3数量积与向量积

例 已知三角形的顶点 A(1,−1,2), B(5,−6,2),
C (1,3,−1), 计算从顶点 到边 的高的长度 计算从顶点B到边 的高的长度BD. 到边AC的高的长度
解 AC = (0,4,−3)
AB = (4,−5,0)
B
三角形ABC的面积为 的面积为 三角形
1 S = | AC × AB | 2
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数量积 向量积
3. 向量积的坐标表示
r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k r r r r r r r r a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k ) r r r r r r r 分 Q i ×i = j × j = k ×k = 0 配 r r r r r r r r r 律 Q i×j=k j ×k = i k ×i = j r r r r r r r r r j × i = −k k × j = −i i × k = − j r r r = (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k
表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
4. 两向量的夹角 (数量积在几何中的应用 数量积在几何中的应用) 数量积在几何中的应用
r r a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
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数量积 向量积
r r 例 已知a = (1,1,−4), b = (1,−2,2), 求 r r r r r r (1) a ⋅ b ; ( 2) a与b 的夹角; ( 3) a在b 上的投影 .
(4) a ⋅ a =| a |2 . 此外, a ⋅ a = 0 ⇔ a = 0
记 a ⋅ a为 a .
2
6
数量积 向量积
向量的数量积是否满足消去律？ 向量的数量积是否满足消去律？ 向量的数量积不满足消去律, 即在一般情况下, 注 向量的数量积不满足消去律 即在一般情况下 r r r r r r r r 事实上, a ⋅ b = a ⋅ c , a ≠ 0 ⇒ b = c . 事实上 r r r r r r r r r r a ⋅ b = a ⋅ c ,是说 a ⋅ (b − c ) = 0. 即b − c 与a垂直 ,
r r 解 (1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 2 = −9.
( 2) cosθ =
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 3π , =− . ∴θ = 2 4 r r ⋅ r r r r r ∴ Pr j r a = a rb = −3. r ( 3) a ⋅ b =| b | Pr jb a b
A
D
C
25 1 2 2 2 15 + 12 + 16 = = 2 2
2 2
1 | AC | = 4 + ( −3) = 5 S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 = ⋅ 5⋅ | BD | ∴| BD |= 5 2 2
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数量积 向量积
四、小结
向量积的坐标表
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数量积 向量积
r r r r | a × b |= | a || b | sin θ
向量积还可用 三阶行列式表示
r r a × b = ax bx
r i
r r r r r a //b ⇐⇒ a × b = 0 r r j k r a y az = 0 b y bz
r r ⇐⇒ a x a y a z = = 由上式可推出 a // b bx b y bz bx , b y , bz 不能同时为零 但允许两个为零 不能同时为零, 但允许两个为零. a x a y az ⇒ a x = 0, a y = 0 = = 例 0 0 bz r r r r r | a × b | 表示以a和b r
为邻边的平行四边形的面积. 为邻边的平行四边形的面积 向量积的几何意义
b
θ
| b | sinθ
r a
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数量积 向量积
r r r r r r r r 例 求与 a = 3i − 2 j + 4k , b = i + j − 2k
都垂直的单位向量. 都垂直的单位向量 解
r r r c = a × b = ax bx
启示 两向量作这样的运算 结果是一个 数量. 两向量作这样的运算, 数量.
r r r r 定义 向量 a与b 的 数量积 为a ⋅ b r r r r r r a与b 的夹角 a ⋅ b =| a || b | cosθ
2
数量积 向量积
r b
r a r r r r r | a | cosθ = Pr jb a r Q | b | cosθ = Pr ja b r r r r r r r r ∴ a ⋅ b = | b | Pr jb a = | a | Pr ja b
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数量积 向量积
二、两向量的向量积
1. 定义 r r r r r 定义 向量 a与b 的 向量积 为c = a × b r r r r r 大小 | c |=| a || b | sinθ a与b 的夹角 r r r 方向 c 的方向既垂直于 a , 又垂直于 b , 指向符合右手系. 指向符合右手系 向量积也称为“叉积” “外积 向量积也称为“叉积”、 外积”. 外积” 关于向量积的说明： 关于向量积的说明：
结论： 结论：两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 两向量的数量积的几何意义 两向量的数量积的几何意义) 乘积 (两向量的数量积的几何意义
θ
r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ
3
数量积 向量积
r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ
律
r r r Q| i |=| j |=| k |= 1
r r r r r r ∴i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1
r r a ⋅ b = axbx + ayby + azbz
数量积 坐标表 式
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数量积 向量积
r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cosθ = r r | a || b | axbx + ayby + azbz 两向量夹角 cosθ = 2 2 2 2 2 2 余弦的坐标 ax + ay + az bx + by + bz
2. 向量积符合下列运算规律 r r r r (1) 反交换律 a × b = − b × a;
r r r r r r r (2) 分配律 ( a + b ) × c = a × c + b × c ; r r r r r r (3) 若λ 为数 (λa ) × b = a × ( λb ) = λ (a × b ).
r i
r j ay by
r k
r i
r j
r k
r r = 10 j + 5k
az = 3 − 2 4 bz 1 1 − 2
r Q | c |= 10 2 + 5 2 = 5 5 r c 2 r 1 r 0 ∴ c = ± r = ± j+ k |c | 5 5
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数量积 向量积
数量积也称为“点积”、“内积”. 点积” 内积 点积 内积” 注 对非零向量 a、, 有： b (1) θ为锐角 ⇔ a ⋅ b > 0; (2) θ为钝角 ⇔ a ⋅ b < 0. 关于数量积的说明：
r r r 2 (1) a ⋅ a =| a | .
证 Qθ = 0,
r r r r r 2 ∴ a ⋅ a = | a || a | cos θ = | a | .
未必b − c = 0.
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数量积 向量积
r r r r π r r r 例 若 | a |= 5, | b |= 2, ( a , b ) = , 求u = 2a − 3b 的模 . 3 r r r 注: | u |≠ 2 | a | −3 | b | .
r r r 2 r r r 2 r 分配律 解 | u | =| 2a − 3b | = ( 2a − 3b ) ⋅ ( 2a − 3b ) 分配律 r r r r r r r r = 2a ⋅ 2a − 2a ⋅ 3b − 3b ⋅ 2a + 3b ⋅ 3b r 2 r 2 r r = 4 | a | −12a ⋅ b + 9 | b | π r r 2 2 = 4 × 5 − 12 | a || b | cos + 9 × 2 = 76 3 r ∴| u |= 76
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数量积 向量积
2. 数量积符合下列运算规律 r r r r （1）交换律： a ⋅ b = b ⋅ a (可用定义证 ）交换律： 可用定义证) 可用定义证
r r r r r r r （2）分配律： ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ）分配律： r r r r r r a) （3）结合律： ( λa ) ⋅ b = a ⋅ ( λb ) = λ ( a ⋅ b ) ）结合律：
r r r (1) a × a = 0 (Qθ = 0 ⇒ sinθ = 0) r r r r r r r r r ( 2) a // b ⇐⇒ a × b = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)