浙江专版2019年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算讲

第01节 集合的概念及其基本运算
【考纲考点剖析】
【知识清单】
1．元素与集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示
2．集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合
A 包含于集合
B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。

记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。

记为A B ⊂≠．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算
(1)三种基本运算的概念及表示
（2）三种运算的常见性质
A A A =， A ∅=∅， A
B B A =， A A A =， A A ∅=， A B B A =．
(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．
A B A A B =⇔⊆,A B A B A =⇔⊆,()U U U C A B C A C B =,()U U U C A
B C A C B =．
【重点难点突破】
考点1 集合的概念
【1-1】【2018年全国卷II 理】已知集合，则中
元素的个数为
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4 【答案】A
【1-2】若集合{}
1A x x =-，则（ ）
A. 3A -∈
B. 2A -∈
C. 1A -∈
D. 0A ∈ 【答案】D 【解析】
{}1A x x =-
集合就是由全体大于的数构成的集合，显然01>-，故0A ∈ 故选 【领悟技法】
与集合元素有关问题的思路：
(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】
【变式一】【2017浙江嘉兴一中模拟】若集合{}1,2,3A =，(){},40,,B x y x y x y A =+-∈，
则集合中的元素个数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D
【解析】,x y A ∈的数对共9对，其中()()()2,3,3,2,3,3满足40x y +->，所以集合中的元素
个数共3个． 【变式二】设，
，集合
，那么与集合的关
系是（ ） A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
,即
，
，即a =3，b =π，
故x ∈M ，yM ， 故选：B.
考点2 集合间的基本关系
【2-1】【2017届浙江省杭州市第二中学5月仿真】若集合{
}
A x R ==
∈，
{}1,B m =，若A B ⊆，则的值为（）
A. 2
B. -2
C. -1或2
D. 2或 【答案】A
【解析】{}2A =，由A B ⊆可知，2m =，故选A 。

【2-2】【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性】已知集合
，
，若
，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【领悟技法】
1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列
举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】
【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且
}m R ∈，则下列关系中成立的是( ) A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝ D ．P
Q ∅＝
【答案】A
【解析】10{|}P m m <<＝－，2
0,
:16160,
m Q m m <⎧⎨
∆=+<⎩或0m ＝．
∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．
【变式2】【2017辽宁锦州质检（一）】集合{|3,}n M x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，
则集合与集合的关系（ ）
A. M N ⊆
B. N M ⊆
C. M N φ⋂=
D. M ⊆N 且N ⊆M 【答案】D
【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉ ,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D. 考点3 集合的基本运算
【3-1】【2018年浙江卷】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则（ ）
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C
【解析】分析:根据补集的定义可得结果. 详解：因为全集，
，所以根据补集的定义得
, 故选C.
【3-2】【2017浙江卷】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P
A ．)2,1(-
B ．)1,0(
C ．)0,1(-
D ．)2,1(
【答案】A
【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．
【3-3】【2017新课标1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）
A ．A
B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
B ．AB =∅
C ．AB 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩
⎭
D ．AB=R
【答案】A
【解析】由320x ->得32x <，所以33
{|2}{|}{|}22
A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A ． 【领悟技法】
1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】
【变式一】【2018年天津卷理】设全集为R ，集合，
，则
A. B.
C.
D.
【答案】B
【变式2】【2017浙江杭州二模】设{}1,0,1,2U =-，集合2
{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）
A. {}0,1,2
B. {}1,1,2-
C. {}1,0,2-
D. {}1,0,1- 【答案】B
【解析】由2
1x <得：11x -<<，所以{}0A =，因此{}1
,1,2U A =-ð，故选择B. 【易错试题常警惕】
易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则的取
值范围为________． 易错分析：忽视端点．
正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ⊂≠得11
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a a ->⎧⎨
+<⎩，∴
24a <<．
又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ⊂≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ⊂≠，∴
24a ≤≤.
温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
易错典例2：设集合{}
{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A =，则实数的取值范围是
_______.
易错分析：遗忘空集．
正确解析：由A B A ⋂=⇔A B ⊆，所以当A φ=时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，
所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}
|,0A x a a =
<>，由A B ⊆可知
204a ≤⇒<≤，综上可知实数的取值范围是4a ≤.
温馨提示：在A B A
B B A B A A B ?⊆，＝，＝，＝中容易忽视集合A φ≠这一情况，预防
出现错误的方法是要注意分类讨论．
【学科素养提升之思想方法篇】
化抽象为具体——数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：
(1)利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． (2)利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．
(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．
【典例】已知集合{||3|}2A x x ∈R ＝＋＜，集合{|()()20B x x m x ∈R ＝－－＜，且)1(A
B n ＝－，，则＝________，＝________.
【答案】 －1，1.
【解析】 由题意，知51{|}A x x ＝－＜＜．因为)1(A B n ＝－，，
{|()()}20B x x m x R ＝－－＜，结合数轴，如图．
所以11m n ＝－，＝.。