11.5 第二型曲面积分

在有向曲面S上的第二型曲面积分.
11.5.2 第二型曲面积分的计算
设光滑有向曲面S 的方程为z=z(x, y), 曲面在坐标平面Oxy上的
投影区域为Dxy, 则
∫ ∫ R(x, y, z)dxdy =±∫ ∫ R(x, y, z(x, y))dxdy.


⑥
式中右边的正负号由有向曲面S的法线方向而定. ⑥式左边的dxdy=


①
定义11.5.1 设S是光滑的有向曲面, 其正侧的单位法向量为
n(x, y, z)=cosαi+cosβj+cosγk,
又设 F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 为定义在曲面S上的
向量函数. 若数值函数
F(x, y, z)·n(x, y, z)=P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ



⑤
⑤式右边三个单独的积分 ∫ ∫ P(x, y, z)dydz、 ∫ ∫ Q(x, y, z)dzdx


和∫ ∫ R(x, y, z)dxdy 各自都是第二型曲面积分, 它们可以分别看成三个

向量函数F(x, y, z)=P(x, y, z)i, G(x, y, z)=Q(x, y, z)j, H(x, y, z)=R(x, y, z)k
第11章
曲线积分与曲面积分
11.5 第二型曲面积分
11.5.1 第二型曲面积分的概念
曲面有可定向和不可定向之分, 需给出曲面的侧的概念.
先从一个连通曲面S开始, 设S上的每一点P处都有一个切平面, 在点P处
曲面有两个单位法向量n1和n2(=−n1). 当取定其中一个指向为正方向时, 另一
个指向就是负方向. 如果在S上的每个点P处都可以选择一个单位法向量n,
下面来考察流经有向曲面S的流量计算问题.
设一流体以流速 v(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z) k 从有向
曲面S的正侧流出(如图所示), 求单位时间内从曲面S正侧流出的总流量E.
在有向曲面S上任取一小块曲面ΔS, 其面积记为ΔA, 并在ΔS上任取
法线方向为有向曲面S的正侧的法线方向. 如, 椭球面
具有外法线方向的一侧称为封闭曲面的外侧, 具有
内法线方向的一侧称为内侧; 又如曲面z=z(x, y) 其法线
方向与z轴正向夹角为锐角的一侧称为上侧, 而夹角为
钝角的一侧称为下侧; 类似地,曲面y=y(x, z)也有左右侧
曲面x=x(y, z)也有前后侧之分.
从有向曲面正侧流出的流量也可以表示为
E=∫ ∫ P(x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy.

根据第二型曲面积分的性质, ④式又可表示为
∫ ∫ P(x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy

=∫ ∫ P(x, y, z)dydz+∫ ∫ Q(x, y, z)dzdx+∫ ∫ R(x, y, z)dxdy.
方向n(x, y, z)的分量. 于是, 相应的流量微元为
dE=v(x, y, z)·n(x, y, z)dA=[P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ]dA,
故 E=∫ ∫ v(x, y, z)·n(x, y, z)dA=∫ ∫ [P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ]dA.
cosγdA是有向曲面的面积微元n(x, y, z)dA在坐标平面Oxy上的有向投影,
其值可正可负, 而右边的dxdy=dσ是曲面在坐标平面Oxy上的投影区域
一点M(x, y, z), 有向曲面S的正侧在点M处的单位法向量记为
n(x, y, z)=cosαi+cosβj+cosγk,
当ΔS充分小时, 单位时间内从ΔS正侧流出的流量近似为
ΔE ≈ [v(x, y, z)·n(x, y, z)]ΔA,
其中v(x, y, z)为在点M处的流速, v(x, y, z)·n(x, y, z)为速度v(x, y, z)沿法线
使得n在S上连续变化, 那么S称为双侧曲面, 否则, 称S为单侧曲面.
接下来看一个著名的单侧曲面的例子—麦比乌斯(Möbius)带(如图所示).
本章所讨论的曲面都是双侧曲面.对于光滑的双侧曲面S, 可以规定
其某侧是该曲面的正侧, 另一侧就是该曲面的负侧. 规定了正负侧的
双侧曲面称为有向曲面.
若S是有向曲面, 则取其中从负侧进、正侧出的
඾ F(x, y, z)·n(x, y, z)dA = ඾ [P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ]dA.


③
容易看出, 当S为光滑曲面, F(x, y, z)的三个分量函数P(x, y, z)、
Q(x, y, z)、 R(x, y, z)在S上连续时, F(x, y, z)·n(x, y, z)在S上也连续,
在S上的第一型曲面积分 ∫ ∫ F(x, y, z)·n(x, y, z)dA

=∫ ∫ [P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ]dA

②
存在, 则称此积分为向量函数F(x, y, z)在有向曲面S上的第二型曲面积分.
当S为封闭的光滑有向曲面时, 习惯上又把②式中的积分记作
从而F(x, y, z)在有向曲面S上的第二型曲面积分存在.
第二型曲面积分也有与第二型曲线积分相类似的性质.
若记 dydz=cosαdA,
dzdx=cosβdA,
dxdy=cosγdA,
它们分别是有向曲面的面积微元n(x, y, z)dA在坐标面Oyz、 Ozx、
Oxy上的有向投影, 其值可正可负.于是第二型曲面积分②可记为
∫ ∫ F(x, y, z)·n(x, y, z)dA=∫ ∫ P(x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy.


通常,称④式右边的第二型曲面积分为关于坐标的曲面积分.
④
于是, 流速为v={P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,)}的流体单位时间内