中点弦公式点差法

中点弦公式点差法
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +
\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...
其中f'(x)、f''(x)、f'''(x)等是函数在点x上的导数。

如果我们
令h等于一个小的值，那么只保留前面几项，我们可以得到近似的公式。

首先，我们考虑计算函数f(x)在点x的导数。

使用中点差分公式，
我们可以近似计算出f'(x)的值。

我们选择两个点x和x+h（h是一个非
常小的正数），并使用这两个点上的函数值来计算导数。

根据泰勒展开式，我们有：
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +
\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...
将x+h代入上式，我们得到：
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +
\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...
我们想要计算f'(x)，因此，我们需要将上式重新排列，以便得到
f'(x)的表达式。

我们将上式两边都减去f(x)，并除以h，我们可以得到：f'(x) ≈ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
这就是中点差分公式的具体表达式。

它利用了两个点的函数值来计算
一个给定点的导数近似值。

同样地，中点弦公式也可以用于计算一个函数在两个点之间的积分。

我们考虑计算函数f(x)在区间[a,b]上的积分值。

我们选择两个点a和b，并使用这两个点上的函数值来计算积分。

根据泰勒展开式，我们有：
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +
\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...
我们想要计算在区间[a,b]上的积分值，因此，我们需要将上式重新
排列，以便得到积分值的表达式。

我们将上式两边都减去f(x)，并乘以h，然后将区间[a,b]上的各个小区间加起来，我们可以得到：
\int_a^b f(x) dx ≈ \frac{h}{2} [f(a) + f(b) + 2(f(x_1) +
f(x_2) + ... + f(x_{n-1}))]
其中，x_1、x_2、..、x_{n-1}是在区间[a, b]上均匀分布的点，n
表示小区间的个数，h表示每个小区间的长度（h = \frac{b-a}{n}）。

这就是中点弦公式的具体表达式。

它利用了两个点的函数值来计算一
个函数在区间上的积分近似值。