“构造法”的高中数学解题思路探索

“构造法”的高中数学解题思路探索
摘要：构造法是一种传统的数学思想方法。

构造是给需要解决的问题提供一
个框架。

框架的含义非常广泛，可以是一个图形、一个方程、一个函数或一种算法。

构造法运用的主要数学方法是化归，化归的目的是将一个不熟悉的问题A转
化成熟悉的问题B，再解决问题。

基于此，本文章对“构造法”的高中数学解题
思路探索进行探讨，以供相关从业人员参考。

关键词：构造法；高中数学；解题应用
引言
构造法就是根据数学问题条件或者结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或者数学模型。

将抽象的问题具
象化，使学生快速理解题目，从而有效提高学生的数学解题能力和课堂效率。

一、构造法的基本内涵
根据对高中数学解题方法展开的大量实际调查研究能够知道，在解决高中数
学问题的过程中，运用构造的思维和方法，能够在很大程度上降低数学题的难度。

对数学问题的题干进行梳理、对内容进行分析，结合新的函数、方法、图形等手段，将原本抽象、复杂、模糊的数学问题变得具体、简单、清晰，使学生通过解
决多个简单的数学问题将一个复杂的数学问题有效解决，这就是构造发挥作用的
具体流程。

在利用构造方法解决数学问题的过程中需要注意，构造出的数学函数、方法、图形等必须具备以下几个特点，第一，必须能够与原题之间保持有效的联系。

第二，必须保证构建出的函数、方法、图形具有的解题难度比原有解决方法
的难度小。

第三，构造出的函数、方法、图形在周期性、奇偶性、单调性、值域
等方面必须与题目相符，这样能够有效杜绝构造错误的情况发生。

第四，要结合
题目的内容进行对应函数、方法、图形的构造。

除此之外，在进行函数、方法、
图形构造的过程中还需要注意，要对命题的条件、结论、特点等进行分析，通过
提取出其中的逻辑、构想等，依照题目条件进行重新组合，从而得出解题所需要
的构造。

二、高中数学解题应用构造法应注意的情况
首先，应注重对学生观察能力的培养。

构造法属于创新思维方法，需要学生
在细致观察中灵活调用所学知识。

教师在教学指导中，应鼓励学生主动观察，为
学生创设发现问题的情境，并结合问题渗透数学定理、解决数学难题的事例，融
入一些富有趣味性的练习，让学生通过自己的观察、分析，发现题目之间的联系，并激发其主动构造的兴趣，提高观察能力。

其次，教师应注重对学生思维发展过
程的培养。

构造法的运用是思维不断深化发展的过程，教师在教学设计中应精心
编创问题，促使学生多角度地思考，经历假设分析、举例验证、反问推理等一些
列抽象思考过程，让思路从思维定势的框架中跳出来，用一种全新的思维方式解
答问题；此外，教师还应结合例题启发学生思考，鼓励学生表达，并在手脑口并
用中加深印象，深化学生对数学知识的思考与应用，同时提升学生的思维品质。

最后，教师应注重对学生总结反思能力的培养．根据上述类型题举例可以看出构
造法的应用范围之广，教师在教学指导中，应启发学生对多接触的典型习题进行
总结。

San、“构造法”的高中数学解题应用
（一）构造法在图形解题中的运用
高中数学知识学习过程中，数形结合是非常重要的数学思想，被大量使用在
各种类型的数学题目当中，学生通过图形构造法可以帮助认识到问题的关键所在，例如运用构造直角三角形来解决函数中的一些常出现的问题。

直角三角形有其直
角的特点常常被用在解决数学问题中，帮助学生将抽象的问题变的具象化。

例如:已知a，b，C∈R+求证：
分析：通过观察我们可以发现，不等式左边每一项根号里都含有余弦定理的
形式，因此考虑构造三角形。

由于不等式是轮换对称的，故而只需要取一个来构
造就可以了。

证明：
作如下图的三角形
AC为∠BAD的角平分线。

设AB=a，AD=b，∠ACB=θ,则
由正弦定理得
各式相加即得
（二）构造数列
数列模型具有一定的规律性，其在解题中能够更加清晰地呈现问题特点。

在教学指导中，教师可以结合相应问题，指导学生构造等差数列或等比数列，利用数列性质进行解题。

例如，对一切大于1的自然数，证明：
证明：构造数列
则
若能证明，问题得证。

上式等价于
一种方法是把上式化为多项式不等式，思路是简单的，计算也不复杂。

另一种方法是将上式变形为
由伯努利不等式（1+x）²+>1+2x立即得到。

即证毕。

（三）利用积(商)的求导法则构造函数
例如f(x)与幂函数的组合。

设f(x)是定义在Ｒ上的偶函数。

（1）当x＜0时，f(x)+xf'(x)＜0，且f(－4)=0，则xf(x)＞0的解集为；
（2）当x＜0时，xf'(x)－f(x)＞0，且f(1)=0，则f(x)＞0的解集为。

分析
由题设条件中的不等式，结合函数积商的求导法则及幂函数求导公式逆向思维，可构造出合适的新函数解决问题。

解（1）构造F(x)=xf(x)，则F'(x)=f(x)+xf'(x)．所以当x＜0时，F'(x)＜0，F(x)在(－∞，0)单调减，又f(x)为偶函数，易知F(x)为奇函数，故F(x)在(0，+∞)也单调减，由条件可知F(－4)=0，根据F(x)的图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)。

（四）构造“轮换”型对偶式
在证明某些不等式时，可以根据不等式的结构特征，构造一些和它有内在联系的辅助对偶式或构造对偶不等式，然后经过运算，完成对难点的突破，促使问题的转化和解决。

在形如等这类分式函数中，可构造类似的“定值”型对偶式解题。

在复数领域中，也往往会遇到“共轭”型对偶思想;在二项式定理有关展开式奇偶项系数和问题中，也会有“奇偶”型对偶思想的影子;在三角函数中有大量的“互余”型对偶;在数列中有“递推“型对偶;在圆锥曲线中，特别是椭圆和双曲线问题中，也存在着诸多“定义”型、“性质”型对偶思想。

因此，学生若能将所学知识进行有效整合，构造对偶思想分析问题，根据不同条件构造相应的对偶式帮助解题，则可谓是对高中数学的一个深层次学习。

（五）构造方程
例如已知a，b，c∈1，求证：(b-2a+c)²≥3(a-2b+c)(a-c)
证明：a=c时不等式显然成立。

将不等式变形为
2[(b-2a+c)]²≥12(a-2b+c)(a-c)，
则式[2(b-2a+c)]²-12(a-2b+c)(a-c)
当a≠c时，可以看作一元二次方程
3(a-c)x²+2(b-2a+c)x+a-2b+c=0（1）的判别式。

观察知道x=1是（1）的一个根，因此判别式
[2(b-2a+c)]²-12(a-2b+c)(a-c)≥0
即(b-2a+c)²≥3(a-2b+c)(a-c)≥0
等号成立的条件是即a+b=2c。

结束语
综上所述，教师应该引导学生熟练掌握构造法并且会灵活运用在各种题型当中，帮助学生从多角度去考虑解题思路，上述例子都在说明在面对按照定向，按
照常规难以解决的情况下做出改变，开拓更多的数学解题思维，降低题目的难度，使抽象的数学题目变得更加直观具象，单一型转变为多角度，有效提高数学解题
的效率。

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