有c P λ名到达者发现系统已满而离去.所以每单位时间平均有()1c c P P λλλ−=−名到达者将实际进入系统, 所以
, .(1)(1)
q q c c L L W W P P λλ==−− 对于这种系统,稳定分布一定存在, 系统不会“爆炸”。

6．M /M /s /GD /∞/∞排队系统
在这个排队系统中,存在s 个并行的服务台.如果系统中顾客数,则所有顾客都在接受服务;如果系统中顾客数,则所有服务台被占用,且还有j-s 位顾客在排队等候.这是一个包含下列参数的生灭过程:
j s ≤j s >, j =0,1,2.
, j =0,1,2,,., j =+1,2,.
j j j j s s s s λλμμμμ===+
6.1稳态分布 定义s λρμ
=, 当1ρ<时可以求得 010001
,
()()!!(1)(), 1,2,,,!
(), 1,2,.!i s s i j
j j
j j s P s s i i s P P j s j s P P j s s s s
ρρρρρ−=−=+−====++∑ ,
如果1ρ≥, 不存在稳定分布.
6.2 稳态下排队系统指标计算
由上可知稳态情况下所有服务台都忙的概率为
0()()!(1)
s
s .P j s P s ρρ≥=− 可以证明等待顾客平均数为
()1q P j s L ρρ
≥=−, 平均等待时间为
()q q L P j s W s λ
μλ≥==− 平均服务时间为1
s W μ=, 所以正在接受服务顾客平均数L s
为 s L λμ
=. 从而可求的系统平均队长为
s .q q L L L L λμ
=+=+ 顾客平均逗留时间W ：
11
() .q q L L
P W W s 1j s λλμμμλμ≥==+=+=+−
例2. 银行人员配备
银行经理要确定星期五必须有多少位出纳员上班.经理认为顾客排队一分钟会导致5美分的延迟成本. 每分钟平均有2名顾客到达银行.出纳员平均每2分钟完成一次服务.银行雇用一名出纳员的费用是每小时9美元.到达时间间隔和服务时间都服从指数分布.要是服务成本和延迟成本最少,银行在星期五应当安排多少位出纳员上班?
解:用M /M /s /GD /∞/∞排队模型:
2/, 0.5/λμ==位顾客分钟位顾客分钟.
为使系统不至于爆炸,需要1s λρμ
=<, 即. 至少要5名出纳员.下面我们计算s=5,6,…时的单位时间的总成本:
5s ≥()p s =+平均服务成本平均延迟成本分钟分钟
由于每分钟支付每名出纳员91560
=美分,所以 0.15s =平均服务成本分钟
. 由于
0.05q W ==平均延迟成本平均顾客数平均延迟成本分钟分钟顾客平均延迟成本顾客
而每分钟平均到达2位顾客,所以
2(0.05)0.10q q W W ==平均延迟成本分钟
当s=5时,
20.80,50.5(5)0.55,
s P j λρμ===×≥=
从而
0.55 1.15(0.5)2
q W ==−分钟 所以当s=5时, 单位时间平均总成本为
(5)0.150.10 =0.155+0.11=86q p s =+=+×平均服务成本平均延迟成本分钟分钟
美分
W 当s=6时每分钟的平均服务成本是0.15690×=美分,总成本不可能低于5名时的86美分. 所以5名是最优选择.
注:LINGO 函数@PEB( )产生M /M /s /GD /∞/∞排队系统的所有服务台忙的概率()P j s ≥.@PEB(#, #)有两个参数: 第一个为/λμ的值,第二个为服务台数量.
@PEB( )函数可以和LINGO 一起用来求解排队忧化问题.如例2中使成本最少的出纳员数,可以用如下程序计算:
MODEL:
1)MIN=.10*@PEB(4,S)/(.5*S-2)+.15*S;
2)S>5;
END
最后输出S=5时的目标函数值0.860823(每分钟).
7．M /G /∞/GD /∞/∞和GI /G /∞/GD /∞/∞排队系统 刻画不需要等候的服务系统. 换句话说, 有无穷多个服务台. 这样的系统的运作方式是:
(1).到达时间间隔是i.i.d.的,如果用A 表示间隔长短, 均值为1
()E A λ=.到达速率就是λ.
(2).顾客到达后立即接受服务,每个客户在系统中的时间是随机变量,用S 表示, 1
(S)E μ=.
在这种系统中,我们有L λμ
=. 特别地,如果A 是指数分布的,还可以求出
/.!
j
j e
P j λμλμ−⎛⎞⎜⎟⎝⎠=
例3. 每年在某镇有3家冰淇淋店开业.一家冰淇淋店平均营业时间是10年. 长持以往,该镇平均将有多少家冰淇淋店? 如果冰淇淋店开业的时间间隔服从指数分布,那时将有25家店的概率是多少?
解: 用GI /G /∞/GD /∞/∞排队模型.开业即为进入系统,退出市场即为退出系统.易知1
3,10λμ==.所以 该镇冰淇淋店数量即该系统队长平均为L 30λμ
==家. 如果冰淇淋店开业的时间间隔服从指数分布,那时将有25家店的概率为
()25
3025300.05.25!e P −==
8．M /G /1/GD /∞/∞排队系统
服务时间(S)不一定是指数分布.记21
(S), ()E D S σμ==.
这种系统一般不再是生灭过程. 确定此类系统的稳定分布很困难. 不过利用Pollaczek 和Khichin 的成果我们可以确定出
各种需要的指标: 记λρμ
=,有 222
2(1)
1
1q s s q s q q
q q s q L L W L L L L L W W W W W λσρρλλρ
μρ
λ
μ
+=−==×==+=+==+=+ 而且服务台空闲的概率01P ρ=−.
9.有限源模型: 机器维修模型
顾客来之于一个相对有限的总体. 所以顾客到达速率不是常数. 例如在机器维修问题中,系统包括K 台机器和R 名修理人员. 在任一时刻,某台机器处于良好或者出故障状态.机器处于良好状态的时间长度服从速率为λ的指数分布.每当机器出现故障,就会被送到R 名维修人员组成的维修中心.维修中心为出现故障的机器提供服务,就好像这些机器到达 M /M /R/GD /∞/∞排队系统中一样.
若故障机器数j 不超过R,,则出现故障就可以立刻修理;如果j>R, 则有j-R 台机器排成一对等待修理.假设维修人员修理完一台机器所需的时间服从参数(均值的倒数)为μ的指数分布.
我们用M /M /R/GD /K/K 表示这个排队模型.第一个K 表示系统中的顾客(机器)数不超过K;第二个K 表示到达者是从大小为K 的有限源中抽取的.这个模型可以看作是一个生灭过程:生:出故障;灭:修好.相应的速率如下: (),0,1,2,,,0,1,2,,.
,1,2,j j j .
,.
K j j K j j R R j R R K λλμμμμ=−=====++
定义λρμ
=,可解得 00, 0,1,,;
!, 1,2,,.!j j j K j j K j j R P C P j R j C P P j R R K R R
ρρ−====++ 当然要先利用求出P 01K
j j P ==∑0. 每单位时间的平均到达者数量为
00()(K K
j j j j j ).P K j P K L λλλλ====−=−∑∑ 其他量如下:
0, (),
, .()()K K
j q j j j R q q q L jP L j R P L L L L W W K L K λλλλ====−====−−∑∑L
例4. 警察局有5辆巡逻车.巡逻车平均每30天出现一次故障需要维修.警察局有两名维修工,每人修理一部汽车平均需要3天时间.出现故障时间和维修时间都服从指数分布.
(1).确定状态良好的警车数量;
(2).求需要修理的警车的平均出故障时间.
(3).求某位维修工空闲的概率.
注:LINGO 函数@PFS(K*λ/μ,R,K )将计算出L.
10.串行指数分布队列和开放式排队网络
10.1串行指数分布队列
如果
(1).到达时间间隔服从速率为λ的指数分布;
(2).各阶段服务台服务时间服从指数分布;
(3).各阶段有无限容量等待空间.
那么到达各阶段到达者的到达时间间隔服从速率为λ的指数分布.
利用M /M /S/GD /∞/∞模型的结果可知,当
(1,2,,j j s )j k λμ>=
时,各阶段都必须有足够的容量来处理速率为λ的到达流.当j j s λμ<时第j 个阶段可以看作是M /M /S j /GD /∞/∞系统.
例5.汽车排队系统
汽车制造完成之前要做的最后两件事情是安装发动机和轮胎.平均每小时到达54辆需要完成这两项工作的汽车.一名工人每小时平均可以安装60辆汽车的发动机. 安装完发动机后安装轮胎.轮台站有3名工人,每名工人一次处理一辆汽车,平均用时3分钟. 到达时间间隔和服务时间都服从指数分布.
(1).确定每一个工作站的平均队长;
(2).确定汽车等候服务所需的预期总时间.
解:
11221254/,1,60/.
3,20/.
,3.s s λμμλμλμ=====<<辆小时辆小时辆小时两个子队列都不会爆炸.
对每个阶段利用M /M /S j /GD /∞/∞模型求解即可: 对于第一个阶段,1540.9060
λρμ===,所以 2
()8.1()18.1()0.15()54
q q q L L W ρρ
λ==−===对于发动机辆对于发动机小时 对于第二个阶段, 22540.90, (3)0.8360
P j s λρμ===≥=,所以
0.830.90()7.47(10.907.47()0.138()54q q q L L W )λ
×==−===对于轮胎辆对于轮胎小时 所以汽车等候服务所需的预期总时间为0.15+0.138=0.288小时.
10.2开放式排队网络
对上面的模型加以推广, 假设顾客从排队系统外部以速率r j 到达j 站排队, 到达时间间隔服从指数分布.顾客一旦在i 站完成服务后以概率p i j 加入站j 的队伍,完成服务的概率为
11k
ij j p =−∑
用j λ表示顾客到达站j 的速率(包括从系统外部或其他站到达j 的所有到达者).可以通过求解如下线性方程组求出所有(1,2,,j )j k λ= :
1
(1,2,,k
j j ij i i r p j λλ==+=∑ )k ) 如果(1,2,,j j j s j k λμ<= ,那么站j 可以看作是到达速率为j λ、服务速率为j μ的M /M /S j /GD /∞/∞排队系统
，
可以求得每一站的顾客数分布和平均值. 在到达时间间隔和服务时间间隔都服从指数分布的情况下, 各站的顾客数还相互独立.
(1,2,,j = )k 这样的排队系统中的平均顾客数(即队长)L 就是各个站的队长总和;顾客在系统中停留的时间总和平均为
12k
L L W r r r λ==+++
10.3 数据通信网络的网络模型
考虑包含5个节点(A,B,C,D,E)的数据通信网络.被传输的每个数据包都包含800位,每秒钟必须在每对节点之间传输的数据包数量如下所示:
A B C D E
A 0 5 4 1 7
B 5 0 6 3 2
C 4 6 0 3 3
D 1 3 3 0 3
E 7 2 3 3 0
节点间并不总是直接传输数据. 节点间传输数据包所用路径如下表所示:
A B C D E
ABC ABD AE
A - AB
B BA - B
C B
D BDE
C CBA CB - C
D CDE
D DBA DB DC - DCE
E EA EDB EDC ECD-
连接两个节点的每条弧的容量以千位/秒度量. 例如容量为16000位/秒的弧可以“服务”1600/800=20个数据包/秒.下表给出了各条弧上承担的数据包总量和以千位/秒为单位的各条弧的容量:
Line Packets
per
second
Capacity Service Rate
W
(000)per
second
in Packets
per second
In seconds
AB1020250.066667
AE720250.055556
BC101518.750.114286
BD61012.50.153846
CD91012.50.285714
CE31012.50.105263
DE51012.50.133333
BA1020250.066667
EA720250.055556
CB101518.750.114286
DB61012.50.153846
DC91012.50.285714
EC31012.50.105263
ED51012.50.133333
我们感兴趣的是数据包的平均延迟时间. 此外,如果网络总容量有限,那么确定确定使数据包平均延迟时间最短的各条弧的容量很重要. 注意上表有对称性,例如AB和BA数据相同.
解决这个问题的办法是以M ／M ／1排队模型处理每一条弧,利用下式确定通过每条弧传输各个数据包所需要的平均时间:
1W μλ
=−
例如对于AB 弧,从A 到B,C,D 都用这条弧,每秒共有10个数据包进入,所以10λ=. 利用AB 弧的容量可知每秒传输20000位, 所以可以服务20000/800=25个数据包,即25μ=.所以AB 弧传输各个数据包所需要的平均时间为
()1
0.066672510
W ==−秒
上表中已经求出了各条弧的数据. 每个数据包的平均延迟用下式计算:
/λ×=∑
i i
所有弧
弧到达速率该弧所用平均时间W 平均延迟数据包到达者总数
其中到达者总数即为第一张表中数据总和. 由上式求得平均延迟时间为0.180416秒.
现在,在总容量不超过200000位/秒的条件下, 我们要确定各条弧的容量(注意只要确定AB,…,DE 的容量即可),使系统的平均延迟时间最短. 要确保每条弧服务速率μ超过到达速率λ,每条弧容量非负. 在这些条件下最小化平均延迟时间即可.
11. M /G /s/GD /s/∞排队系统(BCC)
有些排队系统,当到达者发现所有服务台都被占用时,会离开该系统,而不是排队等.例如打电话到某航空公司订票,听到忙音时,我们往往会打电话给另一家航空公司.再比如打火警电话,当没有消防车可用时,火势不会排队等消防车的到来,这可以理解成救火请求离开了系统.这样的系统简记为BCC.
对于M /G /s/GD /s/∞系统,队长和等待时间都是0.设平均服务时间为
1
μ
,到达速率为λ,那么
1
s W W μ
==
大多数情况下我们感兴趣的是到达者被拒绝的概率.仅当系统中有s 位顾客的时候,到达者才会被拒绝.所以到达者被拒绝的概率是P s .因此每单位时间里有s P λ位到达者将离开系统.而每单位时间平均有()s 1-P λ位到达者进入系统,因此
()1s s P L L λμ
−==
这样的排队系统, P s 只依赖于平均服务时间
1
μ
,和到达速率
λ.利用LINGO 函数@PEL(λ/μ, s )就可求出P s .
其他更为复杂的排队系统参考 Wayne L.Einston 著的《运筹学—概率模型应用范例与解法》一书第8章。