材力第2章：轴向拉伸与压缩
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轴向拉伸与压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
如左图示斜拉桥承受拉力的钢缆
受力特征：
外力合力的作用线与杆件的轴线重合。
变形特征：轴向伸长或缩短。
当杆件两端承受沿轴线方向 的拉力或压力载荷时，杆件将产 生轴向伸长或压缩变形。
1、受力特点：外力或 其合力的作用线沿杆轴
F
F
2、变形特点：主要 变形为轴向伸长或缩短 3、轴向荷载（外力）： 作用线沿杆件轴线的荷载
3
100 10 2 2 2.110 10
5 6
4
25 10
2
-6
cos 30
0
= 1.3mm
§2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性质 —— 指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。
塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢 脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料。
杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
图示方形截面砖柱分上、下两段，上段截面边长为240 mm、下段截面边 例题 长为370 mm。已知 F = 50 kN。试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面 上的最大工作应力 (不考虑砖砌体的自重)。
F 50KN
3000
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
1 =
B
α α
FN1
α α
FN2
FN 2 cos + FN 1 cos - F = 0
FN 2 = FN 1 = F 2 cos Fl
A
A
F
l1 = l2 =
l2
FN 2l EA
=
=
2 EA cos
Fl
A = AA =
A l 1
=
A
l2 cos
2EA cos
2
1、强度性质
根据应力应变图，σ与ε之间的关系可分下列四个阶段 ⑴ 弹性阶段: o a’ O a为直线段；aa 为微弯曲线段。 oA为直线段： = E
d
p
— 比例极限； — 弹性极限。
b
e
e
E=
= tan
e P
a' ab
c
s
⑵ 屈服阶段: a’ c 失去抵抗变形的能力
1 30
60kN
2 20 40kN
3 35 30kN 50kN
FN1 = 0 F N 2 = 60 kN F N 3 = 50 kN
1
2
60
3 50 20
2 = 3 =
1 =
FN1 A1 FN 2 A2 FN 3 A3
=0 60 10 4
3
F N图
kN
+
=
( 20 10
1
9kN
2
3kN
3
4 kN
1 2 3
2kN
4 kN
FN Ⅰ
FN Ⅲ
2kN
FN 1 = 4kN
9kN
4 kN
FN 3 = -2kN
FNⅡ
FN 2 = -5kN
4kN
2kN 5kN
§2-3 横截面上的应力 1、实验： 变形前 受力后 F F
2、变形规律： 横向线 —— 仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线 —— 仍为平行的直线，且间距减小。 3、平面假设：
= FN A ,
=
l l
=
E
又称为单轴应力状态下的胡克定律，不仅适用于轴向拉(压)杆，可以更普遍 地用于所有的单轴应力状态。
= E 表明在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
例题 试求图示杆 AC 的轴向变形△ l 。
FN 1
B
F1
F2
C
FN 2
C
F2
分段求解:
正号表示： ①与原假设方向相同 ②即为材料力学规定的正号内 力（拉力）
负号表示： ①与原假设方向相反 ②即为材料力学规定的负号内 力（压力）
3、轴力图 轴力与截面位臵关系的图线称为轴力图. （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。 （2）轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。 标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。 轴力图的意义： ① 直观反映轴力与截面位臵变化关系；
dFN = dA
FN =
A
dA = dA = A
A
=
FN — 轴力 A — 横截面面积
6、正应力的符号规定 —— 同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。
压应力为负值，方向指向所在截面。
7、公式的使用条件
圣维南 ( Saint-Venant ) 原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与
F
F
F
F
拉杆
压杆
§2-2 轴力及轴力图 1.内力的概念
构件因反抗外力引起的变形，而在其内部各质点间引起的相 互之间的作用力，称为内力。 显然，外力越大，变形越大，因而内力也越大，但内力不可 能无止境地随外力的增大而增大，总有个限度，一旦超过了 这个限度，材料将发生破坏。因此，材料力学中，首先研究 内力的计算，然后研究内力的限度，最后进行强度计算。
则 A = A cos
斜截面面积记作A ， 设横截面面积为A
p＝ N A = P A cos = cos
将p正交分解
＝ p cos = cos =
2
2
p
+
2
cos 2 sin 2
＝ p sin = cos sin =
材料的力学性质可通过实验得到——常温静载下的拉伸压缩试验
(一) 低碳钢拉伸时的力学性质
国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)
拉伸标准试样
l = 10d
或
l = 5d
d
压缩试件 — 很短的圆柱型 h = (1.5 ～ 3.0) d
h
试验装置：万能试验机
拉伸试验与拉伸图 ( F –Δl 曲线 )
变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作 相对平移。
4、应力的分布规律
内力沿横截面均匀分布
F
FN
5、横截面上正应力的计算公式：
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。 与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。
静力关系：
= lim
FN A
A0
=
dFN dA
② 确定出最大轴力的数值及其所在位臵，即确定危险截面位
臵，为强度计算提供依据。
例 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN 150kN
II
100kN
I
50kN
I II FN2
FN1
FN1=50kN
I 50kN
II
100kN II
FN
+
FN2= -100kN
100kN
| FN |max=100kN
l = l1 - l
=
l l
纵向线应变(无量纲)
2、横向变形
杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同
时产生变形，称为横向变形。
绝对变形（横向）： △d = d1－d 横向线应变(无量纲)
1 =
d d
d1 d
实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向线应变 与横向线应变1 之
3
-3
)
2
= 191 MPa
=
50 10 4
( 35 10
-3
)
2
= 52 MPa
§2-4 斜截面上的应力
K P
K
(a)
P
横截面是特殊的截面，任意斜截面以 与横截面的夹角来表示。
截面法
k
由平衡方程 P
N=P 均匀材料，均匀变形，故p均布
p N
k
p = N A
FN1 = F2 - F1
FN2 = F2
= ( F2 - F1 )l1 EA + F2 l 2 EA
l =
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
l =
F2 (l1 + l2 ) EA
-
F1l1 EA
例题 图示的杆系是由两根直径 d = 25mm 钢杆铰接而成，杆长l ＝2m ，材
料弹性模量 E＝2.1×105MPa，设α＝300，在结点A处悬挂一重物F＝ 100 kN，试求结点A的位移ΔA。 Fx = 0 C FN 2 sin - FN 1 sin = 0 ① ② Fy = 0
= 4 10
3
N BC A BC
BC
6 = 12 . 7 10 N -6
20 10
2
m
2
AB
=
N AB A AB
=
4 3 - 3 . 46 10
540 10
-6
6 = - 6 . 4 10 N
m
2
= - 6 . 4 MPa ( 压 )
例 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1、 = 0 :
0
max =
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
2、 = 45 :
0
max =
min
1
= -45 :
0
2 1 =- 2
轴向拉压杆件的 最大切 应力发生在与杆轴线成
450截面上。
0
45
F
-45
- 45
0
45
0
0
(切应力互等定理)
ห้องสมุดไป่ตู้
3、 = 90 :
间存在下列关系：
1 =
μ 称为泊松比（横向变形系数），为无量纲量。
1 = -
3、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明：在材料的线弹性范围内，△l 与外力F 和杆长l 成正比，与横截面面积A 成反比。
l F l A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有 F l --- 胡克定律 l = N EA 式中：E 称为弹性模量，由实验测定，其量纲为ML-1T--2，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩) 刚度。 胡克定律的另一表形式：
o
⑶ 强化阶段：c d 恢复抵抗变形的能力 σb — 强度极限
拉伸过程中最高 的应力值。
s — 屈服极限
屈服段内最低的 应力值。
⑷、局部变形阶段：d e 在此阶段内试件的某一横截面 发生明显的变形，至到试件断裂。
缩颈与断裂
e P
d
b
e
c
a' a b
s
o
2、变形性质
⑴ 塑性变形（残余变形） 试件断裂之后保留下来的塑性变形。 延伸率： =
同一位臵处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
截面法：
切：在需求内力的截面处，假想用一平面将 构件截分为两部分。
抛：保留一段，弃去另一段。
代：以内力代替弃去部分对保留部分的作用。 平：对保留部分建立平衡方程，从而确立内
力的大小和指向。
内力符号的双重含义
假设某截面轴力为拉力，则计算出来的内 力符号具备双重含义：
= - 1 . 1 10
Pa = - 1 . 1 M Pa (压应力)
2
1
∴ 最大工作应力为 σmax= σ2 = -1.1 MPa (压应力）
若考虑砖砌体的自重，轴力图有什么变化?
例 图(a)所示构架的BC杆为直径d=20mm的钢杆，AB杆的横截
面积为540mm2，已知P=2kN, 试求AB杆和BC杆横截面上的应力。
FN1 A1 = - 50 10 N
3
( 0 . 24 m ) ( 0 . 24 m )
F
F
6 = - 0 . 87 10 Pa = - 0 . 87 M Pa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
4000
150KN
2
=
FN 2 A2
=
- 150 10
3
N
0 . 37
6
m 0 . 37 m
l1 l 100%
截面收缩率：Ψ＝
A - A1 A
100%
Δl1 ---- 试验段残余变形 （Δl1 = l1－ l） δ≥5％ — 塑性材料，如结构钢与硬铝等
2、截面法、轴力
F
截面法
II
F
I
F
I
FN
x SFX=0：+FN-F=0 FN=F
① 切 取
② 代 替
③ 平 衡
单位：
SFX=0：-FN’+F=0 FN’
FN’=F
II
F
x
N(牛顿)或 kN(千牛)
轴力的正负号规则： 拉伸 — 拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩 — 压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
C
A 30
y NBC
B P
NAB
30 (b)
B
x
N A B = - 3 .4 6 kN ( 压 ) N B C = 4 kN ( 拉 )
= 12 . 7 MPa ( 拉 )
(a)
解： X = 0
P
- N A B - N B C co s 3 0 = 0
Y =0
=
N B C sin 3 0 - P = 0
2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横截面上只有正应 力；斜截面上则既有正应力又有切应力。 所以： ① 只要知道拉（压）杆横截面上的正应力和截面的方位角， 就可求出该截面上的正应力和剪应力。
② 不同方向的斜截面上的正应力和剪应力一般不相同。
讨论： = cos
2
=
1 2
sin 2
0
90 = 0
0
90 = 0
0
在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。
• 作业： P41 • •
2-1（2）（3） 2-3 2-6
§2-5 拉、压杆的变形
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短 —— 纵向变形
横向尺寸也相应地发生改变 —— 横向变形
1、纵向变形
设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向荷载后，其长度 变为 l 1 = l十 l ，其中 l 为杆的伸长量。 绝对变形（纵向）： 当杆沿长度均匀变形时
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
如左图示斜拉桥承受拉力的钢缆
受力特征：
外力合力的作用线与杆件的轴线重合。
变形特征：轴向伸长或缩短。
当杆件两端承受沿轴线方向 的拉力或压力载荷时，杆件将产 生轴向伸长或压缩变形。
1、受力特点：外力或 其合力的作用线沿杆轴
F
F
2、变形特点：主要 变形为轴向伸长或缩短 3、轴向荷载（外力）： 作用线沿杆件轴线的荷载
3
100 10 2 2 2.110 10
5 6
4
25 10
2
-6
cos 30
0
= 1.3mm
§2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性质 —— 指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。
塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢 脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料。
杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
图示方形截面砖柱分上、下两段，上段截面边长为240 mm、下段截面边 例题 长为370 mm。已知 F = 50 kN。试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面 上的最大工作应力 (不考虑砖砌体的自重)。
F 50KN
3000
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
1 =
B
α α
FN1
α α
FN2
FN 2 cos + FN 1 cos - F = 0
FN 2 = FN 1 = F 2 cos Fl
A
A
F
l1 = l2 =
l2
FN 2l EA
=
=
2 EA cos
Fl
A = AA =
A l 1
=
A
l2 cos
2EA cos
2
1、强度性质
根据应力应变图，σ与ε之间的关系可分下列四个阶段 ⑴ 弹性阶段: o a’ O a为直线段；aa 为微弯曲线段。 oA为直线段： = E
d
p
— 比例极限； — 弹性极限。
b
e
e
E=
= tan
e P
a' ab
c
s
⑵ 屈服阶段: a’ c 失去抵抗变形的能力
1 30
60kN
2 20 40kN
3 35 30kN 50kN
FN1 = 0 F N 2 = 60 kN F N 3 = 50 kN
1
2
60
3 50 20
2 = 3 =
1 =
FN1 A1 FN 2 A2 FN 3 A3
=0 60 10 4
3
F N图
kN
+
=
( 20 10
1
9kN
2
3kN
3
4 kN
1 2 3
2kN
4 kN
FN Ⅰ
FN Ⅲ
2kN
FN 1 = 4kN
9kN
4 kN
FN 3 = -2kN
FNⅡ
FN 2 = -5kN
4kN
2kN 5kN
§2-3 横截面上的应力 1、实验： 变形前 受力后 F F
2、变形规律： 横向线 —— 仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线 —— 仍为平行的直线，且间距减小。 3、平面假设：
= FN A ,
=
l l
=
E
又称为单轴应力状态下的胡克定律，不仅适用于轴向拉(压)杆，可以更普遍 地用于所有的单轴应力状态。
= E 表明在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
例题 试求图示杆 AC 的轴向变形△ l 。
FN 1
B
F1
F2
C
FN 2
C
F2
分段求解:
正号表示： ①与原假设方向相同 ②即为材料力学规定的正号内 力（拉力）
负号表示： ①与原假设方向相反 ②即为材料力学规定的负号内 力（压力）
3、轴力图 轴力与截面位臵关系的图线称为轴力图. （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。 （2）轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。 标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。 轴力图的意义： ① 直观反映轴力与截面位臵变化关系；
dFN = dA
FN =
A
dA = dA = A
A
=
FN — 轴力 A — 横截面面积
6、正应力的符号规定 —— 同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。
压应力为负值，方向指向所在截面。
7、公式的使用条件
圣维南 ( Saint-Venant ) 原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与
F
F
F
F
拉杆
压杆
§2-2 轴力及轴力图 1.内力的概念
构件因反抗外力引起的变形，而在其内部各质点间引起的相 互之间的作用力，称为内力。 显然，外力越大，变形越大，因而内力也越大，但内力不可 能无止境地随外力的增大而增大，总有个限度，一旦超过了 这个限度，材料将发生破坏。因此，材料力学中，首先研究 内力的计算，然后研究内力的限度，最后进行强度计算。
则 A = A cos
斜截面面积记作A ， 设横截面面积为A
p＝ N A = P A cos = cos
将p正交分解
＝ p cos = cos =
2
2
p
+
2
cos 2 sin 2
＝ p sin = cos sin =
材料的力学性质可通过实验得到——常温静载下的拉伸压缩试验
(一) 低碳钢拉伸时的力学性质
国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)
拉伸标准试样
l = 10d
或
l = 5d
d
压缩试件 — 很短的圆柱型 h = (1.5 ～ 3.0) d
h
试验装置：万能试验机
拉伸试验与拉伸图 ( F –Δl 曲线 )
变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作 相对平移。
4、应力的分布规律
内力沿横截面均匀分布
F
FN
5、横截面上正应力的计算公式：
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。 与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。
静力关系：
= lim
FN A
A0
=
dFN dA
② 确定出最大轴力的数值及其所在位臵，即确定危险截面位
臵，为强度计算提供依据。
例 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN 150kN
II
100kN
I
50kN
I II FN2
FN1
FN1=50kN
I 50kN
II
100kN II
FN
+
FN2= -100kN
100kN
| FN |max=100kN
l = l1 - l
=
l l
纵向线应变(无量纲)
2、横向变形
杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同
时产生变形，称为横向变形。
绝对变形（横向）： △d = d1－d 横向线应变(无量纲)
1 =
d d
d1 d
实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向线应变 与横向线应变1 之
3
-3
)
2
= 191 MPa
=
50 10 4
( 35 10
-3
)
2
= 52 MPa
§2-4 斜截面上的应力
K P
K
(a)
P
横截面是特殊的截面，任意斜截面以 与横截面的夹角来表示。
截面法
k
由平衡方程 P
N=P 均匀材料，均匀变形，故p均布
p N
k
p = N A
FN1 = F2 - F1
FN2 = F2
= ( F2 - F1 )l1 EA + F2 l 2 EA
l =
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
l =
F2 (l1 + l2 ) EA
-
F1l1 EA
例题 图示的杆系是由两根直径 d = 25mm 钢杆铰接而成，杆长l ＝2m ，材
料弹性模量 E＝2.1×105MPa，设α＝300，在结点A处悬挂一重物F＝ 100 kN，试求结点A的位移ΔA。 Fx = 0 C FN 2 sin - FN 1 sin = 0 ① ② Fy = 0
= 4 10
3
N BC A BC
BC
6 = 12 . 7 10 N -6
20 10
2
m
2
AB
=
N AB A AB
=
4 3 - 3 . 46 10
540 10
-6
6 = - 6 . 4 10 N
m
2
= - 6 . 4 MPa ( 压 )
例 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1、 = 0 :
0
max =
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
2、 = 45 :
0
max =
min
1
= -45 :
0
2 1 =- 2
轴向拉压杆件的 最大切 应力发生在与杆轴线成
450截面上。
0
45
F
-45
- 45
0
45
0
0
(切应力互等定理)
ห้องสมุดไป่ตู้
3、 = 90 :
间存在下列关系：
1 =
μ 称为泊松比（横向变形系数），为无量纲量。
1 = -
3、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明：在材料的线弹性范围内，△l 与外力F 和杆长l 成正比，与横截面面积A 成反比。
l F l A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有 F l --- 胡克定律 l = N EA 式中：E 称为弹性模量，由实验测定，其量纲为ML-1T--2，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩) 刚度。 胡克定律的另一表形式：
o
⑶ 强化阶段：c d 恢复抵抗变形的能力 σb — 强度极限
拉伸过程中最高 的应力值。
s — 屈服极限
屈服段内最低的 应力值。
⑷、局部变形阶段：d e 在此阶段内试件的某一横截面 发生明显的变形，至到试件断裂。
缩颈与断裂
e P
d
b
e
c
a' a b
s
o
2、变形性质
⑴ 塑性变形（残余变形） 试件断裂之后保留下来的塑性变形。 延伸率： =
同一位臵处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
截面法：
切：在需求内力的截面处，假想用一平面将 构件截分为两部分。
抛：保留一段，弃去另一段。
代：以内力代替弃去部分对保留部分的作用。 平：对保留部分建立平衡方程，从而确立内
力的大小和指向。
内力符号的双重含义
假设某截面轴力为拉力，则计算出来的内 力符号具备双重含义：
= - 1 . 1 10
Pa = - 1 . 1 M Pa (压应力)
2
1
∴ 最大工作应力为 σmax= σ2 = -1.1 MPa (压应力）
若考虑砖砌体的自重，轴力图有什么变化?
例 图(a)所示构架的BC杆为直径d=20mm的钢杆，AB杆的横截
面积为540mm2，已知P=2kN, 试求AB杆和BC杆横截面上的应力。
FN1 A1 = - 50 10 N
3
( 0 . 24 m ) ( 0 . 24 m )
F
F
6 = - 0 . 87 10 Pa = - 0 . 87 M Pa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
4000
150KN
2
=
FN 2 A2
=
- 150 10
3
N
0 . 37
6
m 0 . 37 m
l1 l 100%
截面收缩率：Ψ＝
A - A1 A
100%
Δl1 ---- 试验段残余变形 （Δl1 = l1－ l） δ≥5％ — 塑性材料，如结构钢与硬铝等
2、截面法、轴力
F
截面法
II
F
I
F
I
FN
x SFX=0：+FN-F=0 FN=F
① 切 取
② 代 替
③ 平 衡
单位：
SFX=0：-FN’+F=0 FN’
FN’=F
II
F
x
N(牛顿)或 kN(千牛)
轴力的正负号规则： 拉伸 — 拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩 — 压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
C
A 30
y NBC
B P
NAB
30 (b)
B
x
N A B = - 3 .4 6 kN ( 压 ) N B C = 4 kN ( 拉 )
= 12 . 7 MPa ( 拉 )
(a)
解： X = 0
P
- N A B - N B C co s 3 0 = 0
Y =0
=
N B C sin 3 0 - P = 0
2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横截面上只有正应 力；斜截面上则既有正应力又有切应力。 所以： ① 只要知道拉（压）杆横截面上的正应力和截面的方位角， 就可求出该截面上的正应力和剪应力。
② 不同方向的斜截面上的正应力和剪应力一般不相同。
讨论： = cos
2
=
1 2
sin 2
0
90 = 0
0
90 = 0
0
在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。
• 作业： P41 • •
2-1（2）（3） 2-3 2-6
§2-5 拉、压杆的变形
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短 —— 纵向变形
横向尺寸也相应地发生改变 —— 横向变形
1、纵向变形
设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向荷载后，其长度 变为 l 1 = l十 l ，其中 l 为杆的伸长量。 绝对变形（纵向）： 当杆沿长度均匀变形时