例谈线性规划的常见题型及其解法

线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同
学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规
划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见
的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性
规划题型及其解法的了解.
类型一：求目标函数的最值
求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题
型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；
（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的
基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；
（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距
离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的
对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最
优解)，代入目标函数，即可求出最值.
例1.已知x、y满足以下约束条件
ì
í
î
ï
ï
2x+y-2≥0,
x-2y+4≥0,
3x-y -3≤0,
则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.
解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以
看作点()
x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行
域内点A到原点的距离的平方最大，即|
|AO2=13,
直线2x+y-2=0到
原点的距离的平方最小，
为d2=æèççöø÷÷|
|0-2
22+12
2
=45，
所以z=x2+y2的最
大值和最小值分别是13
和45.
在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函
数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作
直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内
寻找取得最值的点.
类型二：求可行域的面积
求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出
正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何
图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、
平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.
例2.已知不等式组
ì
í
î
ï
ï
2x+y-6≥0,
x+y-3≤0,
y≤2,
则该不等式表
示的平面区域的面积为_____.
解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所
示，由图2可知△ABC的
面积即为所求.
显然S△ABC=S梯形OMBC-
S
梯形OMAC
，S梯形OMBC=12×
()
2+3×2=5，S梯形OMAC=
12×()1+3×2=4，
所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.
本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很
难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将
梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到
三角形ABC的面积.
类型三：求参数的取值或者范围
很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取
值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符
号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参
数的取值或者范围.
例3.已知x、y满足以下约束条件
ì
í
î
ï
ï
x+y≥5,
x-y+5≤0,
x≤3,
使z=x+ay()
a>0取得最小值的最优解有无数个，则
a的值为_____.
解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出
直线l:x+ay=0，要使目
标函数z=x+ay()
a>0
取得最小值的最优解
有无数个，可将直线l
向右上方平移，使之与
直线x+y=5重合，故
a=1.
通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此
正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条
件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.
通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线
性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图
—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能
得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关
注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优
解的点或者位置.
（作者单位：江苏省江阴市第一中学）
承小华
图1
图2
图３
方法集锦
45。