第二章弹性力学的基本方程

z
dz)dxdy
zxdxdy

Fx dxdydz

0
x
x

yx
y

zx
z
Fx
0
xy
x
y
y
zy
z
Fy
0
xz
x
yz
y
z
z
Fz
0
又称纳维叶(Navier)方程。
3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。

y
v
dy
y

xy


2

BPA


2

bpa
xy
yx
v
v
yx

tg yx

aa pa

dx x dx u dx
x 1 u

v x
x
x
u
u
dy
xy

tg xy

bb pb

y dy v
yz

1
E
yz
zx
1
E
zx
xy

1
E
xy
于是 x 2 x , yz 2 yz
y 2 y , zx 2 zx
z 2 z , xy 2 xy
式中
E
中称为拉梅常数
dy
y 1 v

u y
y
y
在小变形条件下
u x
x
1,
v y
y
1,
xy

u y

v x
同例分析平面yoz和平面zox可得：
x

u x
,

yz

w y

v
z

y

v y
,

zx

u z

w
x

z

§2-1 载荷 应力
1.外力的表示 外力：直接施加在物体上引起物体的变 形与内力 ． 根据外力作用区域分为体积力和表面力
体积力：
分布在物体的体积内，作用在物体内的 所有质点上，例如重力、惯性力、电磁 力等。
体力矢量表示为：
F lim F dF
V 0 V dV
表面力： 作用在物体表面上的外力，简称面力。 例如，液体或气体的压力，固体间的接 触力等，通常用面力矢量
t 2
这里为材料密度，t为时间。
运动微分方程：
x
x

yx
y

zx
z
Fx

2u
t 2

xy
x

y
y
zy
z
Fy

2v
t 2

xz
x
yz
y
z
z
Fz


2w
t 2

§2-3 斜面应力公式 应力边界条件

( x

y )]

yz
yz
/

zx zx /

xy
xy
/


用应变表示的应力-应变关系
x 2 x , yz 2 yz y 2 y , zx 2 zx z 2 z , xy 2 xy
过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面
abc 的面积为dA，则三个负面的面积分别为
Pbc : dAx ldA
Pca : dAy mdA
Pab :
dAz

ndA

1.四面体的平衡方程 由x方向的平衡条件得：
TxdA xdAx yxdAy zxdAz FxdV 0
(1 )(1 2 )
上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律
注意： xy , yz , zx 是应变张量分量而不是
剪应变分量．
上式还可进一步写成：
x

E
1
1 2


x
,
yz

E
2(1
)

yz


y

E
1
1 2
将各面面积代入得：
Tx
xl

yx m
zxn

Fx

1 dh 3

0
同理可得：
Tx xl yx m zxn Ty xyl y m zyn Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。
(1) 物体刚体位移
(2)物体内质点间相对位移
2.应变
线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z
方向线元的正应, 变分别用 x, y 和 z 表示，即
x

dx dx dx

y

dy dy dy
z

dz dz dz
正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z
方向三个正交线元 (dx, dy, dz)直角的变化分
Tz
xz l

yz
m


z
n

上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面 外法线方向余弦．
§2-4 位移 几何方程
1.位移 物体内各点位置的改变量称为位移。
用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三
个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：

y
,
zx

E 2(1 )
zx

z

E
1

1
2



z
,
xy

E 2(1 )
xy

§2-6 弹性力学问题的一般提法
我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析 建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动） 微分方程、几何方程和应力-应变关系；
字母表示。
位移分量： u、v、w可以写成 u1, u2 , u3 ，缩写后为
ui (i 1, 2, 3) 坐标：x、y、z 可以写成 x1, x2 , x3 ，缩写后为
xi 单位基矢量： i, j, k 可以写成 e1, e2 , e3 ，缩写后为
ei
应力分量： xx , xy , xz , , zx , zy , zz
T lim T dT
S0 S dS
2.应力
在载荷的作用下，物体的各部分之间要 产生相互作用，这种物体内的一部分对 另一部分的相互作用力，称为内力。
弹性体内一点内力集 度表示为：

Q dQ
T lim
S0 S dS
注意：同一点不同截 面上的内力不同．
2.应力分量
应力正负号的规定：正面上的应力分量
第二章 弹性力学的基本方程 和一般原理
§2-1 载荷 应力 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 斜面应力公式 应力边界条件 §2-4 位移 几何方程 §2-5 广义Hooke定律
§2-6 弹性力学问题的一般提法 §2-7 指标表示法 §2-8 迭加原理 §2-9 弹性力学问题解的唯一性原理 §2-10 圣维南原理
与坐标轴的正方向一致为正，负面上的
应力分量与坐标的负方向一致为正；反
之为负。
xx xy xz
(
ij
)



yx zx
yy zy

yz zz

应力分量：
§2-2 平衡（运动）微分方程
1.微元体：
首先，在物体内一点P的附近，用三组坐
标面的平行平面截出一个微小的平行六面体
( xydydz)dx ( yxdzdx)dy 0
xy yx yz zy
zx xz
3.运动微分方程。
如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert） 原理，在体力项中引入惯性力：
2u , 2v 和 2w
t 2
t 2
物体变形的位移及在坐标面上投影
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的 应变－位移关系
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的 应变－位移关系
P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)
和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级 数在Ｐ点处展开：
Ａ点： u u dx, v v dx
单元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，
如图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分
量仍用Fx , Fy 和 Fz 表示。
2.力平衡微分方程
由 X 0 得：
(
x

x
x
dx)dydz
xdydz

( yx

yx
y
dy)dxdz
yxdxdz

( zx

zx
x
x
Ｂ点： u u dy, v v dy
y
y
在小变形条件下：
x

pa pa
pa

pa pa
pa

[(dx

u

u x
dx)

u]

dx

u
dx
x
y

pb pb
pb

pb pb
pb
[(dy v v dy) v] dy
别用 xy , yz 和 zx 表示，
xy

2

， yz

2

， zx

2

符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应 变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应 力的正负规定是一致的。
３.几何方程 几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．
设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影 的变形分析来建立应变－位移关系．
2.斜面上的正应力与剪应力

Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m2 z n2 2 xylm 2 yz mn 2 zxnl

2


|

T
| 2


2


3.边界条件
Tx

xl

yx m

zx
n

Ty xyl y m zyn
(1)平衡微分方程
x
x

yx
y

zx
z
Fx
0
xy
x
y
y
zy
z
Fy
0
xz
x
yz
y
z
z
Fz
0
Baidu Nhomakorabea
又称纳维叶(Navier)方程。
运动微分方程：
x
x

yx
y

zx
z
Fx

2u
t 2

xy
x

y
y
zy
z
Fy

2v
t 2

xz
x
yz
y
z
z
Fz


2w
t 2

(2) 几何方程
x

u x
,

yz

w y

v
z

y

v y
,

zx

u z

1 2
E
称为体积应变
4.用应变表示应力
x

1 E
[(1


)
x
( x
y
z )]

1
E

x


E

同理
y
1
E

y


E

z

1
E
z


E

令 则
2 yz yz , 2 zx zx , 2 xy xy
三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有 15个未知量15个方程，可以求解。
具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为 此需知具体问题的边界条件。
（4）边界条件
（ⅰ）应力边界条件
Tx
xl


yx
m


zx
n

Ty xyl y m zyn
Tz
xz l
可以写成 11, 12 , 13 , , 31, 32 , 33 缩写后为 ij
w z
,

xy

v x

u y

方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程
§2-5 广义Hooke定律
1.简单应力状态
简单拉压：
E
纯剪切：

E 2(1 )
2.复杂应力状态
x x1 x2 x3

1 E
[
x
(
y
z )]
y

1 [
E
y
( z
x )]
z

1 E
[
z
( x
y )]

yz
yz
/

zx zx /

xy
xy
/


3.体积应变
x
y
z
1 2
E
( x
y
z)
yz m


z
n

（ⅱ）位移边界条件
u u, v v,
（ⅲ）混合边界条件
ww
§2-7 指标表示法
力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用 的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方 程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文 献中，在理论推导采用指标表示。
1. 指标符号 具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的
w
x

z

w z
,

xy

v x

u y

方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程
(3)应力-应变关系(本构关系) 应力-应变关系(本构关系)
x

1 E
[ x

( y
z )]
y

1 E
[ y

( z
x )]
z

1 E
[ z