高中数学巧构造妙解题

巧构造 妙解题
1. 直接构造 例1. 求函数f x x
x
()sin cos =
-+32的值域。

分析：由于f x x
x
()sin cos =
-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜
率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆
f x k ()=
--=32θ
μ
表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。

显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即
||32112
-+=k k
所以k =±
223
3
故2233223
3
-
≤≤+f x () 例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，
x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。

分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即
4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*）
由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。

由韦达定理知sin sin sin αβγ++=0 2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y =
分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

解：构造一元二次方程p p z 22690-++= 其中x ，y 为方程的两实根 所以∆=-+≥364902()z
即z 299+≤
z z 200≤=，
故△＝0，即x y = 3. 由结论入手构造
例4. 求证：若n ≥3，n N ∈，则
13141511
12
3333++++<
n 分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。

111112111
13k k k k k k k k <-+=--+()()[()()
] 所以左边<
⨯⨯+⨯⨯++-+123413451
11 ()()
n n n
=⨯-⨯+⨯-⨯++--+12123134134145111
1[()()
] n n n n =⨯-+<1212311112
[()]n n 故原式得证。

例5. 已知实数x ，y 满足02
<<<<
x y z π
，求证：
π
2
22222++>++sin cos sin cos sin sin sin x y y z x y z
分析：要证原式成立，即证
π
4
++>++sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x y y z x x y y z z
即证
π
4
>-+-+sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos x x y y y z z z
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和
S S S 123++，而14单位圆的面积为π
4
，所以
π
4
>-+-+sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos x x y y y z z z
故结论成立。

巧用函数单调性妙解数学题
函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。

在求解某些数学问
题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。

下面举例说明。

一. 巧求代数式的值
例1. 已知()x y x x y ++++=22205
5
，求()
x y +2007
的值。

解：已知条件可化为()()()()x y x y x x +++=-+-225
5
设f x x x ()=+5
，则f x y f x ()()+=-2
而f x x x ()=+5
在R 上是增函数 则有x y x +=-2，即x y +=0 所以()
x y +=2007
点评：本题关键是将条件转化为()()()()x y x y x x +++=-+-225
5
，再构造相应函数f x x x ()=+5
，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程x x +=33的根为α，方程x x +=log 33的根为β，求α+β的值。

（答案：αβ+=3）
二. 妙解方程 例2. 解方程4765x
x
x +=
解：易见x=2是方程的一个解
原方程可化为4657651⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=x x
而f x x ()=⎛⎝ ⎫⎭⎪465（因为46501⎛⎝ ⎫
⎭⎪∈x
()，）
在R 上是减函数，g x x
()=⎛⎝ ⎫
⎭⎪765同样在R 上是减函数
因此f x g x x x
()()+=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪465765在R 上是减函数
由此知：当x >2时，46576546576512
2
⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪<⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=x
x
当x <2时，46576546576512
2
⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=x
x
这说明x >2与x <2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x =2。

拓展训练：解方程51222x x x
-=+()。

（答：x =2）
点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x 0，然后等价转化为
f x a a ()()=为常数的形式，最后根据f x ()的单调性得出原方程的解的结论。

三. 妙求函数的值域
例3. 求函数y x x x
x =
+++≤≤cos cos cos ()2610
30π的值域。

解：令cos x t =，则
y f t t t ==++
+()313
因为0≤≤x π，所以-≤≤11t 而f t ()在[]
t ∈-11，内递增 所以f f t f ()()()-≤≤11
又f f ()()-=
=1521174
， 而
52174
≤≤f x () 所以52
174，
⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥为所求原函数的值域。

四. 巧解不等式 例4. 解不等式log ()log 5161+
>x x
解：设t x x x t
===log 165
164，则， 原不等式可化为log ()514+>t t
则145+>t t ，即15451⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭⎪>t t
设f t t
t
()=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪1545
显然f t ()是R 上的减函数，且11=f ()，那么不等式
即f t f t ()()>⇒<11
因此有log 161x <，解得016<<x
点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。

用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式()536303
3
x x x ++++>。

（答：x >-
12
） 五. 巧证不等式
例5. 设a b m n >>≥≥0000，，，，求证a b a b a b m n m n m m n n
+++≥++222·。

证明：当m ，n 中至少有一个为0时，则有a b a b a b m n m n m m n n
+++=++222
·，结论
成立。

设m n >>00，
因为y x =>α
α()0在()0，+∞上单调递增
所以a b m
m
-与a b n
n
-必同号，或同为0（当且仅当a b =时） 从而()()a b a b m
m
n
n
--≥0
⇒+≥+⇒+≥++++++a b a b a b a b a b a b m n m n m n n m
m n m n m m n n 222
·
因此，原不等式成立（当且仅当a b =或m =0，或n =0时取“=”号）。

点评：原不等式等价于a
b a b a b a b a b m n
m n m n n m m m n n +++≥+⇔--≥()()0，这可
由幂函数y x =>α
α()0在()0，+∞上递增而得到。

本题可拓展：令m n ==sin cos 22αα，，则a b a
b a b +≥+sin cos
cos sin
2
2
22
αα
αα。

六. 巧解恒成立问题
例6. 已知函数f x a
x x ()lg =++1233
对区间(]
-∞，1上的一切x 值恒有意义，求a 的
取值范围。

解：依题意，
1233
0++>x x a
对(]
-∞，1上任意x 的值恒成立
整理为a x
x
>-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪1323对(]
-∞，1上任意x 的值恒成立。

设g x x x
()=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪1323，只需a g x >()max
而g x ()在(]
-∞，1上是增函数 则g x g ()()max ==-11 所以a >-1 七. 巧建不等关系
例7. 给定抛物线C y x ：2
4=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两
点，设FB AF →=→
λ。

若[]
λ∈49，，求l 在y 轴上的截距的变化范围。

解：设A x y B x y ()()1122，，，
由FB AF →=→
λ，得
x x y y y x y x 2121
12122
2
11124344-=-=-⎧⎨
⎩==⎧⎨⎪⎩⎪λλ()()
()()()
又
联立（1）（2）（3）（4），解得x 2=λ 所以B ()λλ，2或()λλ，-2
所以l 的方程为()()λλ-=-121y x 或()()λλ-=--121y x
当[]
y ∈49，时，l 在y 轴的截距为
2121
λλλ
λ---或 令f ()λλ
λ=
-21
，则 f '()()()λλλλ
λλ
λλ=---=---<1211102
2
所以f ()λ在［4，9］上是减函数
故
342143432134
≤-≤-≤--≤-λλλλ或 所以直线l 在y 轴上截距的取值范围是：
--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥43
343443，， 八. 巧解数列问题
例8. 已知数列{}b n 是等差数列，b b b b 112101145=+++=，…。

（1）求数列{}b n 的通项公式；
（2）设数列{}a n 的通项a b a a n a n
=+
>≠log ()()11
01，且，S n 是数列{}a n 的前n 项和，试比较S n 与13
1log a n b +的大小，并证明你的结论。

解：（1）由b b b 1210145+++=…，b 11=
有10109
2
1451b d +⨯= 得d =3
因此b b n n n =+-=-11332()
（2）S n n a a a =+++⎛⎝
⎫⎭
⎪+++
-⎛⎝
⎫
⎭
⎪log ()log log 111141132… =++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛
⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥log ()a n 111141132…
1
3
3113log log a n a b n +=+ 设f n n n ()()=
++
⎛⎝
⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭
⎪+11114113231
3
…（n 为正整数） 则……f n f n n n n n n n n n n n n ()()()()+=
++⎛
⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+++⎛
⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭
⎪+=
++++++>1111141132113131
111141132342754368
2754274
1
3332323
所以f n f n ()()+>1
即f n ()在n N ∈*
上是递增的
从而f n f ()()≥=
>12
4
13 即()()*
111141132313++⎛⎝
⎫⎭
⎪+
-⎛⎝
⎫⎭
⎪>+∈…n n n N 所以当a >1时，S b n a n >
+1
31log 当01<<a 时，S b n a n <
+1
3
1log 巧用函数思想解数列题
从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。

1. 利用周期性解题
例 1. 在数列{a n }中，已知a a a a a n N n n n 122115===-∈++，，()*，则a 2002等于（ ）
A. －1
B. －5
C. 1
D. 5
解：因为a a a n N n n n ++=-∈21()* 所以a a a n n n +++=-321 两式相加，得a a n n +=-3 从而有a a a n n n ++=-=63
即{a n }是周期为6的数列，所以a a a a 200263334411===-=-⨯+ 选A
2. 利用单调性解题
例2. 设n N ∈*，且n>1，求证()()()()11311511711
2121
2
++++
->+ n n
证明：令a n
n n
n =
++++
-
+
=
()()()()
(,,) 1
1
3
1
1
5
1
1
7
1
1
21
21
23
则a
n+1
=
+++
-
+
+
+
()()()()
1
1
3
1
1
5
1
1
21
1
1
21
23
n n
n
于是
a
a
n
n
n
n
n
+=
+
+
+
+
1
1
1
21
21
23
()
=
+
++
=
+
+-
>
22
2123
21
411
1
2
n
n n
n
n
()()
()
()
所以a a
n n
+
>
1
即a n是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，…
又a
2
1
1
3
5
16
45
16
64
1
2
=
+
=>=
所以当n＝2，3，4，…时，都有a
n
>
1
2
故()()()()
1
1
3
1
1
5
1
1
7
1
1
21
21
2
++++
-
>
+
n
n
3. 利用图象解题
例3. 已知数列{a n}的通项公式a
n
n
n N
n
=
-
-
∈
97
98
()*，则数列{a n}的前30项中最大项与最小项分别为（）
A. a1，a10
B. a1，a9
C. a10，a30
D.
a 10，a 9
解：因为a n n n n =
--=+
--9798
1989798
，由图象，知选D 。

4. 分离参数解题
例 4. 已知a>0且a ≠1，数列{a n }是首项为a ，公比为a 的等比数列，设
b a a n N n n n =∈lg ()*，若b b n n <+1对任意n N ∈*恒成立，求实数a 的取值范围。

解：依题意，得a a a a n n n =⋅=-1，所以b a a a a na a n n n n n n ===lg lg lg 于是b b b b n n n n <⇔-<++110
⇔-+<+na a n a a n n lg ()lg 101
（1）当a>1时，lga >0 所以a n
n >
+1
，故a l n N >∈()* 当01<<a 时，lga <0 所以a n n n n N <
+=-+∈1111()* 故01
2
<<
∈a n N ()* 综上，得a ∈⋃+∞()()01
2
1，，
巧用判别式
在解题中，大家往往会遇到有关一元二次方程ax bx c 20++=（a 、b 、c ∈R ，a ≠0）的问题，而利用判别式∆=-b ac 2
4解题，却能使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果。

所以，如果已知条件中含有二次方程或二次函数，则可考虑直接应用判别式，点击思维，灵活运用。

下面通过几例解法，说明一下自己的感悟。

例1. 已知sin sin sin 2
2
2
1αβγ++=，求证：|sin sin sin |222αβγ++≤22。

证明：由已知得cos cos cos 222
2αβγ++=
构造函数f x x x x ()(sin cos )(sin cos )(sin cos )=-+-+-ααββγγ2
2
2
=-+++x x 22222(sin sin sin )αβγ
因f x ()≥0，所以∆=++-≤(sin sin sin )222802
αβγ 故|sin sin sin |22222αβγ++≤成立。

说明：本题利用构造法，解题过程简捷、流畅，并且需要有较强的直接观察能力。

例2. 设实数x 、y ，且x xy y 2
2
1++=。

求x xy y 2
2
-+的取值范围。

解：已知x xy y 2
2
1++= ① 设x xy y k 2
2-+= ②
①－②整理得xy k =
-1
2
1() ③ 由①得()x y xy +=+21，把③式代入得()()x y k +=
-2
1
2
3， 则有
1
2
303()-≥≤k k ，得。

④ 在条件④下，x y k
+=-±
32
⑤ 由③⑤可知，x 、y 是方程t k t k
2
3212
0+
-+-=·的根。

因为t R ∈，所以∆=
---≥32210k k ()，解得k ≥13
综上可知，
133≤≤k ，即1
3
322≤-+≤x xy y 说明：若题设中含有形如αβ+、αβ的项，就可考虑用韦达定理构造二次方程。

解本题需要有一定的数学思想，先求x ＋y 、xy ，再构造二次方程，利用判别式轻松解题。

例3. 已知αβγπ++=，求证：x y z xy yz zx 2
2
2
222++≥++cos cos cos αβγ 证明：视不等式的左边减去右边为一个关于x 的二次函数，那么有
f x x y z x y z yz ()(cos cos )(cos )=-+++-22222αγβ
其判别式∆=+-+-4422
2
2
(cos cos )(cos )y z y z yz αγβ
=-+++-41212222[(cos )(cos cos cos )(cos )]y yz z αβαγγ =---+++422222[sin (cos()cos cos )sin ]y yz z ααγαγγ
=--+=--≤≤42400
22222
(sin sin sin sin )(sin sin )y yz z y z ααγγαγ，即∆
故开口向上的二次函数f x ()恒为非负，即对所有x 、y 、z ，所求证的不等式成立。

说明：本题可谓“纸老虎”。

通过仔细审题，巧妙构造二次函数，利用判别式使问题
轻松获解。

［练一练］
在区间[1.5，3]上，函数f x x bx c ()=++2
与函数g x x x ()=+-1
1
同时取到相同的最小值，则函数f x ()在区间[1.5，3]上的最大值为（ ）
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
答案：D
提示：g x x x x x ()()()=-+
-+≥--+=11112111
13，当且仅当x =2时，g x ()min =3，所以f x x ()()=-+232，在区间[1.5，3]上f x f ()()max ==34。

求切点弦所在直线方程的多种方法
在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

为了解答的方便，先给出两个真命题：
命题1：已知圆O ：x y r 2
2
2
+=上一点M （x y 11,），则以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112
+=。

命题2：已知两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2
2
11112
12
1040++++=+->()，圆
O x y D x E y D E F 222222222
2040：+++=+->()，则两圆的公共弦所在的直线方程
为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=
例：已知点P （x y 00,）为圆O ：x y r 2
2
2
+=外一点，过点P 作圆的切线
PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，
所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：
()()()x x y y x y -+-=+0202
0202
2222
即x y x x y y 2
2
000+--=
又M M 12为圆O 、圆O '的公共弦，由命题2知，切点弦M M 12所在直线方程为
x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)
由命题1得，PM 1方程为x x yy r PM 112
2+=,方程为x x y y r 222
+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r
10102
20202
+=+=⎧⎨⎪⎩⎪,
∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程
x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直
线方程为x x y y r 002
+=。

解法3：如上图，设M x y M x y OP M M M 11122212(,),(,),⋂= 容易证明Rt OM P Rt OM P ∆∆12≅，从而M 为M M 12的中点。

∴⊥OP M M 12，M 坐标为(
,)x x y y 1212
22
++ 直线M M 12的方程为y y y x y x x x -
+=--+120012
22
()。

即x x y y x x x y y y 0001201222
+=
+++()() （*）
又由命题1得，PM 1方程为x x y y r PM 112
2+=,方程为x x y y r 222
+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 10102
20
202
+=+=⎧⎨⎪⎩⎪,
∴
+++=x x x y y y r 012012222
()()
代入（*）式得，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002
+=。

对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决问题的能力
是很有好处的。

求圆锥曲线离心率“四法”
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。

一. 直接求出a 、c ，求解e
已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式a
c
e =
来求解。

例1. 过双曲线M ：)0b (1b
y x 22
2
>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线
M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）
A. 10
B. 5
C.
3
10
D.
2
5 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和
bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1
b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10
c =故有10a
c
e ==
，从而选A 。

二. 变用公式，整体求出e
例2. 已知双曲线)0b ,0a (1b
y a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34
y =，则双曲线的离
心率为（ ）
A.
3
5 B.
3
4 C.
4
5 D.
2
3 分析：本题已知
=a b 3
4
，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：由2
2
222222k 1a
b 1a b a a b a a
c e +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜
率）。

这里
3
4
a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三. 统一定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线
的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 2
B.
2
2 C.
2
1 D.
4
2 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ⊥轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

由圆锥曲线统一定义，得离心率2
2d |MF |e ==，从而选B 。

四. 构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的
方程，通过解方程得出离心率e 的值。

例 4. 已知1F 、2F 是双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的两焦点，以线段F 1F 2为边作正
21F MF ∆，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C. 2
1
3+
D. 13+
解：如图，设11MF ,c |OF |=的中点为P ，则点P 的横坐标为2
c
-
，由c |F F |21|PF |211==
，由焦半径公式a ex |PF |p 1--=，即a )2
c
(a c c --⨯-=，得0ac 2a 2c 22=--，有02e 2e 2=--，解得31e ,31e -=+=（舍去），故选D 。

练一练
设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A.
2
2 B.
2
1
2- C. 22-
D. 12-
参考答案：D
三角函数求最值的归类研究
求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成)sin(ϕω+=x A y 的形式
例1. 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，求B A sin sin 的最大值。

解：A A A A A B A 2sin 2
1
cos sin )2
sin(
sin sin sin =
=-=π
由2
0π
<
<A ，得π<<A 20，则当4
π
=
A 时，
B A sin sin 有最大值
2
1。

例2. 求函数x x x x x f 4
4sin cos sin 2cos )(--=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值和最小值。

解：
x x x x x x
x x x x f 2sin )sin )(cos sin (cos sin cos sin 2cos )(2
2
2
2
44--+=--=
)
42sin(22sin 2cos π-
-=-=x
x x
由2
0π
≤
≤x ，得1)4
2sin(22434
24
≤-≤-≤
-
≤-
πππ
π
x x ，， 得1)4
2sin(22≤-
-≤-π
x ，
则当x=0时，1)(max =x f ；当8
3π
=
x 时，2)(min -=x f ［点评］这类题目解决的思路是把问题化归为k x A x f ++=)sin()(ϕω的形式，一般而言，k A x f k A x f +-=+=||)(||)(min max ，，但若附加了x 的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。

例2中，令4
2π
-
=x u ，画出u sin 在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
434ππ，上的图象（如图1），
图1
不难看出1sin 22≤≤-
u ，即1)4
2sin(22≤-≤-π
x 。

应注意此题容易把两个边界的函数值)2
(π
f 和)0(f 误认为是最大值和最小值。

二、形如b
x a d
x c y ++=
sin cos 的形式
例3. 求函数2
cos 1
sin --=
x x y 的最大值和最小值。

解：由已知得1sin 2cos -=-x y x y ，
即y x y y x y x 21)sin(121cos sin 2
-=+⋅+-=-ϕ，，
所以121)sin(2
+-=
+y y x ϕ
因11
211|)sin(|2
≤+-≤+y y
x ，
ϕ，
即，0432
≤-y y 解得3
4
0≤
≤y ， 故03
4
min max ==
y y ， ［点评］上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y 为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。

虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。

有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

三、形如b
x a d
x c y ++=
sin sin 的形式
例4. 求函数2
sin sin 23--=
x x
y 的最大值和最小值。

解：22
sin 1
2sin 1)2(sin 22sin 3sin 22sin sin 23---=-+--=---=--=
x x x x x x x y
由1sin 1≤≤-x ，得12sin 3-≤-≤-x ，3
1
2sin 11-≤-≤
-x ，
12sin 131≤--≤x ，即122sin 135-≤---≤-x 3
51min max -=-=∴y y ，
［点评］此题是利用了分离分母的方法求解的。

若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如x
a
x y sin sin +
=的形式 例5. 求)0(sin 2
sin π<<+
=x x
x y 的最小值。

解：设x u sin =，则)10(2
≤<+
=u u
u y 。

从图2中可以看到u
u y 2
+=在区间]10(，
上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。

∴当1=u 时，31
21min =+
=y ［点评］若由22sin 2
sin 2sin 2sin =⋅≥+
x
x x x ，可得最小值22是错误的。

这是因为当等号成立时，x x sin 2
sin =
，
即12sin >=x 是不可能的。

若把此题改为)0(sin 1
sin π<<+
=x x
x y 就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。

五、利用αsin 与αcos 之间的关系
例6. 求函数x x x x y cos sin cos sin +-=的最大值和最小值。

解：设)4
sin(2cos sin π
-=
-=x x x t ，
则22≤≤-t ，且21cos sin 2
t x x -=。

由于1)1(2
1
2122+--=-+=t t t y ， 故当t=1时，1max =y ；当2-=t 时，2
1
2min -
-=y 。

［点评］ααααααcos sin cos sin cos sin ，，-+这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。

ααcos sin 是纽带，三者之间知其一，可求其二。

令x x t cos sin -=换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。

应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。

练一练：
1. 求函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值和最小值。

2. 求函数x x y 2
sin cos 3--=的最大值和最小值。

3. 已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈26ππ，x ，求函数)1)(cos 1(sin ++=x x y 的最大值和最小值。

答案：1. 2112min max -=+=y y ，
（提示：由1)4
2sin(22sin 2cos 1cos sin 2sin 22
+-=
+-=+=π
x x x x x x y ）
2. 4
74min max =
=y y ， （提示：由4
7)2
1(cos 2cos cos )cos 1(cos 32
22+
-=+-=---=x x x x x y ） 3. 2223max +=
y ，4
3
2min +=y （提示：令x x t cos sin +=，则12sin 2
-=t x 。

1123322≤-≤-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈t x ，，ππ，
解得
22
1
3≤≤-t 。

于是22)1(2
1
1211cos sin cos sin +=++-=+++=t t t x x x x y ，容易求解） 三角问题的非三角化解题策略
对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式顺水推舟式的解析，自然而合理。

其
实，三角问题与相关知识的联系是十分密切的，在解题时，若能激活联想，发散思维，不少三角问题的解决途径是比较新奇和有趣的，正所谓三角问题的非三角化解题策略。

这里剖析数例，以作欣赏。

一. 平几化策略
发挥平面图形的功能，以平面图形为载体，挖掘三角背景下的问题实质，使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。

例1. 已知△ABC 的三个内角适合sin 2A=sinB （sinB+sinC ），求证：∠A=2∠B 。

证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。

延长CA 到D ，使AD=AB=c ， 则CD=b+c 。

由于sin 2A=sinB （sinB+sinC ）， 所以a 2=b （b+c ）， 即BC 2=AC ·CD ，
所以BC 切过A 、B 、D 的圆于点B ， 所以∠ABC=∠ADB 。

因为AB=AD ， 所以∠ABD=∠ADB ，
所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC ，得证。

二. 对称化策略
利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系，开避解题坦途。

例2求cos 210°+cos 250°-sin40°sin80°的值。

解：设x=cos 210°+cos 250°-sin40°sin80°， y=sin 210°+sin 250°-cos40°cos80°， 则x+y=2-cos40°；
x y -=+-cos cos 2010012
=-
+1
2
40cos 。

联立解得x =
3
4
，即为所求结果。

三. 线圆化策略
直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。

从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。

例3 设方程sin2x-sin 2x=2cos2x+m 有实数解，试求m 的取值范围。

解：原方程变形为： 3cos2x-2sin2x+2m+1=0。

观察知：点（cos2x ，sin2x ）在直线3x-2y+2m+1=0上，而点又在单位圆x 2+y 2=1上，所以这个点是直线与圆的交点。

原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：
213212
2
m ++-()
≤。

整理得m 2+m-3≤0，
解得
---+1132113
2
≤≤
m 。

四. 轨迹化策略
一图值千言。

依题意构点挖掘点的轨迹，发挥“区域”优势，使隐藏的“关节”得以
显现，利用解析几何辅助问题获解。

例4. 设a 、b ＞0，且变量θ满足不等式组a b a b sin cos cos sin θθθθ+-⎧⎨⎩≥≥0
0，求sin θ的最大值。

解设x=cos θ，y=sin θ，则不等式组等价于x y bx ay ax by 22100+=+-⎧⎨⎪
⎩
⎪，≥，≥。

原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x ，y ）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。

由此得sin θ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sin θ）
max =y M =
a a b
2
2
+
五. 曲线化策略
有些三角问题，抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。

例5 若α、β为锐角，且cos sin sin cos 42421αβαβ
+=，求证α+β=π
2。

解：构造A （cos 2α，sin 2α），B （sin 2β，cos 2β）两点，则A 、B 两点均在椭圆
x y 2
222
1sin cos ββ
+=上。

根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B 的切线方程为x+y=1。

显然
点A 的坐标适合切线方程，所以点A 也是切点，从而知A 、B 两点为同一点。

即：cos 2α=sin 2β，sin 2α=cos 2β， 所以cos α=sin β=cos （
π
2
-β）。

由题设条件α、β为锐角，不难得α+β=
π2。

一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法
问题：过点()3,2P 的直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点B A ,，求ABO ∆的
面积最小值，以及此时所对应的直线方程。

解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。

在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。

构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。

解答这类问题的常用解题方法如下：
一、 利用三角函数的有界性求解
解法1：设过点()3,2P 的直线方程为：1=+
b y a x
，则13
2=+b
a ，于是可设α2cos 2=
a ，α
2
sin 3
=b 。

记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1
=
=()2
222sin 12cos sin 3ααα= 因为0<()12sin 2
≤α,所以：12≥S ，当12sin =α时，︒=45α，面积的最小值是：
12=S ，此时，445cos 22=︒
=
a ，645sin 3
2
=︒
=
b 所求的直线方程为：
16
4=+y x 评注：若正实数n m ,满足1=+n m ，我们可以设α2sin =m ，α2cos =n ，把二
元转化为关于α的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。

二、利用均值不等式求解
解法2：设过点()3,2P 的直线方程为：()23-=-x k y ，
直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点()k B k A 23,0,0,32-⎪⎭
⎫
⎝⎛-
. 由图知0<k 记ABO ∆的面积为S ，则()k k S 233221-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
即⎪⎭
⎫
⎝⎛--=
k k S 941221 因为0<k ，所以，04>-k ，09
>-k。

利用均值不等式得：
+-)4(k ()12942)9(=⎪⎭
⎫
⎝⎛--≥-k k k 。

所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
k k S 941221()1212122
1
=+≥ 当且仅当k 4-k 9-
=，即2
3
-=k 时ABO ∆的面积有最小值，此时所对应的直线方程为： ()1223223
3=+⇒--
=-y x x y
评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。

变形原则是能
使产生的几个正数的积（或和）为定值。

解法3：设过点()3,2P 的直线方程为：1=+
b y a x
，则132=+b a ，于是3
2-=b b a 因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，则0,0>>b a 。

记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1==6393332212+-+-=-=⨯-⨯
b b b b b b b 因为：3
2-=
b b
a >0,0>
b .所以3>b . 于是：3
93-+
-b b ()639
32=-⨯-≥b b 。

所以：S =63
9
3+-+
-b b 12≥。

解法4：设过点()3,2P 的直线方程为：
1=+b y a x ，则13
2=+b
a ，于是
b a ab 23+=
因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，所以 0,0>>b a 。

利用均值不等式得：
ab b a ab 6223≥+=，(
)
062≥-ab ab
，而0>ab ，所以24≥ab 。

记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1
=
12≥ 当且仅当2423==ab b a 且时，6,4==b a 。

面积有最小值12=S 。

所求的直线方程为：
16
4=+y x 评注： 此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab 的最小
值，从而获解。

三、判别式法
解法5：设过点()3,2P 的直线方程为：()23-=-x k y ，
直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点()k B k A 23,0,0,32-⎪⎭
⎫
⎝⎛-
. 由图知0<k 记ABO ∆的面积为S ，则()k k S 233221-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
化简得：()0912242
=+-+k s k （1）
将上式视为关于k 的一元二次方程，因为R k ∈，所以，0≥∆。

即()舍去）或(01209441222
≤≥⇒≥⨯⨯--S S s 。

面积的最小值是：12=S ，代入（1）得：2
3
-
=k 此时所对应的直线方程为：()122322
3
3=+⇒--
=-y x x y 评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式
为非负数，求解。

解法6：设过点()3,2P 的直线方程为：1=+
b y a x ，则132=+b a ，于是3
2-=b b a 因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，则0,0>>b a 。

记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1==332212
-=⨯-⨯b b b b b
化简得：032
=+-S Sb b （2）
将上式视为关于b 的一元二次方程，因为R b ∈，所以，0≥∆。

即12034)(2
≥⇒≥⨯--S S S 。

因为()0>S
面积的最小值是：12=S ，代入（2）得：6=b ，则3
2-=
b b
a =4 所求的直线方程为：
16
4=+y x 评注：此题还可以通过消去b ，关于a 的一元二次方程，利用上述方法求解。

一类应用题的统一解法
有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。

例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A ，它的左右两边都要留宽为a 的空白，上下两边都要留有宽为b 的空白，且印刷品左右长度不超过定值l 。

问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。

图1
解：设版面左、右长为x ，上、下宽为y 则有A xy =（x>0，y>0） 设每张印刷品所用纸张面积为S
则S x a y b A ab bx a A x
x l a =++=+++⋅<≤-()()()()2242202（） （1）当2a aA b
l +≤时， 224bx a A x
abA +⋅≥， 当且仅当22bx a A x =⋅
时取“=”号，解得x aA b y bA a ==， 即此时左右长为2a aA b +，上下宽为2b bA a
+ （2）当2a aA b
l +>时 因为02<≤-<
x l a aA b 所以()l a x --≥20 且bx l a b aA b aA b
aA ⋅-<⋅⋅=()2 所以[()]()b l a A l a bx aA x
-+--+222 =--⋅
---≤[()]()()l a x b l a x aA l a x 2220 当x l a =-2时取等号，即选择左、右尺寸为l ，上、下尺寸为22b A l a
+
-用纸量最小。

综上所述，当2a aA b
l +≤时，选择左右尺寸为2a aA b +时，上、下尺寸为
2b+bA a
; 当2a aA b
l +>时，选择左、右尺寸为l ，上、下尺寸为22b A l a +-所用纸量最小。

例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s （千米），水速为常量p （千米/时），船在静水中的最大速度为q （千米/时）（q>p ）。

已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为k 。

（I ）把全程燃料费用y （元）表示为静水中速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II ）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
解：（I ）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为s v p
-，全程燃料费用为：y kv s v p
=⋅-2，故所求函数及其定义域为： y kv s v p ks v v p v p q =⋅-=⋅-∈2
2
，，(] （II ）由题意知k 、s 、v 、p 、q 均为正数，且v>p ，故有
y ks v p p v p
p ks p p ksp
=-+-+≥+=[()]()2
2224 当且仅当v p p v p
-=-2
，即v p =2时上式取等号 若2p q ≤，则当v p =2时，全程燃料费用y 最小。

若2p>q ，当v p q ∈(]，时，有
ks v v p ks q q p ks q v pq pv qv v p q p ⋅--⋅-=⋅-+---22
()()()()
因p v q p v p q p q v <≤<->->-≥2000，故，，
又pq pv qv pv pv qv p q v +-≥+-=->()20 所以ks v v p ks q q p
⋅-≥⋅-22
当且仅当v=q 时等号成立，即当v=q 时，全程燃料费用最小。

综上知，为使全程燃料费用最小，当2p q ≤时，船的实际前进速度为p ；当2p>q 时，船的实际前进速度应为q p -。

例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时。

已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。

（I ）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（I ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v
，全程运输成本为 y a s v bv s v s a v
bv =⋅+⋅=+2() 故所求函数及其定义域为：
y s a v
bv v v =⋅+∈()(]，，0 （II ）依题意知s ，a ，b ，v 都为正数，故有s a v bv s ab (
)+≥2 当且仅当a v bv v a b
==，即时上式中等号成立 若a b c v a b
≤=，则当时上式中等号成立 若a b
c v c >∈，当，(]0时，有
s a v bv s a c bc ()()+
-+ =-+-=--s a v a c bv bc s vc
c v a bcv [()()]()() 因为c v a bc -≥>02
，且，故有a bcv a bc -≥->20 所以s a v bv s a c
bc (
)()+≥+，且仅当v=c 时等号成立。

也即当v=c 时，全程运输成本y 最小。

综上知，为使全程运输成本y 最小，当ab b c ≤时行驶速度应为v ab b =；当ab b
c >时行驶速度应为v=c 。

一招通解“二面角”和“点到平面的距离”
求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。

事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，
定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。

说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。

其中θ是指
二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。

值得指出的是：θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。

其优点在于应用它并不强求．．．
作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。

这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。

还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有m d arcsin =θ；若所求二面角为钝二面角，则m
d arcsin -=πθ 下面举例说明该公式在解题中的应用。

例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

（1）求点P 到平面ABCD 的距离；
（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。

第（1）问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。

第（2）问要求解二面角A-PB-C 的大小，只需求出点C 到二面角A-PB-C 棱PB 的距离及点C 到半平面APB 的距离即可。

解：（1）如上图，取AD 的中点E ，连结PE 。

由题意，PE ⊥AD ，即3==PE m 。

又二面角P-AD-O 与二面角P-AD-B 互补，所以二面角P-AD-O 的大小为60°，即︒=60θ。

于是由公式θsin ⋅=m d 知：点P 到平面ABCD 的距离为 2
360sin 3sin =︒⋅=⋅=θm PO 。