与排列组合有关的常见题型及其解法

解题宝典
排列组合问题主要考查同学们的逻辑推理能力、数学抽象能力、分析和解决问题的能力，是很多同学感觉比较困难的一类题目.本文对有关排列组合的几种常见问题及其解答技巧进行了总结归纳，以期能够帮助同学们清楚地了解到不同类型题目的特点以及解题的技巧.
类型一：相邻问题
相邻问题是指某些元素相邻的问题.解答相邻问题的常规方法是捆绑法，其解题步骤为：1.将相邻元素“捆绑”在一起，看成一个大元素和剩下的元素一起排列；2.考虑大元素内部各元素的排列顺序；3.利用分步计数原理求得总的排列数.
例1.某公司有8辆车，要求在执行任务时A 车和B 车必须始终在一起.现8辆车同时出去执行任务，出
行时排列的方式有多少种？
解析：因为要求A 车和B 车相邻，因此可以把A 车和B 车看成一辆大元素，所以共有7辆元素，则有
A 77种排列方式，
再排列A 、B 车的出行顺序，共有A 2
2种方案.故共有A 77A 2
2=30240种排列方式.
在使用捆绑法解题的时候，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序.
类型二：相间问题
相间问题是指元素不相邻的问题.解答此类问题
的基本方法是插空法，其解题步骤为：1.把没有位置要求、无条件限制的元素排列好；2.将有位置要求、有条件限制的元素插入到已经排列好的无条件限制元素的间隙或者两端；3.运用分步计数原理求得最后的结果.
例2.某公司有8辆车，要求在执行任务时A 车和B 车不能在一起.现8辆车同时出去执行任务，出行时
排列的方案有多少种？
解析：题目中要求A 车和B 车不相邻，因此需考
虑先把其他6辆车排好，有A 6
6种排列方案，这时中间和两端还有7辆位置可供A 、B 车选择，将A 和B 插入，有A 27种排列方案.故共有A 66A 27=30240种排列方
案.
处理相间问题的关键是把有位置要求、有条件限制的元素和无位置要求、无条件限制的元素区别开，分步进行处理.
类型三：特殊元素问题
对于有特殊要求的元素，我们一般采取以下两种方案：特殊元素法或特殊位置法.其基本思路是，优先处理有特殊要求的元素，再去考虑其他的元素.
例3.某公司有8辆车，现需要派出4辆车去执行任务，要求A 车必需去.那么在出行时A 车排在最后的方案有多少种？
解析：解答本题有两种思路：特殊元素法或特殊位置法.
特殊元素法：要求A 车必须出去执行任务，所以还需要在剩下的7辆车中选择3辆车，有C 3
7种方案.又因为A 车必须是排在最后，所以4个位置中的最后一个已经被A 车占据，可将剩下的3个位置排列选择出
来的3辆车，则排列方式有A 33种，故有C 37A 3
3=210种
排列方案.
特殊位置法：最后一个位置是A 车的，我们需优先把A 车安排在最后.那么可从7辆车中选择一辆车排在最前面，则有7种方案；从剩余的6辆车中选择一辆车排在第二个位置，则有6种方案；从剩余的5辆车中选择一辆车排在第三个位置，则有5种方案；根据分步计数原理可得，共有7×6×5=210种排列方案.
类型四：定序问题
定序问题是指要求某些元素的顺序始终不变的问题.对于定序问题，我们通常可以采用以下的思路：（1）先把没有要求的元素排好，然后将剩下的特殊定序元素插入即可.但运用该方法解题容易出现重复计算排列情况的问题.（2）可以将有要求、有条件限制的元素和其他无要求、无条件限制的元素一起排列，然后除以有要求元素的全排列数.（3)可以优先排列有定序要求的元素，再计算无要求元素的排序.
例4.某公司派8辆车出去执行任务，要求出行时A 、B 、C 三辆车的顺序不变，共有多少种排列方式？
解析：这里有三种解答思路.
高
娅
孙
海
42
思路1：我们可以优先考虑将无特殊要求的5辆车
排序，则共A 5
5种排列方式，再安排A 、B 、C 三辆车
的顺序.这里需分步进行，首先将第一辆车插入其中的空隙，有6种方法，然后将第二辆车插入其中的7个空隙，有7种方式；再将第三辆插入其中的8个空隙，有8
种方式.因此共A 55×8×7×6
A 33
=6720种排列方式.
思路2：我们可以先将所有的元素一起排列，然后
除以A 、B 、C 三辆车的全排列数，可得A 88
A 33=6720种
排列方式.
思路3：可以先挑选出来3个位置给A 、B 、C 三
辆车，则有C 3
8种方式，然后把剩下的5个位置安排给其他无条件限制的5辆车，则有A 55种排列方式.故共
有C 3
8A 5
5=6720种排列方式.
相对而言，后两种方案比较容易，计算量较小，同学们也容易掌握.
类型五：多排问题
对于多排问题，我们可以参考直排问题来进行求
解.如果同时出现相间、相邻问题，同学们就要格外注意，有可能出现直排相邻的情况，而实际是不相邻的问题.
例5.某公司有8辆车，现要将8辆车停到车库，车库有两排，每排4个位置，要求A 车和B 车必须在第一排，C 车和D 车必须在第二排，那么有多少种停车
方案？
解析：本题属于多排问题，我们可以把多排化为一排来处理.需优先安排A 、B 、C 、D 这四辆车，对于
A 车和
B 车有4个位置可以选择，则有A 2
4种排列方
式，同理C 车和D 车也有A 2
4
种排列方式，然后将剩
下的4辆车安排在剩下的四个位置上，有A 44种排列方式，故共有A 24A 24A 44=3456种停车方案.
类型六：平均分组问题
平均分组问题是排列组合问题中的综合问题，解答这类问题的一个基本思想就是不管它的顺序是如何的，都看作一种情况，所以在分组后要除以A m
m
，这里的m 是指均匀分的组数.
例6.某公司有8辆车，现在需要将这8辆车分成2辆、3辆、3辆三组，则有多少种分配方案？
解析：我们需先从8辆车中选出2辆车为一组，则
有C 2
8种方案，再从剩下的6辆中选出3辆车为一组，则有C 3
6种方案，那么剩下的3辆为一组.因为后面两组人数相同，因此不管顺序怎样都是一种情况，所以
需要除以A 2
2
.故共有
C 28C 36C 3
3
A 22
=280种分配方案.类型七：平均分配问题
解答平均分配问题一般有两种方法，一是隔板法，二是先平均分组再分配.隔板法是指把“|”看作是隔板，用它将所要分配的元素（物品、名额）分成若干个小组.在解这类题时需要在组合的基础上进行排列，通常是先分组后分配，即先组合后排列.
例7.某公司有8辆车，现需要将其分配到5个地区去执行任务，每个地区至少一辆车，那么共有几种分配方案？
解析：本题属于分配问题，因为每个地区至少有一辆车，所以可以采取隔板法来求解.将8辆分配到5个地区，所以需要4个隔板，在8辆车中间有7个空隙，可插入4个隔板，则有C 4
7=35种分配方案.
此类分配问题实际上就是将n 个相同的元素分成
若干组，宜用“隔板法”求解.采用此方法解题时需注意：（1）每组的数量至少是1；（2）每组的数量相等.
例8.某公司有8辆车，现在需要派出4辆车去3个地区执行任务，每个地区至少有一辆车，则有多少种选派方案？
解析：首先应该从8辆车中选择出4辆车，则有C 4
8
种方案.4辆车被派去3个地区，那么肯定有一个地方
有2辆车，则可以分为2辆、1辆，所以4辆车进行分组
可以得到C 24C 12C 1
1
A 22
，再将其分配到3个地区就是排列的
问题，则有A 33
种分配方案.故有C
48
C 24C 12C 11A 22
A 3
3=2520种分配方法.
在解题时，我们要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以
m ！
除了上述提到这一些方法外，解答排列组合问题的方法还有构造模型法、转化法等.总之，解答排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚题目所考查的是排
列问题还是组合问题，其次要抓住问题的本质特征，
采用合理恰当的方法来处理.
（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）解题宝典
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