2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试(文科数学)参考答案

已知数列{an}的首项 a1
=
2 3
， an+1an
+
an+1
=
2an
(an
0, n N*) ．
（1）证明：数列{ 1 −1}是等比数列； an
（2）数列
n {
an
}
的前
n
项和
Sn
．
解：（1） an+1an + an+1 = 2an (an 0, n N*) ，
1 = an +1 = 1 + 1 1 ， an+1 2an 2 2 an
f
( x1 )
=
(1 +
a ) ex1 x1
=
(1 −
x2 ) ex1
，
f
(x2 )
= (1− x1) ex2
，
所以 ln f (x2 ) = ln(1− x1) ex2 = ln(1− x1) + x2 ，
ln f (x1) = ln(1− x2) ex1 = ln(1− x2) + x1 ，
所以 ln
所以 f (x) 在 (− , x1) 上是增函数， 在 (x1 , 0) 是减函数.
……………3 分
由 f (x) = (1+ a )ex = x + a ex 可知，
x
x
当 x = −a 时， f (x) = 0 ，当 x −a 时， f (x) 0 ，当 −a x 0 时， f (x) 0 ，
即1 an
=
1 2n
+1，
n an
=
n 2n
+n．
…………………………9 分
设 Tn
=
1 2
+
2 22
+
3 23
+…+
n 2n
，
①
则
1 2
Tn
=
1 22
+
2 23
+
…
+
n −1 2n
+
n 2n+1
，②
由① − ②得
1 2 Tn
=
1 2
+
1 22
+
…
+
1 2n
−
n 2n+1
=
1 2
(1 −
1 2n
)
当 x [130,150]时，由T = 65 57 ，
………………5 分
所以，利润T 不少于 57 万元当且仅当120 x 150 ，于是由频率分布直方图可知市场
需求量 x 120,150的频率为 (0.030 + 0.025 + 0.015)10 = 0.7，
所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为 0.7 ，…………7 分
f (x2 ) − ln x2 − x1
f (x1)
=
ln(1− x1) + x2 − ln(1− x2 ) − x1 x2 − x1
=
ln(1− x1) − ln(1 （1− x1)-(1−
− x2 x2 )
)
+1，
又1+ 2 =1+
2
=1+
2
，
a+2
−(x2 + x1) + 2
(1− x1) + (1− x2 )
100 x 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销
售季度内经销该商品获得的利润．
（1）将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式；
（2）根据直方图估计利润T 不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小
而 x [100,130) 时，对应的频率为
………………10 分
(0.01+ 0.02 + 0.3) 10 = 0.6 0.5 ，
因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间[120,130) ，于是估计中位数应
为120 + (0.5 − 0.1− 0.2) 0.03 126.7 （吨）………12 分
……………6 分
（2）设直线 BM 的斜率为 k ， M (x0 , y0 ) ，则
k = y0 ， k = y0 ，
x0 + 2
x0 − 2
∴k
k
=
y02 x02 − 4
，………………………………………………………………………9
分
又
x02 4
+
y02
= 1，∴
x02
=
4 − 4y02
，
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 5 页（共10页）
a ] 上的有最小值，其最小值为
f
(−
a)
=
−a
−e 2
.
2
2
……6 分
（2）由（1）可知，当 a 0 时函数 f (x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，
且 x1 ， x2 是方程 x2 + ax − a = 0 的两根，
所以 x1 + x2 = x1x2 = −a ，且 x1 x2 1 ，
因为 −a − x1 = −a − −a −
a2 + 4a = −a + 2
a2 + 4a 0 ， 2
所以 x1 −级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 6 页（共10页）
又函数在
( x1
,
0)
上是减函数，且
x1
−a
−
a 2
0
，
所以函数在区间 (
− , −
∴ AD / / BC 且 AD = 1 BC ，…………………………4 分
M
N D
2
A
∴ AD / /MN 且 AD = MN ，
∴四边形 AMND 为平行四边形，
∴ AM / /DN ，
…………………………5 分 B
C
∵ AM 平面 SCD ， DN 平面 SCD ，
∴ AM / / 平面 SCD ．
∴k k = − 1 ， 4
∵ k (− 1 , − 1) ， 23
∴ 1 k 3 ，
2
4
故直线 BM 的斜率的取值范围为 ( 1 , 3) .…………………………………………………12 分 24
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) = (1+ a ) ex （ e 为自然对数的底数），其中 a 0 ． x
绝密★启用前
试卷类型：（A）
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1. C
2. C
3. D
4. C
5. B
6. D
7. B
8. A
9. B
10. C
11. D
12. B
二、填空题：
1
13.
4
14. 32
15. − 1 9
16. 8 πr3 . 3
17．（本小题满分 12 分）
|
=
|
MF1
2 ||
MF2
|
−1
|
MF1
|
2 +| 2
MF2
|
2
−1 =
−
1 2
，……………4
分
∵ 0 F1MF2 π ，
∴
F1MF2
的最大值为
2π 3
，此时 |
MF1
|=|
MF2
|
，
即点
M
为椭圆
C
的上顶点时，
F1MF2
取最大值，其最大值为
2π 3
.……………5
分
根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时，AMB 取最大值，其最大值为 2π . 3
:
x2 4
+
y2
=1，
F1 、
F2
分别是椭圆 C
的左、右焦点， M
为椭圆上的动点.
（1）求 F1MF2 的最大值,并证明你的结论；
（2）若 A 、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为 k ，且 k (− 1 , − 1) ， 23
求直线 BM 的斜率的取值范围. 解：（1）由椭圆的定义可知| MF1 | + | MF2 |= 4 ，
（保留到小数点后一位）．
0.030
0.025 0.020 0.015 0.010
需求量(x/t)
2020 年深圳市普通高中高三年级第0二次线上10统0 一11测0 试1（20文1数30）1参40考1答50案第 2 页（共10页）
解:（1）当 x 100,130) 时，T = 0.5x − 0.3(130 − x) = 0.8x − 39 ； ……1 分
a+2
解：（1）由条件可函数 f (x) 在 (−, 0) 上有意义，
f
( x)
=
x2
+ ax x2
−a
ex
，
令 f (x) = 0 ，得 x1 = −a −
a2 2
+ 4a
， x2
=
−a +
a2 + 4a ， 2
因为 a 0 ，所以 x1 0 ， x2 0 .
所以当 x (− , x1) 时， f (x) 0 ， 当 x (x1 , 0) 上 f (x) 0 ，
…………………………6 分
（2）∵ AB = SA = 1 ， M 为 SB 的中点，
∴ AM ⊥ SB ，
…………………………8 分
∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ BC ， ∵ ABC = BAD = 90 ， ∴ BC ⊥ AB ， ∴ BC ⊥ 平面 SAB ， ∴ BC ⊥ AM ，
1− 1
−
n 2n+1
=1−
1 2n
−
n 2n+1
，
2
Tn
=
2−
1 2n−1
−
n 2n
．又1+ 2 + 3 + … +n
=
n(n +1) 2
．
数列{ n } 的前 n 项和 an
Sn
=
2−
2+n 2n
+
n(n +1) 2
．
……12 分
18．（本小题满分 12 分）
随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种
……………9 分
由（1）可知1− x1 1− x2 0 ，
设 m = 1− x1 ， n = 1− x2 ，则 m n 0 ，
2
2
∴ BE = SB BC = 2 2 = 2 3 ，
SC
63
即点 B 到平面 SCD 距离为 2 3 .…………………………12 分 3
（三棱锥体积法参照给分） 20．(本小题满分 12 分)
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 4 页（共10页）
已知椭圆 C
（3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为
x = 105 0.1+115 0.2 +125 0.3 +135 0.25 +145 0.15 = 126.5 （吨）……9 分 由频率分布直方图易知，由于 x [100,120) 时，对应的频率为
(0.01+ 0.02) 10 = 0.3 0.5 ，
当 x 130,150时，T = 0.5130 = 65 ，
所以，
………………………………2 分
T
=
0.8x − 39, 65, 130
100 x x 150.
130,
………………………………………3 分
（2）根据频率分布直方图及（1）知，
当 x [100,130) 时，由T = 0.8x − 39 57 ，得120 x 130 ， …………4 分
M D
A
B
C
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 3 页（共10页）
证明：（1）取 SC 的中点 N ，连结 MN 和 DN ，
∵ M 为 SB 的中点，
S
∴ MN / / BC 且 MN = 1 BC ，…………………………2 分
2
E
∵ ABC = BAD = 90 ， AD =1， BC = 2 ，
商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的商品，每
1吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图
如 图 所 示 ． 已 知 电 商 为 下 一 个 销 售 季 度 筹 备 了 130 吨 该 商 品 ． 现 以 x （ 单 位 ： 吨 ，
19．(本小题满分 12 分)
如 图 所 示 ， 四 棱 锥 S − ABCD 中 ， SA ⊥ 平 面 ABCD ， ABC = BAD = 90 ， AB = AD = SA = 1， BC = 2 ， M 为 SB 的中点．
（1）求证： AM / / 平面 SCD ；
S
（2）求点 B 到平面 SCD 的距离．
（1）在区间 ( − , − a ] 上， f (x) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 2
请说明理由．
（ 2 ） 若 函 数 f (x) 的 两 个 两 个 极 值 点 x1, x（2 x1 x2 ) ， 证 明 ：
ln f (x2 ) − ln f (x1) 1+ 2 .
x2 − x1
∴ AM ⊥ 平面 SBC ，
由（1）可知 AM / /DN ， ∴ DN ⊥ 平面 SBC ， ∵ DN 平面 SCD ，
∴平面 SCD ⊥ 平面 SBC ，…………………………10 分
作 BE ⊥ SC 交 SC 于 E ，则
BE ⊥ 平面 SCD ，
在直角三角形 SBC 中，有
1 SB BC = 1 SC BE ，
1 −1 = 1 ( 1 −1) ，
an+1
2 an
…………………………4 分
又
a1
=
2 3
，
1 a1
−1
=
1 2
，
数列{ 1 −1}是以 1 首项， 1 为公比的等比数列．…………………………6 分
an
2
2
（2）由（1）知
1 an
−1 =
1 2
1 2n−1
=
1 2n
，
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页）
在 F1MF2 中，由余弦定理，可得
cos F1MF2
=
|
MF1
|2 + | MF2 |2 − | F1F2 2 | MF1 | | MF2 |
|2
( =
|
MF1
|
+
|
MF2
|)2 −
|
F1F2
|2
−2
|
MF1