第10章第12节

• 定义 4 如果T=（V，E′）是赋权图G 的一个 支撑树，称T的所有边的权数之和为T的权， 记为w(T).
w(T)
wij
[vi ,vj ]T
• 如果图G的支撑树T*的权w(T*)是G的所有支
撑树中权为最小的支撑树，则称T*为G的最
小支撑树，简称最小树。
w(T*)minw(T)
T
31
1、 “避圈法”生长法 Kruskal
21
v1
v5
v2
v4
v3
已知有五个城市，它们之间要架设电话 线，要求任意两个城市均可以互相通话 （允许通过其它城市），并且电话线的 根数最少。 不含圈的连通图
22
• 定义1 一个无圈的连通图叫做树。 • 下面介绍树的一些重要性质： • 定理3 设图G=（V，E）是一个树P(G) ≥2，
那么图G中至少有两个悬挂点。 • 定理4 图G=（V，E）是一个树的充要条件是
一般而言，图中点的位置，点间连线的长短曲直对于反映对象 及其之间v2的关系并不重要。
v1
v3
v5
v4
v1
v2
v3
v4
v5
在前面两例中，对象之间的关系是“对称的”，这种对称的关
系可用两点之间的连线表示。但有些关系不是对称的，不可用
两点之间的连线表示，却可以用两点之间的一条箭线来表示。
如两个球队进行过比赛，这种关系是对称的；但谁胜谁负就不
v8
e1
e3
e6
e2
e9
v2
v3
e7
v6
e8
v7
e10
v9
17
给定一个图G=（V，E）如果图G′= （V′，E′），满足条 件：V=V′，
E′E，则称 G′是 G 的一个支撑子图。即去掉G的一些 边（边的端点并不随边一起去掉）后所得的图称G的支撑 子图。
设 v∈V(G),用 V—v表示从 G中去掉点v及其关联边后所 的到的图。
（如图10—7中的e1， e2 ）。 一个无环、无多重边的图称简单图，无环但
V5
V6
e1
有多重边的图称多重图。以 v 为端点的边的 条数称为点 v 的次数，记为 d ( v ) ，如在右 图中：d ( v1) = 4, d ( v2) = 3, d ( v 4 ) = 4 ( 环 e7在计算d ( v 4) 时算作两次)。
24
2.2图的支撑树
• 定义2 设图T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑
子图,如果图T=(V,E’)是一个树,那么称T
是G的一个支撑树。
v3
v5
v3
v5
v1
v1
v6
v6
v2 a
v4
v2
图10－14
b
v4
25
• 若T=（V，E′）是图 G=（V，E）的支撑 树，则T的边数：
•
q(T)= p(T)-1= p(G)-1，
乙 v2
甲 v1 戊 v5
v3 丙
v4 丁
6
• 例 3 用八个点v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8 表示八种 化学药品，其间有连线的表示该两种化学药品 不能存放在一个仓库里，问至少要设几个仓库 来存放这些药品？由图可见，至少要设四个仓 库。
v1
v2
v3 v8
v7 v6
v4
v5
7
图是反映对象之间关系的一种工具，其中点表示对象，点间连 线表示对象之间的关系。
如果一个图 D(Diagram)是点与弧的集合就叫有向图，记为： D=（V，A），其中V表示点的集合，A表示弧（Arc)的集合。
连接 vi与vj 的边记为 [vi ，vj] 或 [vj , vi] 。 由 vi指向vj 的弧记
为 （vi ，vj ）。
9
例如右图（无向图，见 253页）可表为： G={V,E},其中：
27
• 上定理的证明过程实际上给出了寻找一 个图的支撑树的一个方法，名“破圈
• 法”，就是任取图中一个圈，去掉圈中 一条边，如此反复进行直到获得一个
• 支撑树为止。
28
例6:用破圈法求出图的一个支撑树
V2
e1
e4
e8
V1
e3
V4 e7
V5
e2
e5 e6
v2
e1
V3
v1
e7
e2
v4
e5
v5
v3
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。 在剩下的图中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去 掉边e4 。再从圈（v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从 圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e8，这样，剩下
运筹学
（第三版）
《运筹学》教材编写 组
第10章 图与网络优化
第1节 图的基 本概念
第2节 树
清华大学出版社
1
• 图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广 泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术， 交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。 对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题， 可以同图论的理论和方法来加以解决。例如， 各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路 或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以 应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。
称次数为一的点为悬挂点，悬挂点
V1 • e5 e7 V4•
e2 • V2 e6 e3 e4 • V3
的关联边为悬挂边，次数为 0 的点称为孤立点
253 页 图 10—7
（点击）。次数为奇数的点称为奇点，次数为偶数的点称为偶点. 11
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
V4•
a4 • V3
• 10
图G(或图D)的点数记为p（G）(或P（D）)，边（或弧）的条数记为
q(G) (或q(D)),在不会引起误会时，也分别简记为p,q .
次与简
下面介绍一些基本名词和记号，先考虑无向图 G=（V，E）： 单图
若 e=[u,v] ,则称 u ,v 是 e 的端点 ,也称 u ,v 是相邻的。称 e 是点 u , v 的关 联边。若边的两个端点相同，则该边成为环（如图10—7中的 e7 ）；如两 点之间有多条边，则称这些边为多重边。
• G 中不属于 T 的边数是 q(G)-（p(G)-1）= q(G)-p(G)+1 。
26
定理 7 图G有支撑树的充分必要条 件是 G 连通。
• 必要性显然。
• 充分性 设G连通。若G是树，则G是它自 己的支撑树。若G非树，则 G含圈，从 该圈中任意去掉一边，得G的支撑子图 G′，若G′为树，则是G的支撑树；若 G ′ 非树，则G ′含圈，又去掉圈中任意一条 边，如此反复进行，因边数有限，最后 必得G的一个支撑树。证毕！
又例如右图（为一有向图）可表为： D={V,A},其中： V={V1 ，V2，V3，V 4 } A={a1 ， a2， a3 ， a4 ， a5 ， a6 }
V4•
e4 • V3
253 页 图 10—7
a1
V1 • a2 • V2
a5
a6 a3
其中又： a1=(V1 ,V2), a2=(V1 ,V2),a3=(V2 ,V3), a4=(V4 ,V3), a5=(V1 ,V4), a6=(V1 ,V3),
v0 ，vn分别为链的起点和终点；
初等链：链中所含的点均不相同 简单链：链中所含的边均不相同；
14
圈
• 第一个点和最后一个点相同的链叫圈。 中间点皆不相同的圈叫初等圈。所有边 皆不相同的圈叫简单圈。
15
连通图
给定图G，若其中任何两点之间至少有 一条链，则称G为连通图，否则称为不 连通图；若G 不是连通图，则可将它分 为若干个连通的分图。
34
3.1 引例
• 例10 如图所示的单行线交通网，每个弧
如点弧交错序列 ：V1,a2,V3,a8,V5,a10,V6,a11,V7 是链不是路。
而点弧交错序列：V1, a1,V2, a5,V4, a7,V6 , a11,V7 是链也是路。
a2 V3
a8 V5
a10
V1
a3
a1
a4 a6 a9
a11 V7
V6
a7
V2 a5
V4
20
2.1树及其性质
• 在各种各样的图中，有一类图是十 分简单又非常具有应用价值的图， 这就是树。
是对称的。若甲胜乙负，那么可以用从甲到乙划一条箭线来表
示。
甲。
乙 8
乙 v2
甲 v1 戊 v5
v3 丙 v4 丁
图论中的图，是指点以及点与点之间的连线所组成的集合。
如果联线没有方向（不是箭线）就叫做边，如果联线有方向 （即箭线）就叫做弧。
如果一个图 G (Graph)是由点与边组成，就叫无向图（也简称 为图）。记为 G=（V，E），其中V表示点的集合，E 表示边 (Edge)的集合。
天津 塘沽•
例1是我国北京、 上海、重庆等十四
个城市之间的铁路
济南
青岛
交通图，这里用点 表示城市，用点与
点之间的线表示城
市之间的铁路线。
诸如此类还有城市
徐州 连云 港
中的市政管道图， 民用航空线图等等。
重庆
武汉
南京
上海
5
• 例 2 表示五个球队比赛请况。用五个点 v1,v2,v3,v4,v5分别表示五个球队，点与 点之间的连线表示对应的两个球队已经 比赛过。
V1
V1
V2
V3
V2
V1
V2
V3
V4
图G
V5
V4
V5
图 G —V3
V4
V5
图 G的一个支撑子图 18
V1
V2
V3
V2
图 G的支撑子图
V4
图G
V5
V2
V4
V1 V3
V1 V3 V2
V1 V3
V5 V4 V2
V5
V1 V3
基本概 V4
V5
设有一个有向图D=（V，A），去掉D中所有弧上的箭 头，得一无向图，叫D 的基础图，记为G（D）。
v3 5
6
v1
17
v5
4
3
v6
v3
1
v1
v5
3
v6
5
4
5
4
v2 2 v4
v2 2 v4
(a)
(b)
32
2、 “破圈法”
v3 5
6
v1
17
v5
4
3
v6
v3
1
v1
5
4
5
v2 2 v4
v2
v5
3
v6
4
2 v4
(a)
(b)
33
第3节 最短路径问题
• 最短路径问题是图论中十分重要 的最优化问题之一，它作为一个 经常被用到的基本工具，可以解 决生产实际中的许多问题，比如 城市中的管道铺设，线路安排， 工厂布局，设备更新等等。也可 以用于解决其它的最优化问题。
2
• 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于 图论方面的第一篇科学论文，解决 了著名的哥尼斯堡七座桥问题。德 国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河， 河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿 之间有七座桥相互连接，
3
A
C
D
B
哥尼斯堡七空桥
欧拉（1736）
A
C B
D
一笔画问题
4
第1节 图的基本概念
北京
太原
石家 庄
郑州
的图不含圈，于是得到一个支撑树。
29
例6:用避圈法求出图的一个支撑树
e1 V3 e4 V5 e8
V1
e3 e5
e7
V6
e2 V2 e6
V4
e9
30
2.3 最小支撑树
• 定 赋义 予一3个给实图数GW=（ij, V则，称EG）为的每赋一权条图边。[而ViW，iVj称j] 为边 [Vi，Vj] 的权。
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
空图：E = ，无边图
12
基本定理
定理1 所有顶点次数之和等 于所有边数的2倍。
定理2 在任一图中，奇点 的个数必为偶数。
13
链
链： 由两两相邻的点及其相关联 的边构成的点边序列;如:
v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ;
V={V1 ，V2，V3，V 4 }
图的实例
E={e1 ， e2， e3 ， e4 ， e5 ， e6 ， e7 }
e1
V1 •
V2
e2 •
e5
e6 e3
其中又： e1=[V1 ,V2], e2=[V1 ,V2]e3=[V3 ,V2], e7 e4=[V4 ,V3], e5=[V1 ,V4], e6=[V1 ,V3], e7=[V4 ,V4]
16
在图10-9中，
链（v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是简单链，非初等链。
链（v1,v2,v3,v6,v7)是初等链。 （v1,v2,v3,v4,v1)是初等圈。
（v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)是简单圈，非初等圈（中间有相同 点）。
v1 e4 v4 e5 v5
给定弧a=( u,v ),称 u 为 a 的始点，称 v 为 a 的终点。
有向图D中的一个点弧交错序列，如果在其基础图G（D）
中对应一条链，则称D的这一点弧交错序列为图D的一条链。
若D的链上每条弧的左右两点分别是该弧的始点和终点，就 称该链为一条路。若路的第一个点与最后一个点相同，就称
基本概 念5
之为回路。初等路是中间点皆不相同的路。
G不含圈，并且有且仅有P-1条边。 • 定理5 图G=（V，E）是一个树的充要条件是
G是连通图，并且有且仅有P-1条边。 • 定理8.6 图G是一个树的充分必要条件是任
意两个顶点之间有且仅有一条链。
23
• 从以上定理，不难得出以下结论： （1）从一个树中任意去掉一条边，那
么剩下的图不是连通图，亦即，在 点集合相同的图中，树是含边数最 少的连通图。 （2）在树中不相邻的两个点之间加上 一条边，那么恰好得到一个圈。