建立空间直角坐标系解立体几何题常用公式1

6 即所求二面角的余弦值是 。 3
题型五：异面直线的距离
例6.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。 解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z
c
A
a
B M
b
N
C
AB MN . 你能建立直角坐标系解答本题吗？
1 1 AB a c , AM (a b ), AN b c 2 4 1 1 1 MN AN AM a b c , 2 2 4 1 1 1 AB MN (a c ) ( a b c ) 2 2 4 1 2 1 2 1 1 1 | a | | c | a b a c b c 2 4 2 4 2 1 | a | b || c | 1, a c b c 0, a b , 2 1 1 1 AB MN 0 2 4 4
x
B B
C C
题型四：二面角
例五、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD, 1 SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 所成的二面角的余弦值。 2
S 1 - 1, 1, 0) ,D(0, ,0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) ,C ( 2 1 易知，面SBA 的法向量n1 AD (0, ,0), 2 1 1 CD (1, ,0), SD (0, ,1) x A 2 2
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A1 1 B1 1 M
z
D1 1
NC
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面 的法向量n ( x, y, z),由
AM n 0 AN n 0
A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N 5, 可得 N (0,4,3)
M 是底 例2 已知正三棱柱ABC ABC 的各棱长都为1，
1 面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 解2：直角坐标法 。 取 BC的中点G, 由
Z
A'
B'
C'
G
已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC, 如图建立坐标系m-xyz。则 1 1 3 1 M (0,0,0, ), N (0, , ), A( ,0,0), B (0, ,1), 2 4 2 2
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
4 得n (1,1, ) 又 AD (0,8,0), 3 | AD n | | sin |
A1 1 B1 1 M
z
NN
D1 1
C1 1
D D
A
y
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
| AD || n | | 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
C1 1
D D
A
y
x
B B
C C
即
6x 2 y 6z 0 4 y 3z 0
| sin |
| AD n | | AD | | n |
题型二：线面角
AB= 5，AD 8, 例三： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 6, M 为BC1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5
30 BD AF 所以 1与 1 所成角的余弦值为 10
A A 1 1
D1 D1
B B 1 1
By B
题型一：线线角—两线垂直 例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1D AN .
（3）求过A且与平面SND平行的平面到平面
S
SND的距离
M
A N B D
C
直角坐标系C xyz 如图所示，
设 CC1 1 则 A(1,0,0), B(0,1,0),
F11
z C1 C1 F
C
1 1 1 C F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) 所以： 2 2 2 A A 1 1 1 x AF1 ( ,0,1) , BD1 ( , ,1) 2 2 1 2 | 1| | AF1 BD1 | 30 4 | cos AF1 , BD1 | 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2
3、垂直
a b a1b1 a2b2 a3b3 0

4、求P点到平面 的距离：
PN
| PM n | |n|
，（N为垂足，M为斜足， n 为平面

的法向量）
5、求直线l与平面 所成的角：
| sin |
| PM n | | PM | | n |
，( PM l M
．
9、求法向量：①找；②求：设 a, b 为平面 内的任意两个向量，
n ( x, y, z) 为 的法向量
a n 0 可求得法向量 n 则由方程组 b n 0
题型一：线线角
异面直线AB与CD所成角： cos
| AB CD | | AB | | CD |
x
E
y
题型六：点面距离
P点到平面 的距离：
PN
| PM n | |n|
，（N为垂足，M为斜足， n 为平面

的法向量）
例七：如图△ABC是以∠B为直角三角形，SA⊥平 面ABC，SA=BC=2，AB=4，M、N、D分别是SC、 AB、BC的中点， （1）求证：MN⊥AB； （2）求二面角S-ND-A的余弦值；
应用空间向量解立体几何问题
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角与距离的问题。
建立空间直角坐标系，解立体几何题
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
BC CA CC1， F1 取A1B1、AC 1 1的中点D 1、F 1， A 1
A
C1 D1
C
B1
B
题型一：线线角 解：以点C为坐标原点建立空间
y x 0 2 解得：n2 (1,2,1) y z0 2
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
B
C
D y 设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z ), 由n2 CD, n2 SD, 得：
n1 n2 6 cos n1 , n2 , | n1 || n2 | 3
n
为

的法向量)
6、求两异面直线AB与CD的夹角：
cos
| AB CD | | AB | | CD |
7、求二面角的平面角 :
cos
n1 n2 | n1 | | n2 |
(
n1
n2
为二面角的两个面的法向量）
8、求二面角的平面角 :
cos
S 射影 S
（射影面积法）
一、常用公式：
1、求线段的长度：
AB AB x 2 y 2 z 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、平行
a || b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
1 1 3 1 MN (0, , ); AB ( , ,1) 2 4 2 2
A N
AB MN 1 1 0 0 4 4
3 1 1 1 0 ( ) 1 2 2 2 4
B
M
Y
C
X
AB MN .
题型二：线面角
例三： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 6, AD 8, AA1 6, M 为BC1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5
x
B
例二已知正三棱柱 ABC ABC 的各棱长都为1，M 是底
1 面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。
解1：向量解法 设 AB a , AC b , AA c ，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得
A' B' C'
(1)求证：A1D AM .
证明：如图建立坐标系，则
A1 B1 M
z
C1
D1
A(0,0,0), A1 (0,0, 4),
A
C
D
y
D(0,8, 0), M (5, 2, 4)
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), AM A1 D 0 A1D AM .
设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB1 0
C1 A1 B1
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
C A B
在两直线上各取点C , A, C A (1,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3