初一-第04讲-完全平方公式与整式的除法(培优)-学案

学科教师辅导讲义
学员编号：年级：七年级课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课主题第04讲---完全平方公式与整式的除法
授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结
教学目标
①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进
行计算。

②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架
二、知识概念
（一）完全平方公式
1、完全平方公式：
222
()2
a b a ab b
+=++
222
()2
a b a ab b
-=-+
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：
（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；
（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二体系搭建
项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同； （3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。

（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②()2222a b a b ab +=-+ ③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+- 2、完全平方公式的几何意义
①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++ ②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有
222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+
3、完全平方公式的应用。

完全平方式：形如2()a b +或者2()a b -的叫做完全平方式。

完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。

会涉及完全平方公式的变形公式。

（二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。

考点一：完全平方公式
例1、下列计算正确的是（ ） A ．（a +2b ）（a ﹣2b ）=a 2﹣2b 2
B ．（2x +3）2=4x 2+9
C ．（a ﹣4b ）2=a 2﹣8ab +4b 2
D ．（﹣y ﹣5）2=y 2+10y +25
例2、（1）已知a +b=﹣5，ab=﹣6，求（a ﹣b ）2的值
典例分析
（2）已知a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=﹣5，求（a2+b2）﹣ab的值
（3）（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求a2+b2和a2﹣ab+b2的值
例3、计算：
（1）2（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x）（2）﹙x2+4﹚2﹣16x2 （3）（x+y）2﹣（x﹣y）2 （4）（4x2﹣y2）[（2x+y）2+（2x﹣y）2] （5）（x﹣y）2（x+y）2（x2+y2）2 （6）（2x+y﹣1）2
例4、阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值
解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0
∴，即
∴==32+2=11
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7
求：（1）的值（2）的值
例5、若4x2﹣（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，则a=．
例6、阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
考点二：完全平方公式的几何意义
例1、如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个
全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
例2、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）
A．2 cm2B．2a cm2C．4a cm2D．（a2﹣1）cm2
例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．
①根据图2写出一个等式：；
②已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
考点三：整式的除法
例1、计算：（12x3﹣8x2+16x）÷（﹣4x）的结果是（）
A．﹣3x2+2x﹣4 B．﹣3x2﹣2x+4 C．﹣3x2+2x+4 D．3x2﹣2x+4
例2、若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为
例3、计算：
（1）（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）（2）[（3a+b）2﹣b2]÷a （3）（6x3y2﹣9x2y3）÷（﹣xy）（4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab （5）（3a2b3c4）2÷（﹣a2b4）
例4、（1）已知（a m b n）3÷（ab2）2=a4b5（a、b均不等于1和-1），求m、n的值
（2）小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x2﹣5xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？
例5、已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值
P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练
➢课堂狙击
1、下列计算正确的是（）
A．（﹣x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2B．（4x+1）2=16x2+8x+1
C．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 D．（a+2b）2=a2+2ab+4b2
2、已知x2﹣8x+1=0，求x2+﹣2的值
3、已知（2004﹣a）（2002﹣a）=2003，求（2004﹣a）2+（2002﹣a）2的值
4、已知（x+y）2=4，（x﹣y）2=10，求x2+y2和xy的值
5、计算：
（1）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2（2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2
（3）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（2x﹣3y）2（4）（3x﹣2y）2﹣（4y﹣3x）（3x+4y）；
6、计算：
（1）（﹣12）2×10﹣6÷（2×105）（2）
（3）（﹣9a3b2）3×（﹣4a2b3）2÷（﹣6a4b4）（4）
（5）（6）（﹣a4÷a2）2+（﹣2a）3a2+（﹣a2）4÷a3 7、若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4，求的值．
8、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（）
A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a2+b2=（a+b）2
9、求a=，b=﹣3时，代数式（﹣a2b3）2÷（﹣ab）÷（ab3）
的值
10、小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为是乘以，结果是8a4b﹣4a3+2a2，你能知道正确的结果是多少吗？
11、把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
➢课后反击
1、下列计算中，正确的是（）
A．（x﹣1）2=x2﹣2x﹣1 B．（2a+b）2=2a2+4ab+b2
C．（3x+2）2=9x2+6x+4 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2
2、下列四个算式：
①；② 16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c；
③ 9x8y2÷3x3y=3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）=﹣6m2﹣4m+2．
其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3、计算：
（1）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9）（2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）（3）（2a+3b）2﹣（2a﹣b）（2a+b）（4）（a﹣2b+3c）2
（5）（a8﹣b8）÷（a4+b4）÷（a2+b2）（6）（﹣x m+1+x m+x m﹣1）÷（x m﹣1）
4、某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）=+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？
5、x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值
6、化简求值
（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y），其中
（2）（3a﹣b）2﹣3（2a+b）（2a﹣b）+3a2，其中a=﹣1，b=2
7、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如上图可以用来解释（a+b）
2=a2+2ab+b2
请构图解释：（1）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
1、【2015 武汉】运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）
A．x2+9 B．x2﹣6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
2、【2015 枣庄】图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
3、【2006 宁波】长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示．利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式
S(Summary-Embedded)——归纳总结
直击中考
（一）完全平方公式
1、完全平方公式： 222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数
的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：
（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”
不同；
（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平
方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；
（3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。

（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②
()2222a b a b ab +=-+
③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+-
1、完全平方公式的几何意义
①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++
②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+
2、完全平方公式的应用。

完全平方式：形如2()a b +或者2()a b -的叫做完全平方式。

➢ 本节课我学到了
重点回顾
名师点拨
学霸经验
➢我需要努力的地方是。