2020届高考数学一轮总复习第九单元解析几何第61讲圆的方程练习理(含解析)新人教A版

第61讲 圆的方程

1．圆(x －1)2

＋y 2

＝2关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程是(C) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝12 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2

＝12

C ．(x ＋1)2

＋(y －2)2

＝2 D ．(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝2

圆心(1,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点是(－1,2)，所以圆的方程是(x ＋1)2

＋

(y －2)2

＝2.

2．点P (4，－2)与圆x 2

＋y 2

＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A) A ．(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1 B ．(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4 C ．(x ＋4)2

＋(y －2)2

＝4 D ．(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1

设圆上任一点为A (x 1，y 1)，则x 2

1＋y 2

1＝4，PA 连线中点的坐标为(x ，y )，

则⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＝x 1＋4，2y ＝y 1－2，

即⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，

代入x 2

1＋y 2

1＝4，得(x －2)2

＋(y ＋1)2＝1.

3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2

＋y 2

－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是(A)

A ．1＋ 2

B ．2

C ．1＋

2

2

D ．2＋2 2 将圆的方程化为(x －1)2

＋(y －1)2

＝1，圆心为(1,1)，半径为1. 则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|

2＝2，

故圆上的点到直线x －y ＝2的最大值为d ＋1＝2＋1.

4．(2016·洛阳模拟)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2

＋y 2

＋2ax －4ay ＋5a 2

－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为(A)

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞)

圆C 的标准方程为(x ＋a )2

＋(y －2a )2

＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2.由题

意知⎩⎪⎨⎪

⎧

a <0，|－a |>2，

|2a |>2，

解得a <－2.

5．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为 (x －2)2＋y 2

＝10 .

由题意，线段AB 的中点M (3,2)，k AB ＝－1

2，

所以线段AB 的中垂线的方程为y －2＝2(x －3)，

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

y －2＝2x －3，

y ＝0，得圆心(2,0)，

则圆C 的半径r ＝2－1

2

＋0－3

2

＝10，

故圆C 的方程为(x －2)2

＋y 2

＝10.

6．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆： x 2＋y 2

－4x －2y －8＝0的周长，则

1a

＋2

b

的最小值为 3＋2 2 .

由条件知直线过圆心(2,1)， 所以2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1.

所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b )·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a

b

≥3＋2 2.

当且仅当b a ＝

2a

b

，即a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立． 所以1a ＋2

b

的最小值为3＋2 2.

7．已知⊙C 经过点(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上． (1)求⊙C 的方程；

(2)设P (x ，y )是⊙C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．

(1)设⊙C 的方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

.

由条件得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝r 2

，a －12

＋b －1

2

＝r 2

，

2a ＋3b ＋1＝0.

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝4，

b ＝－3，

r 2＝25.

故⊙C 的方程为(x －4)2

＋(y ＋3)2

＝25. (2)设x ＋y ＝m ，即y ＝－x ＋m ，

因为P (x ，y )是圆上任意一点，所以⊙C 与直线x ＋y －m ＝0有公共点． 所以|4－3－m |

2≤5，解得1－52≤m ≤1＋5 2.

故x ＋y 的取值范围为[1－52，1＋52]．

8．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2

＋(y －3)2

＝6，则y

x

的最大值与最小值分别为 3＋2 2

和 3－2 2 .

设P (x ，y )，则P 点的轨迹就是圆C ：(x －3)2

＋(y －3)2

＝6. 而y x 的几何意义就是直线OP 的斜率， 设y x

＝k ，则直线OP 的方程是y ＝kx . 当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．

所以|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．

所以y x

的最大值与最小值分别为3＋22和3－2 2.

9．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，

B (5，0)，以AB 为直径的圆

C 与直线l 交于另一点D.若AB →·C

D →

＝0，则点A 的横坐标为__3__．

设A (a ，2a )，则a >0.

又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a)＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (

a ＋5

2

，a )．

由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，

y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)．

又AB →·CD →

＝0，

AB →＝(5－a ，－2a )，CD →

＝(1－a ＋52

，2－a )，

所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋5

2，2－a )＝52a 2－5a －15

2

＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3.

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3 .

(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为

2

2

，求圆P 的方程．