「精品」高考数学一轮复习第26课__三角函数的恒等变形与求值(2)-精品

____第26课__三角函数的恒等变形与求值(2)____

1. 掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角公式．

2. 能用公式进行化简、求值及证明.

1. 阅读：阅读必修4第102～122页．

2. 解悟：①两角和差余弦公式“同名相乘，符号相反”，两角和差正弦公式“异名相乘，符号相同”，两角和差正切公式“分子同，分母反”；②二倍角公式中“倍角”是相对的；③注意公式的“正用、逆用、变形使用”，牢记“角优先”，弄清已知角和所求角之间的联系；④辅助角公式．

3. 践习：在教材的空白处完成必修4第106页练习第4题、第109页练习第8题、第111页练习第1题、第117页练习第3题、第123页练习第2题.

基础诊断

1. 已知π2<α<π，sin α＝35，tan β＝1

2

，则tan (α－β)＝__－2__．

解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，所以cos α＝－45，tan α＝－3

4，则tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β

＝

－34－1

21＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫12＝－2.

2. 计算：1－tan 15°1＋tan 15°

＝3．

解析：因为tan 15°＝tan (45°－30°)＝1－

33

1＋1×33 ＝3－3

3＋3，所以原式＝

1－3－

3

3＋31＋3－

33＋

3

＝236＝33.

3. 已知tan θ＝2，则cos 2θ＝__－3

5

__．

解析：cos 2θ＝cos 2

θ－sin 2

θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4

＝－3

5.

4. 已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝5

13，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝26． 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝5

13，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π

6＝1－⎝⎛⎭⎫5132

＝12

13，

所以cos θ＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6

＝

32cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53＋12

26

. 范例导航

考向❶ 化简与求值问题

例1 (1) 化简：tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭

⎫π

6＋θ；

(2) 计算：sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°

cos 80°1－cos 20°

.

解析：(1) 原式＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋⎝⎛⎭⎫π6＋θ·⎣⎡⎦⎤1－tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan (π6－θ)tan (π6

＋θ)＝ 3. (2) 因为sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin 40°

cos 10°＝1，

cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，

所以原式＝1－cos 20°2sin 210°＝2sin 210°

2sin 210°

＝ 2.

(1) ＝3cos 10°.

(2) __－4__解析：原式＝sin 12°－3cos 12°2cos 24°sin 12°cos 12°＝2sin （12°－60°）

1

2sin 48°＝－4.

【备用题】 求值：(1) 2cos 10°－sin 20°

sin 70°

；

(2) 4cos 50°－tan 40°.

解析：(1) 原式＝2cos 10°－sin 20°cos 20°

＝2cos （30°－20°）－sin 20°

cos 20°

＝

3cos 20°＋sin 20°－sin 20°

cos 20°＝ 3.

(2) 原式＝4sin 40°－tan 40° ＝4sin 40°cos 40°－sin 40°

cos 40°

＝

2sin 80°－sin （30°＋10°）

cos 40°

＝2cos 10°－12cos 10°－32

sin 10°

cos 40°

＝

3cos （30°＋10°）

cos 40°

＝ 3.

考向❷ 给值求值，给值求角的问题

例2 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos (β－α)＝2

10.

(1) 求sin α的值；

(2) 求β的值．

解析：(1) 因为tan α2＝1

2

，

所以sin α＝2sin α2cos α

2＝2sin α2cos

α2sin 2α2＋cos 2α2

＝2tan α21＋tan 2α2 ＝2×

1

21＋⎝⎛⎭⎫122＝4

5. (2) 0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35.

又0<α<π

2<β<π，所以0<β－α<π.

由cos (β－α)＝

210，所以sin (β－α)＝7210

， 所以sin β＝sin [(β－α)＋α]＝7210×35＋210×45＝25250＝2

2

， 所以β＝3π

4

.

如果sin α＝

210，cos β＝31010，且α，β为锐角，那么α＋2β＝__π4

__. 解析：因为sin α＝

210，cos β＝31010，α，β为锐角，所以cos α＝7210，sin β＝1010，所以cos (α＋β)＝72

10

×31010－210×1010＝255.又因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，则sin (α＋β)＝

1－⎝⎛⎭⎫2552＝55

，故

cos (α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]＝

255×31010－55×1010＝22.又因为α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，所以α＋2β＝π

4

. 考向❸ 三角函数的综合运用

例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 均在单位圆上，已知点A 在第一象限，其横坐标为3

5

，点B 在第二象限，点C(1，0)．

(1) 设∠COA ＝θ，求sin 2θ；

(2) 若△AOB 为正三角形，求点B 的坐标． 解析：(1) 由题意得，cos θ＝35，则sin θ＝4

5，

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝24

25

.

(2) 因为△ABO 是正三角形，则∠BOC ＝∠AOC ＋60°＝θ＋60°， cos ∠BOC ＝cos (θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°＝3－4310，

sin ∠BOC ＝sin (θ＋60°)＝sin θcos 60°＋cos θsin 60°＝4＋33

10，

从而点B 的坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎫

3－4310，4＋3310

.