eviews-第02章经济时间序列的季节调整、分解和平滑
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22
图2.2 社会消费品零售总额的原序列(蓝线)和
季节调整后序列 (TCI 序列, 红线) 23
11
X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特 征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调 整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能 根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方 式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不 同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。 X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因 子的估算都进一步精化。正因为如此，X-11方法受到很高 的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机 构(IMF)等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。
2.1.3 加权移动平均
上面介绍的12个月中心化移动平均是二次移动平均，也 可以用一次移动平均(2.1.7)式表示，这种移动平均方法就叫 做加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用 的加权移动平均方法。
9
除了上述移动平均方法外，X-11季节调整法中还采 用亨德松(Henderson)的5, 9, 13和23项加权移动平均。选 择特殊的移动平均法是基于数列中存在的随机因子，随 机因子越大，求移动平均的项数应越多。
关于调整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA， 但也可以改变调整后的序列名，这将被存储在工作文件中。
需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X11只作用于含季节数据的序列，需要至少4整年的数据，最 多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。
21
图2.1 社会消费品零售总额的TCI 序列 (季节调整后序列)
点 t 上的2k+1项移动平均值 MAt 的一般表示为
MAt
1 2k
1
k i
k
yt
i
,
t k 1, k 2,...,T k
(2.1.1)
式中的k为正整数，此时移动平均后的序列{MA}的始端和末端
各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。
6
例如，常用的三项移动平均
1 1
10
§2.2 经济时间序列的季节调整方法
1. 季节调整方法的发展
1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的 移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上， 开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地 对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进， 每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法， X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的 计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。 X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来 选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方 法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季 节调整方法
① 利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环要素
H
TCt(3)
h(j2H 1)TCIt(2)j
jH
② 计算最终的不规则要素
(2.2.15)
I (3) t
TCI
( t
2)
TCt(3)
(2.2.16)
18
§2.2.4 季节调整相关操作 (EViews软件)
本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序 列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一 个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的 序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击 Proc按钮将显示菜单：
MAt 3 i1 yt i
两端补欠项：
MA1
1 3
2 y1
y2
t 2,,T 1
(2.1.2) (2.1.3)
MAT
1 3
2 yT
yT 1
1.1.2 中心化移动平均
(2.1.4)
考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12 个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移 动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为 该月的值。
Sˆt(1)
(SI
(1) t 24
2SI
(1) t 12
3SI
(1) t
2SI
(1) t 12
SI
(1) t 24
)
/
9
④ 消除季节因子中的残余趋势
(2.2.7)
St(1) Sˆt(1) (Sˆt(1)6 2Sˆt(1)5 2Sˆt(1)5 Sˆt(1)6 ) / 24
④ 计算最终的季节因子
St(2) Sˆt(2) (Sˆt(26) 2Sˆt(25) 2Sˆt(25) Sˆt(26) ) / 24 (2.2.13)
⑤ 季节调整的第二次估计结果
TCI
( t
2)
Yt
S (2) t
(2.2.14)
17
第三阶段 计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素
7
MA6.5 ( y1 y2 y12 ) / 12
MA7.5 ( y2 y3 y13 ) / 12
(2.1.5)
因为12是偶数，通过求平均值可以达到中心化，即中心化 移动平均值为
MA7
y1
y2 12
y12
y2
y3 12
15
第一阶段 季节调整的初始估计
① 通过中心化12项移动计算平均趋势循环要素的初始估计
TCt(1)
(
1 2
Yt
6
Yt5
Yt
Yt5
1 2
Yt
6
)
/
12
(2.2.5)
② 计算SI项的初始估计
SI
2.6)
③ 通过3×3移动平均计算季节因子S的初始估计
2
4991.50
单位：亿元
3871.49
2751.49
1631.48
511.47 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
4204.20 单位：亿元
3304.66
2405.12
1505.59
606.05 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形 3
二、季节调整的概念
季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响， 而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中 的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份 或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一 度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造 成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季 节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其 他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的 分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必 须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这 就是所谓的“季节调整” (Seasonal Adjustment)。
③ 对数加法模型： ln Yt ln TCt ln St ln It
④ 伪加法模型：
Yt TCt (St It 1)
(2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4)
14
3．X12季节调整方法的核心算法
设Yt 表示一个无奇异值的月度时间序列，通过预 测和回推来扩展序列使得在序列的尾端不需要对季节 调整公式进行修改。把Yt 分解为趋势循环项TCt 、季节 项St 和不规则要素It 。现以加法模型为例，介绍X12季 节调整方法的核心算法（为叙述简便而不考虑补欠项 的问题）。共分为三个阶段：
13
2．季节调整的模型选择
X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。 共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数 加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节 调整时，时间序列中不允许有零和负数。
① 加法模型 ② 乘法模型：
Yt TCt St It Yt TCt St It
12
美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方 法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功 能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：
(1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季 节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；
(2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能； (3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。
图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形
1.16
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11
1.06
1.06
0.96
1.00
0.86
0.95
0.76 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
0.89 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
SI
( t
2)
Yt
TCt(2)
(2.2.11)
③ 通过3×5项移动平均计算暂定的季节因子
Sˆt(2)
(SI
(2) t 36
2SI
(2) t 24
3SI
(2) t 12
3SI
( t
2)
3SI
(2) t 12
2SI
(2) t 24
SI
(2) t 36
)
/
15
(2.2.12)
y13
2
(2.1.6)
中心化移动平均的一般公式为
MAt
1 2
1 12
6
yt
i 5
i
1 12
5
yt
i 6
i
1 12
1 2
yt6
5
yt i
i 5
1 2
y
t
6
t 7,8,,T 6
(2.1.7)
8
需要指出的是由于采用12个月中心化移动平均后，序列 的两端各有6个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其 补齐。
长期趋势要素 (T ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素 (C ): 是以数年为周期的一种周期性变动。 季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4 个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和 政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是 固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周 期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。 不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动 无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、 意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误 差等。
第二章 经济时间序列的 季节调整、分解与平滑
本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方 法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解， 指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。
1
一、经济时间序列的分解
经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期 趋势要素T、循环要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。
⑤ 季节调整结果的初始估计
(2.2.8)
TCI
(1) t
Yt
S (1) t
(2.2.9)
16
第二阶段 计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子
① 利用Henderson移动平均公式计算暂定的趋势循环要素
H
TCt(2)
h
( j
2H
1)TCI
(1) t j
jH
(2.2.10)
② 计算暂定的SI项
19
一、 X11方法
X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法 模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋 势·循环·不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序 列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用 于序列值都为正的情形。
20
如果在季节调整对话框中选择X-11选项，调整后的序 列及因子序列会被自动存入EViews工作文件中，在过程的 结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。
4
§2.1 移动平均方法
移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简 单的，是算术平均的一种。它具有如下特性：
1. 周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周 期性变动基本得到消除;
2. 互相独立的不规则变动得到平滑。 这两条特性可以证明。
5
2.1.1 简单的移动平均公式
时间序列数据 y = {y1, y2, … , yT} ，T 为样本长度，在时
图2.2 社会消费品零售总额的原序列(蓝线)和
季节调整后序列 (TCI 序列, 红线) 23
11
X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特 征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调 整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能 根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方 式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不 同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。 X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因 子的估算都进一步精化。正因为如此，X-11方法受到很高 的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机 构(IMF)等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。
2.1.3 加权移动平均
上面介绍的12个月中心化移动平均是二次移动平均，也 可以用一次移动平均(2.1.7)式表示，这种移动平均方法就叫 做加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用 的加权移动平均方法。
9
除了上述移动平均方法外，X-11季节调整法中还采 用亨德松(Henderson)的5, 9, 13和23项加权移动平均。选 择特殊的移动平均法是基于数列中存在的随机因子，随 机因子越大，求移动平均的项数应越多。
关于调整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA， 但也可以改变调整后的序列名，这将被存储在工作文件中。
需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X11只作用于含季节数据的序列，需要至少4整年的数据，最 多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。
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图2.1 社会消费品零售总额的TCI 序列 (季节调整后序列)
点 t 上的2k+1项移动平均值 MAt 的一般表示为
MAt
1 2k
1
k i
k
yt
i
,
t k 1, k 2,...,T k
(2.1.1)
式中的k为正整数，此时移动平均后的序列{MA}的始端和末端
各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。
6
例如，常用的三项移动平均
1 1
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§2.2 经济时间序列的季节调整方法
1. 季节调整方法的发展
1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的 移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上， 开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地 对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进， 每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法， X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的 计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。 X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来 选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方 法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季 节调整方法
① 利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环要素
H
TCt(3)
h(j2H 1)TCIt(2)j
jH
② 计算最终的不规则要素
(2.2.15)
I (3) t
TCI
( t
2)
TCt(3)
(2.2.16)
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§2.2.4 季节调整相关操作 (EViews软件)
本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序 列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一 个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的 序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击 Proc按钮将显示菜单：
MAt 3 i1 yt i
两端补欠项：
MA1
1 3
2 y1
y2
t 2,,T 1
(2.1.2) (2.1.3)
MAT
1 3
2 yT
yT 1
1.1.2 中心化移动平均
(2.1.4)
考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12 个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移 动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为 该月的值。
Sˆt(1)
(SI
(1) t 24
2SI
(1) t 12
3SI
(1) t
2SI
(1) t 12
SI
(1) t 24
)
/
9
④ 消除季节因子中的残余趋势
(2.2.7)
St(1) Sˆt(1) (Sˆt(1)6 2Sˆt(1)5 2Sˆt(1)5 Sˆt(1)6 ) / 24
④ 计算最终的季节因子
St(2) Sˆt(2) (Sˆt(26) 2Sˆt(25) 2Sˆt(25) Sˆt(26) ) / 24 (2.2.13)
⑤ 季节调整的第二次估计结果
TCI
( t
2)
Yt
S (2) t
(2.2.14)
17
第三阶段 计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素
7
MA6.5 ( y1 y2 y12 ) / 12
MA7.5 ( y2 y3 y13 ) / 12
(2.1.5)
因为12是偶数，通过求平均值可以达到中心化，即中心化 移动平均值为
MA7
y1
y2 12
y12
y2
y3 12
15
第一阶段 季节调整的初始估计
① 通过中心化12项移动计算平均趋势循环要素的初始估计
TCt(1)
(
1 2
Yt
6
Yt5
Yt
Yt5
1 2
Yt
6
)
/
12
(2.2.5)
② 计算SI项的初始估计
SI
2.6)
③ 通过3×3移动平均计算季节因子S的初始估计
2
4991.50
单位：亿元
3871.49
2751.49
1631.48
511.47 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
4204.20 单位：亿元
3304.66
2405.12
1505.59
606.05 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形 3
二、季节调整的概念
季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响， 而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中 的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份 或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一 度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造 成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季 节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其 他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的 分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必 须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这 就是所谓的“季节调整” (Seasonal Adjustment)。
③ 对数加法模型： ln Yt ln TCt ln St ln It
④ 伪加法模型：
Yt TCt (St It 1)
(2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4)
14
3．X12季节调整方法的核心算法
设Yt 表示一个无奇异值的月度时间序列，通过预 测和回推来扩展序列使得在序列的尾端不需要对季节 调整公式进行修改。把Yt 分解为趋势循环项TCt 、季节 项St 和不规则要素It 。现以加法模型为例，介绍X12季 节调整方法的核心算法（为叙述简便而不考虑补欠项 的问题）。共分为三个阶段：
13
2．季节调整的模型选择
X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。 共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数 加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节 调整时，时间序列中不允许有零和负数。
① 加法模型 ② 乘法模型：
Yt TCt St It Yt TCt St It
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美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方 法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功 能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：
(1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季 节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；
(2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能； (3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。
图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形
1.16
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11
1.06
1.06
0.96
1.00
0.86
0.95
0.76 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
0.89 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
SI
( t
2)
Yt
TCt(2)
(2.2.11)
③ 通过3×5项移动平均计算暂定的季节因子
Sˆt(2)
(SI
(2) t 36
2SI
(2) t 24
3SI
(2) t 12
3SI
( t
2)
3SI
(2) t 12
2SI
(2) t 24
SI
(2) t 36
)
/
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(2.2.12)
y13
2
(2.1.6)
中心化移动平均的一般公式为
MAt
1 2
1 12
6
yt
i 5
i
1 12
5
yt
i 6
i
1 12
1 2
yt6
5
yt i
i 5
1 2
y
t
6
t 7,8,,T 6
(2.1.7)
8
需要指出的是由于采用12个月中心化移动平均后，序列 的两端各有6个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其 补齐。
长期趋势要素 (T ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素 (C ): 是以数年为周期的一种周期性变动。 季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4 个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和 政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是 固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周 期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。 不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动 无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、 意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误 差等。
第二章 经济时间序列的 季节调整、分解与平滑
本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方 法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解， 指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。
1
一、经济时间序列的分解
经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期 趋势要素T、循环要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。
⑤ 季节调整结果的初始估计
(2.2.8)
TCI
(1) t
Yt
S (1) t
(2.2.9)
16
第二阶段 计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子
① 利用Henderson移动平均公式计算暂定的趋势循环要素
H
TCt(2)
h
( j
2H
1)TCI
(1) t j
jH
(2.2.10)
② 计算暂定的SI项
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一、 X11方法
X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法 模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋 势·循环·不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序 列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用 于序列值都为正的情形。
20
如果在季节调整对话框中选择X-11选项，调整后的序 列及因子序列会被自动存入EViews工作文件中，在过程的 结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。
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§2.1 移动平均方法
移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简 单的，是算术平均的一种。它具有如下特性：
1. 周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周 期性变动基本得到消除;
2. 互相独立的不规则变动得到平滑。 这两条特性可以证明。
5
2.1.1 简单的移动平均公式
时间序列数据 y = {y1, y2, … , yT} ，T 为样本长度，在时