2002年甘肃省兰州市中考数学试卷

2002年甘肃省兰州市中考数学试卷
一、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）
1．（3分）（2002•兰州）下列各式中，不正确的是（）
A．
cos30°=B．
sin30°=
C．t an60°=D．c ot45°=1
2．（3分）（2002•兰州）函数y=的图象一定通过点（）
A．（0，0）B．（0，4）C．（4，1）D．（4，0）
3．（3分）（2002•兰州）点P（﹣1，3）关于y轴对称的点是（）
A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣3，1）
4．（3分）（2002•兰州）如图，A、B、C三点是⊙O上的点，∠ABO=55°，则∠BCA为（）
A．70°B．50°C．45°D．35°
5．（3分）（2002•兰州）函数y=中自变量的取值范围是（）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞3
6．（3分）（2002•兰州）如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，则∠EOF为（）
A．80°B．100°C．120°D．140°
7．（3分）（2002•兰州）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为（）
A．24πB．12πC．6πD．2π
8．（3分）（2002•兰州）如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=（）
A．140°B．135°C．130°D．125°
9．（3分）（2002•兰州）四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（）
A．B．C．D．
10．（3分）（2002•兰州）⊙O1和⊙O2的直径分别为8cm和6cm，圆心距O1O2为2cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数是（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
11．（3分）（2002•兰州）某人骑自行车沿直线旅行，先前进了akm，休息了一段时间后又按原路返回bkm（b＜a），再前进ckm，则此人离出发点的距离s与时间t的关系示意图是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
12．（2分）（2002•兰州）当m=_________时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根．
13．（2分）（2002•兰州）已知点M （a+1，2﹣a）的位置在第一象限，则a的取值范围是_________．14．（2分）（2002•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则cosA=_________．
15．（2分）（2002•兰州）已知函数y=（m2﹣1），当m=_________时，它的图象是双曲线．
16．（2分）（2002•兰州）当x=5时，函数y=﹣的值是
_________．
17．（2分）（2002•兰州）圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为_________．
18．（2分）（2002•兰州）在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣2的结果是_________．
19．（2分）（2002•兰州）如图，已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，则∠O1AB=_________度．
20．（2分）（2002•兰州）半径为20的⊙O1和半径为15的⊙O2相交于A、B两点，AB=24，则两圆的圆心距O1O2= _________．
21．（2分）（2002•兰州）某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：
万元/吨）之间的函数图象是线段（如图所示），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是_________吨时，所获毛利润最大（毛利润=销售额﹣费用）．
三、解答题（共13小题，满分67分）
22．（4分）（2002•兰州）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．
23．（5分）（2005•广州）解方程组：
24．（6分）（2002•兰州）已知一次函数y=kx+2k+4，当x=﹣1时的函数值为1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）这个函数的图象不经过第几象限？
（3）求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标．
25．（6分）（2002•兰州）已知如图，所对弦AB=，弓形的高CD为4，求这个弓形ACB的面积．
26．（2002•兰州）附加题：已知，等腰△ABC内接⊙O，顶角为120°，⊙O的半径为cm，求底边BC的长．
27．（7分）（2002•兰州）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=﹣x+8．
（1）若一次函数和反函数的图象交于点（4，m），求m和k；
（2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点；
（3）设（2）中的两个交点为A、B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？
28．（6分）（2002•兰州）A、B两地相距12千米，甲、乙两人同时从A地出发步行到B地，甲比乙每小时多走2千米，结果甲比乙早到1小时，求甲、乙两人每小时各走几千米？
29．（7分）（2002•兰州）某地长途公共汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）旅客甲携带行李28千克，问是否要购买行李票，若要购买需多少元，若不要购买行李票？试说明理由．
30．（2002•兰州）附加题：现有总长为8m的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛（如图），当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大并求最大面积．
31．（6分）（2002•兰州）为了培养学生的环境保护意识，某校组织课外小组对该市作空气含尘调查，下面是一天每隔2小时测得的数据：0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03（单位：克/立方米）．（1）求出这组数据的众数和中位数；
（2）若国家环保局对大气飘尘的要求为平均值不超过每立方米0.025克，问这天该城市的空气质量是否符合国家环保局的要求？
（3）为了提高该城市的空气质量，请你提出两条建议．
32．（8分）（2002•兰州）如图这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有O、A 两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰视角为α、β，OA=2米，tanα=，tanβ=，位于点O正上方2米处的D
点发射装置，可以向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中E点）．
（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C．
33．（6分）（2002•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC 于E．
求证：（1）AE=CE；
（2）CD•CB=4DE2．
34．（6分）（2002•兰州）已知如图⊙O1与⊙O2交于A、B，P、Q为⊙O1上两点，PA的延长线交⊙O2于M，PB交⊙O2于F，QA、QB的延长线交⊙O2于E、N．
求证：EF∥MN．
2002年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）
1．（3分）（2002•兰州）下列各式中，不正确的是（）
A．
cos30°=B．
sin30°=
C．t an60°=D．c ot45°=1
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据特殊角的三角函数值进行逐一判断即可．
解答：
解：A、cos30°=，错误；
B、sin30°=，正确；
C、tan60°=，正确；
D、cot45°=1，正确．
故选A．
点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．
2．（3分）（2002•兰州）函数y=的图象一定通过点（）
A．（0，0）B．（0，4）C．（4，1）D．（4，0）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
根据y=得k=xy=4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于4，就在函数图象上．
解答：
解：因为函数y=的图象上的点都符合xy=4，故四个选项中只有C符合条件．
故选C．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．（3分）（2002•兰州）点P（﹣1，3）关于y轴对称的点是（）
A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣3，1）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：由题意可分析可知，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解答：解：根据轴对称的性质，得点P（﹣1，3）关于y轴对称的点是（1，3）．
故选C．
点评：本题考查了好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（3分）（2002•兰州）如图，A、B、C三点是⊙O上的点，∠ABO=55°，则∠BCA为（）
A．70°B．50°C．45°D．35°
考点：圆周角定理．
分析：根据等边对等角可求得∠OAB的度数，再根据三角形内角和定理可得到∠O的度数，最后根据圆周角定理解答：解：∵AO=OB，∠ABO=55°
∴∠OAB=∠OBA=55°
∴∠O=180°﹣2∠ABO=70°
∴∠C=∠O=35°．
故选D．
点评：本题利用了等边对等角，三角形内角和定理，圆周角定理求解．
5．（3分）（2002•兰州）函数y=中自变量的取值范围是（）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞3
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：x+3＞0，
解得：x＞﹣3．
故选A．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．
6．（3分）（2002•兰州）如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，
则∠EOF为（）
A．80°B．100°C．120°D．140°
考点：三角形的内切圆与内心．
分析：首先根据三角形的内角和定理，得∠A=80°，再根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理，得∠EOF=10解答：解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，
∴∠A=80°，
∴∠EOF=180°﹣80°=100°．
故选B．
点评：此题要熟练运用切线的性质定理、四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理．
7．（3分）（2002•兰州）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为（）
A．24πB．12πC．6πD．2π
考点：扇形面积的计算．
分析：已知了扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解．
解答：
解：扇形的面积为==6π．
故选C．
点评：
本题考查扇形的面积公式=．
8．（3分）（2002•兰州）如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=（）
A．140°B．135°C．130°D．125°
考点：三角形的内切圆与内心；三角形内角和定理．
分析：先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
解答：解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°﹣∠A）=（180°﹣70°）=55°，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．
故选D．
点评：本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．
9．（3分）（2002•兰州）四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积
是（）
A．B．C．D．
考点：圆内接四边形的性质；解直角三角形．
分析：根据AB=，BC=2，∠ABC=45°可以推出BC是圆的直径．
过A作AF⊥BC于F，可以得到AF=BF=1，∠BAF=∠CAF=45°．
在直角三角形BCD中，由CD=1，BC=2可以得到∠DBC=30°，∠BCD=60°．
过D作DE⊥BC于E，可以求出DE=；过D作DH⊥AF于H，接着求出AH，DH，然后就可以求出
三角形AHD的面积，三角形ABF的面积，矩形DHFE的面积，三角形EDC的面积，最后即可求出四
边形ABCD的面积．
解答：解：如图，过A作AF⊥BC于F．
∵AB=，∠ABC=45°，
∴BF=AF=1，
而BC=2，
∴F为CB中点，
∴AC=，∠BAC=90°，
∴BC应该是圆的直径，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
∴∠BDC=90°．
∴直角三角形BCD中，CD=1，BC=2，
∴∠DBC=30°，∠BCD=60°．
过D作DE⊥BC于E．
∴DE=，
过D作DH⊥AF于H，
∴AH=．
DH=CF﹣CE=1﹣1.5=0.5，
∴S△AHD=．
而S△ABF=，S矩形DHFE=，S△EDC=，
∴S四边形ABCD=S△ABF+S△AHD+S△DEC+S矩形DHFE=．
故选D．
点评：此题首先通过作辅助线把一般四边形的面积问题转换为几个规则图形的面积的和差，此题关键是根据边的长和角的度数来得出特殊三角形从而求出四边形的面积．
10．（3分）（2002•兰州）⊙O1和⊙O2的直径分别为8cm和6cm，圆心距O1O2为2cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数
是（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
考点：圆与圆的位置关系．
专题：压轴题．
分析：根据圆的半径和圆心距可以确定两圆的位置关系，进而就可确定公切线的条数．
解答：解：⊙O1和⊙O2的直径分别为8cm和6cm，则两圆半径分别为3，4cm，
∵4﹣3=1，3+4=7
∴1＜2＜7
所以两圆相交，只有2条公切线．故选B．
点评：本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间求解．
11．（3分）（2002•兰州）某人骑自行车沿直线旅行，先前进了akm，休息了一段时间后又按原路返回bkm（b＜a），再前进ckm，则此人离出发点的距离s与时间t的关系示意图是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：压轴题．
分析：应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回bkm，再前进ckm，解答：解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；
又按原路返回bkm，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；
C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除C．
故选B．
点评：本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
12．（2分）（2002•兰州）当m=±4时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根．
考点：根的判别式．
分析：若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
解答：解：∵方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，
∴△=m2﹣4×4=0，
即m2=16，
∴m=±4．
故本题答案为：±4．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．（2分）（2002•兰州）已知点M（a+1，2﹣a）的位置在第一象限，则a的取值范围是﹣1＜a＜2．
考点：点的坐标；解一元一次不等式组．
分析：点在第一象限内，那么横坐标大于0，纵坐标大于0．先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解答：解：∵点M（a+1，2﹣a）在第一象限，
∴，
根据“小大大小中间找”原则，解得：﹣1＜a＜2．
点评：主要考查了平面直角坐标系中第一象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限
（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．（2分）（2002•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则cosA=．
考点：互余两角三角函数的关系．
分析：根据锐角三角函数概念可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosA=sinB=．
点评：熟练运用互为余角的锐角三角函数关系式进行计算．
15．（2分）（2002•兰州）已知函数y=（m2﹣1），当m=0时，它的图象是双曲线．
考点：反比例函数的定义．
分析：
根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令m2﹣m﹣1=﹣1、m2﹣1≠0即可．
解答：解：依题意有m2﹣m﹣1=﹣1，
所以m=0或1；
但是m2﹣1≠0，
所以m≠1或﹣1，即m=0．
故m=0时图象为双曲线．
故答案为：m=0．
点评：此题考查了反比例函数的概念和图象的基本性质，难易程度适中．
16．（2分）（2002•兰州）当x=5时，函数y=﹣的值是﹣2．
考点：函数值．
专题：计算题．
分析：
将x=5代入函数y=﹣中即可求得y的值．
解答：解：当x=5时，
原式=﹣=﹣2．
点评：本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
17．（2分）（2002•兰州）圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为2πa．
考点：正多边形和圆．
分析：先利用内接正六边形边长为a求出圆的半径，然后利用周长公式计算周长．
解答：解：正六边形边长为a，
正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，
而正多边形的外接圆的半径是a，
因而圆的周长是2πa．
点评：本小题考查了正六边形与圆的面积计算．
18．（2分）（2002•兰州）在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣2的结果是（x﹣2+）（x﹣2﹣）．
考点：实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．
分析：因为x2﹣4x﹣2=0的根为x1=2﹣，x2=2+，所以x2﹣4x﹣2=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．
解答：解：x2﹣4x﹣2=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．
点评：先求出方程x2﹣4x﹣2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解．
19．（2分）（2002•兰州）如图，已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，则∠O1AB=30度．
考点：相交两圆的性质．
分析：连接O1O2，可得△BO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
解答：解：连接O1O2，
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴O1B=O1O2=O2B，
∴△BO2O1是等边三角形，
∴∠BO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠BO2O1=30°（圆周角定理）．
故答案为：30．
点评：此题用到了等边三角形的判定和圆周角定理．
20．（2分）（2002•兰州）半径为20的⊙O1和半径为15的⊙O2相交于A、B两点，AB=24，则两圆的圆心距O1O2= 25或7．
考点：相交两圆的性质；勾股定理．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据两圆相交，可知为O1O2⊥AB且AC=BC，然后利用已知条件和勾股定理求解．
解答：解：如图，连接O1O2，交AB于C，
∴O1O2⊥AB，
∴AC=12，O1A=20，
∴O1C==16；
∵O2A=15，AC=12，
∴O2C==9，
因此O1O2=16+9=25．
同理知当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2=7．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．本题可以通过构建直角三角形，然后来求解．
21．（2分）（2002•兰州）某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：万元）
之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：
万元/吨）之间的函数图象是线段（如图所示），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是1000吨时，所
获毛利润最大（毛利润=销售额﹣费用）．
考点：二次函数的应用．
专题：压轴题．
分析：本题考查二次函数最小（大）值的求法，先将图中所示的信息用解析式表示出来，再根据题意解答．解答：解：（1）设年产量为x吨，费用为y（万元），销售单价为z（万元），则0≤x≤1000，
由图（1）知将点（1000，1000）代入到y=ax2可求得y=x2；
（2）由图（2），设年产量为x吨，销售单价为z万元/吨，
解析式为z=﹣x+30，
则利润s=zx﹣x2=﹣x2+30x，
当x==吨时，毛利润最大．
但此时＞1000，不合题意，x=1000．
故答案为1000吨．
点评：本题是根据图象确定两个函数关系的解析式，综合运用函数的知识解决问题．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，
当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求
解比较简单．
三、解答题（共13小题，满分67分）
22．（4分）（2002•兰州）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．
考点：作图—复杂作图；三角形的内切圆与内心．
分析：圆心到各边的距离相等所以要作各角的角平分线的交点，交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．
解答：解：
点评：本题主要考查了三角形内切圆的作法．
23．（5分）（2005•广州）解方程组：
考点：高次方程．
专题：计算题．
分析：本题可运用代入法，由x+y=3可得x=3﹣y（或y=3﹣x），再把其代入（2）中可解出x（或y的值）．解答：
解：解法1：
由①得y=3﹣x③
把③代入②，得x（3﹣x）=﹣10
即x2﹣3x﹣10=0
解这个方程，得x1=5，x2=﹣2
代入③中，得或；
解法2：将x 、y 看成是方程a 2
﹣3a ﹣10=0的两个根
解a 2
﹣3a ﹣10=0得a 1=5，a 2=﹣2 ∴原方程组的解为
．
点评： 本题考查的是二元二次方程，因为含有二次项，所以运用代入法解本题会比较容易．
24．（6分）（2002•兰州）已知一次函数y=kx+2k+4，当x=﹣1时的函数值为1． （1）求一次函数的解析式；
（2）这个函数的图象不经过第几象限？
（3）求这个一次函数的图象与y 轴的交点坐标．
考点：
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：
待定系数法．
分析： （1）把x=﹣1时的函数值为1代入函数解析式即可求出k 的值，从而求出其解析式； （2）求出函数与坐标轴的交点，就可判断这个函数的图象是否经过第一象限． （3）令x=0，代入函数解析式y=﹣3x ﹣2．就可得到函数与y 轴的交点的纵坐标，而横坐标是0
答： 解：（1）由已知可知，函数过点（﹣1，1）， 代入解析式得：1=k •（﹣1）+2k+4．∴k=﹣3． 故一次函数的解析式为：y=﹣3x ﹣2． （2）因为x=0时y=﹣2，y=0时x=﹣，
故这个函数的图象不经过第一象限．
（3）令x=0，代入函数解析式y=﹣3x ﹣2． 得y=﹣2．
故一次函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，﹣2）．
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，比较简单．
点
评
：
25．（6分）（2002•兰州）已知如图，所对弦AB=，弓形的高CD为4，求这个弓形ACB的面积．
考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．
分析：构造直角三角形，利用勾股定理求出半径，就可以知道OD的长度；再根据直角三角形边的值，确定出扇形的圆心角，也就可以求出扇形的面积和三角形OAB的面积，从而弓形的面积也就得到了．
解答：解：连接OA、OB、OD，
∵AB是⊙O的弦，CD是弓形的高，
∴D是弦AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴O、D、C三点共线，
在Rt△ODA中，设OA=r，则OD=r﹣4，
根据勾股定理OA2=OD2+AD2，
即r2=（r﹣4）2+（4）2，
∴r=8，
∴OD=8﹣4=4，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，
根据圆及弦的性质得∠BOD=∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S扇形OAB=120°÷360°×πr2=π×82=π，
又S△AOB=AB•OD=×8×4=16，
∴S弓形ACB=S扇形OAB﹣S△AOB，
=π﹣16，
=．
点评：构造直角三角形利用勾股定理求出圆的半径是解题的关键．
26．（2002•兰州）附加题：已知，等腰△ABC内接⊙O，顶角为120°，⊙O的半径为cm，求底边BC的长．
考点：三角形的外接圆与外心；解直角三角形．
分析：通过作辅助线，构成圆的内接三角形，再利用圆及圆内接三角形性质确定角的度数和三角函数．
解答：解：如图，连接OA，OB，OC交BC于D，
由圆及圆内接三角形性质可得
OA垂直平分BC，且OA平分∠BAC
∴∠BAD=60°
∴△OAB为等边三角形
∴AB=OB=AO=cm
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=60°
∴BD=×sin∠BAD=•sin60°=×=5cm
∴底边BC的长=2BD=2×5=10cm．
点评：本题考查了三角形的外接圆、相交弦定理和勾股定理．作辅助线，构成圆的内接三角形是常用的方法之一．
27．（7分）（2002•兰州）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=﹣x+8．
（1）若一次函数和反函数的图象交于点（4，m），求m和k；
（2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点；
（3）设（2）中的两个交点为A、B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）因为一次函数过（4，m）求m，再把求出的交点坐标代入反比例函数中求k；
（2）求交点问题，就是解联立而成的方程组得关于k的一元二次方程，运用根与系数关系解答；
（3）根据交点A、B的位置判断．
解答：
解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m），∴有，
解之得，
∴m=4，k=16；
（2）若两个函数相交，则交点坐标满足方程组，
∴﹣x+8=，
即x2﹣8x+k=0，
要使两个函数有两个不同的交点，则方程应有两个不相同的根，
也就是△＞0，
即（﹣8）2﹣4×1×k=64﹣4k＞0，
∴k＜16，
∴要使两个函数图象有两个不同交点，k应满足k＜16且k≠0；
（3）当0＜k＜16时，y=的图象在第一、三象限，它与y=﹣x+8的两个交点都在第一象限内，这时∠AOB是锐角；
当k＜0时，y=的图象在第二、四象限，它与y=﹣x+8的两个交点分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝
角．
点评：此题主要考查了反比例函数的图象和性质，也考查了方程组的解和图象交点坐标的关系．此题将函数与方程联系起来分类讨论，检查学生的综合知识水平．
28．（6分）（2002•兰州）A、B两地相距12千米，甲、乙两人同时从A地出发步行到B地，甲比乙每小时多走2
千米，结果甲比乙早到1小时，求甲、乙两人每小时各走几千米？
考点：分式方程的应用；解一元二次方程-因式分解法．
专题：行程问题．
分析：本题用到的关系为：路程=速度×时间；等量关系为：走完12千米甲用的时间=乙用的时间﹣1小时．解答：解：设甲每小时走x千米，则乙每小时走（x﹣2）千米．
根据题意有：=﹣1．
整理得：x2﹣2x﹣24=0．
解得：x=6，x=﹣4（不合题意舍去）．
经检验：x=6是原方程的解．
答：甲每小时走6千米，以每小时走4千米．
点评：利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
29．（7分）（2002•兰州）某地长途公共汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要
购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）旅客甲携带行李28千克，问是否要购买行李票，若要购买需多少元，若不要购买行李票？试说明理由．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）可根据图中的信息，用待定系数法来求出函数关系式．然后根据行李票费用不能为负数，求出自变量的取值范围．
（2）根据（1）中求出的函数关系式及自变量的取值范围即可得出是否需要购买行李票．
解答：解：（1）设y与x的函数关系式是y=kx+b（k≠0），由图可知：
，解得：
∴y=x﹣6，由题意y≥0，即x﹣6≥0，x≥30．
∴y与x的函数关系式为y=x﹣6（x≥30）；
（2）由（1）知．行李大于30kg时，才需要购买行李票．甲带的行李为28kg，小于30kg的要求，因
此甲不需要购买行李票．
点评：本题的解题关键是从图象中得出信息，用待定系数法求出函数关系式和自变量的取值范围．
30．（2002•兰州）附加题：现有总长为8m的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛（如图），当这个扇形
的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大并求最大面积．
考点：二次函数的应用；弧长的计算；扇形面积的计算．
分析：
设半径为r，面积为S．S=涉及到圆心角n与r的关系，因为材料总长8米，所以弧AB长（8﹣
2r），由弧长公式变形得出n的表达式，代入面积公式得S与r的关系式，再运用性质求最大值．
解答：解：设扇形的半径为r，∠AOB的度数为n，扇形花坛面积为S，
则扇形花坛周长为：
2r+•2πr=8 ①
S=πr2②
由①得：③
将③代入②得：S=•πr2=4r﹣r2=﹣（r﹣2）2+4
故当r=2时，S最大=4
即当扇形半径为2m时，花坛面积最大，其最大面积为4m2．
点评：此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大．
31．（6分）（2002•兰州）为了培养学生的环境保护意识，某校组织课外小组对该市作空气含尘调查，下面是一天每
隔2小时测得的数据：0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03（单位：克/立方米）．（1）求出这组数据的众数和中位数；
（2）若国家环保局对大气飘尘的要求为平均值不超过每立方米0.025克，问这天该城市的空气质量是否符合国家环
保局的要求？
（3）为了提高该城市的空气质量，请你提出两条建议．
考点：众数；中位数．
专题：应用题；开放型．
分析：众数就是出现次数最多的数，中位数是大小处于中间位置的数，本组中共有12个数，中位数就是中间两个数的平均数；把这12个数求和，再除以总个数就得到平均数，把这个数与国家标准进行比较就可
以得到结论．
解答：解：（1）从小到大排列：0.01，0.01，0.02，0.03，0.03，0.03，0.03，0.03，0.04，0.04，0.04，0.05，∴众数是0.03克/立方米，中位数是0.03克/立方米；
（2）平均数=（0.01+0.01+0.02+0.03+0.03+0.03+0.03+0.03+0.04+0.04+0.04+0.05）÷12=0.03克/立方米． 因为0.03＞0.025，所以不符合国家环保局的要求．
（3）加强绿化，提高城市的绿化率；加强工厂的管理，提高工厂排放标准．
点评：
理解众数，中位数，平均数的概念是解决本题的关键．
32．（8分）（
2002•兰州）如图这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有O 、A 两个观测点，分别测得目标点火炬C 的仰视角为α、β，OA=2米，tan α=，tan β=，位于点O 正上方2米处的D 点发射装置，可以向目标C 发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中E 点）．
（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C ．
考点：
二次函数的应用． 专题：
应用题． 分析： （1）本题是抛物线的问题，要充分运用抛物线在直角坐标系中的解析式解题，由已知得抛物线的顶点顶点式． （2）确定C 点坐标，根据已知条件，需要解直角三角形；作CF ⊥x 轴，垂足为F ，把问题转化到直角三角形中解决． 解答： 解：（1）已知顶点E （12，20）可设火球运行抛物线解析式为
y=a （x ﹣12）2
+20，
把点D （0，2）代入解析式，
得a=﹣，
∴火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式为：
y=﹣（x ﹣12）2+20=﹣x 2+3x+2；
（2）设C （x 1，y 1），作CF ⊥x 轴，垂足为F ，
则tan α==， 在Rt △AFC 中，tan β==，
解以上两个分式方程得x 1=20，y 1=12，即C （20，12），
代入y=﹣x 2
+3x+2适合，
所以点C 在抛物线上，故能点燃目标．。