两位数乘法速算

两位数乘法速算
速算是指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算。

速算有两个方面的含义：一是指速度快，最起码要比笔算的速度快；二是指不借助于笔、算盘、计算器等传统的运算工具，只利用数与数之间的特殊关系和大脑的思维活动快速算出两数之间的算术运算结果。

因此，速算就是口算，只不过这里的速算题目比教科书上的口算题目难一些而已。

本文重点讲解两位数乘法的速算方法。

其中一个两位数可以写成10m+a的形式，例如76可以写成10×7+6，这里的m是7，a是6。

另一个两位数可以写成10n+b的形式，m，n，a，b为1~9的任意数字。

因此，任意两个两位数相乘可以成(10m+a)(10n+b)的形式。

本文所讲的“首”指任一乘数的十位数字，“尾”指任一乘数的个位数字。

“接”或“随”指前面的数和后面的数连在一起。

一、两位数乘法的一般速算法
方法：
首积尾积前后接，后积两位不可缺；
首尾交叉积之和，十倍之后加上它。

原理：
(10m+a)(10n+b)=mn×100+ab+(mb+na)×10
解析：
“首积尾积前后接”指两个乘数的十位数字的乘积放在前面，个位数字的乘积接在后面，即mn×100+ab。

“后积两位不可缺”指后积不足两位的，高位用零补齐，如例2，个位数字2×4等于8，这时后积不能写成8，而要写成08。

“首尾交叉积之和”指被乘数的十位数字与乘数的个位数字的积，加上被乘数的个位数字与乘数的十位数字的积，即mb+na。

“十倍之后加上它”是指‘首尾交叉积之和’乘以10，然后再与第一句口诀中得到的数相加。

当‘首尾交叉积之和’较大时，口算时还会有一定的困难，这时可以考虑采用“魏式速算法”。

例1：37×64
解：37×64=3×6×100+7×4+(3×4+7×6)×10=1828+540=2368
例2：42×74
解：42×74=4×7×100+2×4+(4×4+2×7)=2808+300=3108
二、两位数乘法的魏式速算法
原理：
(10m+a)(10n+b)=(m+1)n×100+ab+w×10
w是魏式系数，w=mb+na-n×10
解析：
魏式系数等于两个乘数的‘首尾交叉积之和’再减去其中一个乘数的十位数字的10倍。

魏式系数的值越小，计算起来越简单。

本人认为“魏式速算法”主要应用在魏式系数w=0时的速算，此时，(10m+a)(10n+b)=(m+1)n ×100+ab，如例1、例2、例3。

但如果魏式系数大于10时，计算起来还是比较麻烦的，这时选用“一般速算法”或“魏式速算法”都行，如例4。

例1：86×42
解：∵w=8×2+6×4-4×10=0
∴86×42=(8+1)×4×100+6×2=3612
例2：43×47(首同尾互补)
解：∵w=4×7+3×4-4×10=0
∴43×47=(4+1)×4×100+3×7=2021
例3：73×66(一数互补一数叠)
解：∵w=7×6+3×6-6×10=0
∴73×66=(7+1)×6×100+3×6=4818
例4：68×54
解：∵w=6×4+8×5-5×10=14
∴68×54=(6+1)×5×100+8×4+14×10=3672
三、两位数乘法的特殊速算法
1.十几乘十几
方法：十几乘十几，好做也好记；一数加上另数尾，十倍之后加尾积。

原理：(10+a)(10+b)=(10+a+b)×10+ab
解析：
括号中的10+a+b可以看成(10+a)+b或(10+b)+a，其中的(10+a)或(10+b)就是两个乘数中的一个，而所加的b或a就是另一个乘数的尾数，这就是口诀“一数加上另数尾”的由来。

(10+a+b)的后面还有‘×10’，所以后一句口诀一开始就要求“十倍”，然后才是“加尾积”(公式中的‘+ab’)。

例1：18×16
分析：用18加上6(一数加上另数尾，6为另一乘数的尾数)得24，将其扩大10倍(后面直接添个0即可)后为240，再加上两个乘数的尾数之积(6与8的积为48)，所得288就是18×16的答案。

解：18×16=(18+6)×10+6×8=288
例2：12×14
分析：当个位数的乘积是一位数时，由于这个积是加在前面已求出的和数扩大10倍后的那个0上的，实际上就是将个位数的乘积直接“拖”在那个“和数”的后面。

所以，明眼人一看到12×14，就知道是16(12加4)后面拖了一个8(2×4)，答案是168。

解：12×14=(12+4)×10+2×4=168
2.几十乘几十
方法：几十乘几十，方法最容易，首积之后补两零。

原理：10m×10n=m×n×100
例1：20×60
解：20×60=2×6×100=1200
例2：40×90
解：40×90=4×9×100=3600
3.几十一乘以几十一
方法：首积接首和，尾积后面写。

原理：(10m+1)(10n+1)=m×n×100+(m+n)×10+1
解析：
“首积接首和，尾积后面写。

”是指两个乘数的十位数字的积，十位数字的和，个位数字的积依次连起来。

当首和是两位数时，首和的高位要与首积相加，如例2。

例1：51×21
解：51×21=2×5×100+(2+5)×10+1=1071
例2：71×91
解：71×91=7×9×100+(7+9)×10+1=6461
首和7+9=16的高位1要与首积7×9=63相加，得64。

4.任意两位数乘十一
方法：一数乘十一，补零加原数。

原理：(10m+n)×11=(10m+n)×(10+1)=(10m+n)×10+(10m+n)
例1：36×11
解：36×11=36×10+36=396
例2：84×11
解：84×11=84×10+84=924
5.九十几乘九十几
方法：尾数之和加八十，尾补之积后面接。

原理：令a是的补数是c，b的补数是d，即a+c=10，b+d=10，则有：
(90+a)(90+b)
=[90+(10-c)][90+(10-d)]
=(100-c)(100-d)
=10000-100c-100d+cd
=(100-c-d)×100+cd
=(80+10-c+10-d)×100+cd
=(80+a+b)×100+cd
解析：
这个式子表明：九十几乘九十几可以用80加上两个乘数的个位数字，后面再接上两个乘数个位数字补数的乘积。

第二句口诀中的“尾补之积”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

例1：92×96
解：92×96=(80+2+6)×100+8×4=8832
例2：97×98
解：97×98=(80+7+8)×100+3×2=9506
6.四十几的平方
方法：十五加上尾，尾补平方后面随。

原理：a、b为1~9的任意数字，且a+b=10。

(40+a)(40+a)
=[40+(10-b)][40+(10-b)]
=(50-b)(50-b)
=2500-100b+bb
=100(25-b)+bb
=100[25-(10-a)]+(10-a)(10-a)
=(15+a)×100+(10-a)(10-a)
解析：第二句口诀中的“尾补平方”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

例1：43×43
解：43×43=(15+3)×100+7×7=1849
例2：48×48
解：48×48=(15+8)×100+2×2=2304
7.五十几的平方
方法：廿五加上尾，尾数平方后面随。

原理：(50+a)(50+a)=2500+a×100+a×a=(25+a)×100+a×a
解析：第一句口诀中的“廿五”即二十五；第二句口诀中的“尾数平方”占两位，不足两位时高位补0，如例1。

例1：53×53
解：53×53=(25+3)×100+3×3=2809
例2：58×58
解：58×58=(25+8)×100+8×8=3364
8.首同尾互补
首同尾互补是指两个乘数的十位数字相同、个位数字互补。

方法：首位乘以大一数，尾数之积紧相随。

原理：m，a，b为1~9的任意数字，且a+b=10。

ma×mb
=(10m+a)(10m+b)
=mm×100+m(a+b)×10+ab
=m(m+1)×100+ab
解析：“首位乘以大一数”是指用任一乘数的十位数字乘以比十位数字大一的数，即m×(m+1)。

“个位之积紧相随”是指将两个乘数的个位数字的积跟在第一句口诀的得数之后。

需要注意的是当个位数字是1和9时，它们的乘积9是一个一位数，在往十位数的乘积后面“接”的时候，在9的前面要加一个0，即把9写成09，如例2。

在这种速算法中，魏式系数w=m×b+m×a+m×10=m(b+a)+m×10=0，因此，首同尾互补是魏式速算法的特殊情况。

例1：34×36
解：34×36=3×(3+1)×100+4×6=1224
例2：91×99
解：91×99=9×(9+1)×100+1×9=9009(不能写成909)
例3：45×45
解：45×45=4×(4+1)×100+5×5=2025
我们发现，例3中的两个两位数相同。

此时，计算两个相同两位数乘积的运算也就相当于求这个两位数平方的运算，而这个两位数的特点是其个位数字必须是5，因此，利用这种方法可以快速求出个位数是5的两位数的平方。

9.尾同首互补
尾同首互补是指两个乘数的个位数字相同、十位数字互补。

方法：首位之积加上尾，尾数之积紧相随。

原理：m，n，a为1~9的任意数字，且m+n=10。

ma×mb
=(10m+a)×(10n+a)
=mn×100+(m+n)a×10+aa
=(mn+a)×100+aa
解析：“首位之积加上尾”是指两个乘数的十位数字相乘，再加上任一数的个位数字。

“尾数之积紧相随”是指两个乘数的个位数字相乘，然后紧跟在前一句口诀的得数之后。

需要注意的是当尾数之积是一个一位数时，在“紧相随”的时候在其前面要添一个0，即把1看成01；把4看成04；把9看成09，如例2。

例1：47×67
解：47×67=(4×6+7)×100+7×7=3149
例2：23×83
解：23×83=(2×8+3)×100+3×3=1909(不能写成199)
10.首差一尾互补
首差一尾互补是指两个乘数的个位数字互补、十位数字差一。

方法：大首平方减去一，大尾平方用百补。

原理：m，n，a，b为1~9的任意数字，且m-n=1，a+b=10。

(10m+a)(10n+b)
=(10m+a)[10(m-1)+(10-a)]
=(10m+a)(10m-a)
=mm×100-aa
=mm×100-100+100-aa
=(mm-1)×100+(100-aa)
解析：“大首平方减去一”指两个乘数中较大数的十位数字的平方减去一，即公式中的m×m-1。

“大尾平方用百补”指用100减去两个乘数中较大数的个位数字的平方，即公式中的100-a ×a。

例1：48×32 解：48×32=(4×4-1)×100+(100-8×8)=1536
例2：76×64 解：76×64=(7×7-1)×100+(100-6×6)=4864
11.一数互补一数叠
一数互补一数叠是指一个乘数中的两个数字互补，另一个乘数中的两个数字相同。

方法：首位加一乘叠头，尾数之积作后盾。

原理：m、a、b为1~9的任意数字，且m+a=10。

(10m+a)(10b+b)=mb×100+(m+a)b×10+ab
=mb×100+b×100+ab
=(m+1)b×100+ab
解析：第二句口诀中的“尾数之积”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

在这种速算法中，魏式系数w=mb+ab-b×10=b(m+a)-b×10=0，即一数互补一数叠是魏式速算法的特殊情况。

例1：28×33 解：28×33=(2+1)×3×100+8×3=924
例2：82×33 解：82×33=(8+1)×3×100+2×3=2706
乘数是25、50的速算法
乘数是25、50的速算法
【例1】478×25＝？
解：478×25478×25
＝478×100÷4或＝47800÷4
＝47800÷4＝11950
＝11950
遇到一个数乘25的时候，可以用这个数先乘100，然后再除以4，就是所求的结果．（简记方法是，在这个数末尾添两个0后除以4）
【例2】563×50＝？
解：563×50563×50
＝563×100÷2或= 56300÷2
＝28150= 28150
遇到一个数乘50的时候，先用这个数乘100，然后再除以2，所得的商就是这个数乘50的结果．
十位数相同，个位数之和等于10的两个两位数乘法的速算法
遇到这种情况的两个两位数相乘的时候，先用比十位数字大1的数跟十位数字相乘，得出来的数是多少个“百”，写在积的百位和千位上；然后把两个个位数相乘，得出来的数是多少个“一”，写在积的个位和十位上．这就是所求的结果．
【例1】计算72×78＝？
解：72×78 ＝[7×（7＋l）]×100＋2×8 ＝5616
【例2】计算84×87=？
任意两个数乘法的速算法
任意两位数相乘，先用这两个数十位上的数字相乘所得的多少个“百”；再用乘数个位上的数字乘另一个乘数十位上的数字所得的数，加上乘数十位上的数字乘另一个乘数个位上的数字所得的积，表示几个“十”；最后两个个位上的数字相乘的得数表示几个“一”．用几个百加上几个十，再加上几个一所得的数就是所求的结果．
【例1】计算43×85＝？
解：43×85＝（4×8）×l 00＋（4×5＋3×8）＋3×5
＝3200＋440＋15＝3655
用竖式表示这种算法：
【例2】计算84×45＝？
解：84×45＝3780 5×8＋4×4=56
两位数乘以99的速算法
一个两位数乘以99的时候，可以用这个数乘以100，再从积里减去这个两位数．一个数乘以100，只要在这个数的末尾添上两个0就可以了．
【例1】计算78×99＝？解：78×99＝7800－99＝7722
两位数乘以99的速算法还可以用一句口快来计算，这句口诀是：“去1添补．”
去1，就是从原来的两位数里减去1，如78－l＝77，作为所求结果的十位和个位上的数．【例2】计算76×99＝？【例3】48×99＝？
两位数乘以11的速算法
一个两位数乘以11的时候，可以把这个两位数的十位上数字写在积的百位上，个位上数字写在积的个位上，再把两个数字之和写在积的十位上，十位上的数如果满10，可向百位进1．【例1】计算72×11＝？
解：72×11＝7÷100＋（7＋2）×10＋2＝700＋90＋2＝792
用竖式表示一下，可以看得更清楚．积的十位数字正好是这个两位数的个位数字与十位数字之和．
72的个位数字2是积的个位数字，72的十位数字7，是积的百位数字，7加上个位2的和是十位数．
【例2】计算86×11＝？
解：86×11＝8×100＋（8＋6）×10＋6＝800＋140＋6＝946
用坚式表示：
几十一乘几十一的速算法
几十一和几十一相乘的时候，可以先求出两个十位数字的积，写在积的百位与千位上；再把两个十位数字的和写在积的十位上，满10要向百位进1；最后在积的个位上写l．【例1】计算41×31＝？
解：41×31＝40×30＋（40＋30）＋1＝1200＋70＋1＝1271
用竖式表示：
观察当41×31时，积的个位是1，积的十位上是3＋4＝7；积的百位和千位数字是4×3＝12几十一乘几十一的速算法
几十一和几十一相乘的时候，可以先求出两个十位数字的积，写在积的百位与千位上；再把两个十位数字的和写在积的十位上，满10要向百位进1；最后在积的个位上写l．【例2】计算61×81＝？
解：61×81＝60×80＋（60＋80）＋l＝4800＋140＋l＝4941
观察61×81的积是4941．
积的个位数字是1；积的十位数字是6＋8＝14，十位数字是4，向百位进1；积的百位和干位数字是6×8=48，加上进位的1，是49．
个位数相同，而十位上的数字之和是10的两个两位数乘法的速算法
遇到这种情况的两个两位数相乘的时候，先将两个十位数字相乘，再加上一个数的个位数．所得出的数表示多少个“百”，写在积的百位和千位；再将两个个位上的数字相乘，得出来的数是多少个“一”，写在积的个位和十位上．这就是所求的结果。

【例1】计算78×38＝？【例2】计算26×86＝？
解：78×38＝（7×3＋8）×100＋8×8＝2900＋64＝2964
两位数乘法口算
一位数乘法口算就是口诀表，在讲清算理的基础上要求背会。

这里重点介绍几种两位数乘法的特殊算法。

1、两个相同因数积的口算法；（平方口算法）
（1）、基本数与差数之和口算法：
基本数：这个数各位分别平方后，组成一个新的数称基本数。

十位平方为基本数百位以上的数，个位平方为基本数十位和个位数，十位无数用零占位。

差数：这个数十位和个位的积再乘20称差数。

基本数+ 差数= 这两个相同因数的积。

例1、13×13
基本数：百位：1×1=1
十位：用0占位
个位：3×3=9
所以基本数就是109
差数：1×3×20=60
基本数+ 差数= 109 + 60 = 169
所以13×13=169
例2、67×67
基本数：百位以上数字是6×6=36
十位和个位数字是7×7=49
所以基本数是3649
差数：6×7×20=840
基本数+差数=3649+840=4489
所以：67×67 = 4489
（2）三步到位法
思维过程：
第一步：把这个数个位平方。

得出的数，个位作为积的个位，十位保留。

第二步：把这个数个位和十位相乘，再乘2，然后加上第一步保留的数，所得的数的个位就是积的十位数，十位保留。

第三步：把这个数十位平方，加上第二步保留的数，就是积的百位、千位数。

例1、24×24
第一步：4×4=16 “1”保留，“6”就是积的个位数。

第二步：4×2×2+1=17 “1”保留，“7”就是积的十位数。

第三步:2×2+1=5 “5”就是积的百位数. 所以24×24=576
例二、37×37
第一步:7×7=49 "4"保留,"9",就是积的个位数。

第二步:3×7×2+4=46 "4"保留,"6",就是积的十位数。

第三步:3×3+4=13 "13"就是积的百位和千位数字。

所以：37×37=1369
（3）接近50两个相同因数积的口算
思维方法：比50大的两个相同数的积等于5乘5加上个位数字，再添上个位数字的平方，（必须占两位，十位无数用零占位）：比50小的两个相同数的积，等于5乘5减去个位数字的十补数，再添上个位数字十补数的平方（必须占两位，十位无数用零占位）。

例1、53×53
5×5+3=28 再添上3×3=9 （必须两位09）等于2809
所以：53×53=2809
例2、58×58
5×5+8=33 再添上8×8=64 等于3364
所以：58×58=3364
例3、47×47
5×5-3（3是7的十补数）=22 再添上3×3=9 （必须两位09）
等于2209 所以：47×47=2209
（4）末位是5的两个相同因数积的口算
思维方法：设这个数的十位数字为K，则这两个相同因数的积就是：K×（K+1）再添上5×5=25 或者K×（K+1）×100+25
例1、35×35=3×（4+1）×100+25=1225
例2、75×75=7×（7+1）×100+25=5625
两个相同因数积的口算方法很多，这里就不一一介绍了。

我们利用两个相同因数积的口算方法可以口算好多相近的两个数的积。

举例如下：
例1、13×14
因为：13×13=169 再加13得182 所以：13×14=182
或者14×14 因为：14×14=196 再减14 还得182
例2、35×37
因为：35×35=1225 再加70（2×35）得1295
所以35×37=1295
2、首尾有规律的数的口算
（1）首同尾合十（首同尾补）
思维方法：首数加“1”乘以首数，右边添上尾数的积（两位数），如积是一位数，十位用零占位。

例：76×74=（7+1）×7×100+6×4=5624
（2）尾同首合十（尾同首补）
思维方法：首数相乘加尾数，右边添上尾数的平方（两位数），如积是一位数，十位用零占位。

例：76×36=（7×3+6）×100+6×6=2736
（3）一同一合十（一个数两位数字相同，一个数两位数字互补）
思维方法：两个数的十位数字相乘，再加上相同数字，右边添上两尾数的积。

如积是一位数，十位用零占位。

例：33×64=（3×6+3）×100+3×4=2112
以上三种方法，可以用一个公式计算即：
（头×头+同）×100 + 尾×尾
3、利用特殊数字相乘口算
有些数字很特殊，它们的积是有规律的。

（1）7乘3的倍数或3乘7的倍数
先看看下面的几个式子：
7×3=21 7×6=42 7×9=63
7×12=84 7×15=105 7×18=126......7×27=189
我们观察这几个式子被乘数都是7,乘数是3的倍数.是3的几倍,积的个位就是几,积的十位或者十位以上的数字始终是个位的2倍.
因此,我们可以说:7乘3的倍数,等于该倍数加该倍数的20倍.
果我们设这个倍数为N,用公式表示:7×3N=N+20N(N＞0的正整如数)
例1、7×27=7×3×9=9+20×9=189
例2、7×57=7×3×19=19+20×19=398
这个结论3乘7的倍数也适用.我们用这个结论可以口算3的倍数和7的倍数的两个数相乘.
例3、14×15=7×2×3×5=7×3×10=10+20×10=210
例4、28×36=7×4×3×12=7×3×48=48+20×48=1008
（2）、17乘3的倍数或3乘17的倍数
17乘3的倍数，等于该倍数加该倍数的50倍.（3乘17的倍数也适用）
如果我们设这个倍数为N,用公式表示:17×3N=N+50N(N＞0的正整数）
例1、17×21=17×3×7=7+50×7=357
例2、17×84=17×3×28=28+50×28=1428
例3、34×24=17×2×3×8=17×3×16=16+50×16=816
（3）、17乘13的倍数或13乘17的倍数
17乘13的倍数等于该倍数加该倍数的20倍，再加200倍。

如果我们设这个倍数为N,用公式表示:
17×13N=N+20N+200N(N＞0的正整数）
例1、17×78=17×13×6=6+20×6+200×6=1326
例2、34×65=17×2×13×5=17×13×10=10+20×10+200×10 =2210
例3、34×78=17×2×13×6=17×13×12=12+20×12+200×12 =2652
（4）43乘7的倍数或7乘43的倍数
43乘7的倍数等于该倍数加该倍数的300倍。

如果我们设这个倍数为N,用公式表示:43×7N=N+300N(N＞0的正整数）
例1、43×28=43×7×4=4+300×4=1204
例2、43×84=43×7×12=12+300×12=3612
4、两个接近100的数相乘的口算
（1）超过100的两个数相乘
思维方法：先把一个因数加上另一个因数与100的差，然后在所得的结果后面添上两个因数分别与100之差的积。

例1、103×104=（103+4）×100+3×4=10712
例2、112×107=（112+7）×100+12×7=11984
（2）不足100的两个数相乘
思维方法：先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后在所得的结果后面添上两个因数分别与100之差的积。

例1、92×94=（92-6）×100+8×6=8648
或者：92×94=（94-8）×100+8×6=8648
（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘
思维方法：超过100的数减不足100的差，扩大100倍后，减去两个因数分别与100之差的积。

例1、104×97=（104-3）×100-4×3=10100-12=10088
口算的技巧太多了。

以上仅介绍了部分特殊口算技巧，还有利用运算定律和运算性质可以口算；利用凑整法可以口算等等。

两位数平方的速算法
这两天在网上看了一些关于“两位数平方速算法”的文章，觉得再不把我的方法介绍一下就有点埋没了，因为还没看到超过我这个方法的。

如78²，第一步：把十位和个位上的数分别平方后连起来，7的平方等于49，8的平方等于64，连起来得4964；第二步：将这3个数相乘，得7×8×2=112；第三步：将第二步结果的个位对齐第一步结果的十位，相加得最后结果6084。

此方法可以推广到三位数的平方。

只是注意要把前两位当做一个数来处理。

例如117²，前项是11的平方121，后项是7的平方49，连起来得12149；第二步是连乘，即11×7×2=154，相加得最后结果13689。

两位数乘法速算
对于任意的两位数相乘，可以表示为(10a+b)×(10c+d),例如
28×57=（10×2+8）×（10×5+7）
展开得100ac+bd+10(ad+bc)，可见是十位数a、c相乘（放在百位上），加上个位数b、d相乘（放在个位），再加上第三项就行了。

前两项相加只要一秒钟，如上例的28×57，显然前两项分别为2×5=10，8×7=56，连上得1056。

关键是第三项如何算得快。

(ad+bc)表示十位和个位上的数交叉相乘再相加，（口诀：先乘后加。

）“10”表示把计算结果的个位放在前两项和的十位上。

还是拿上例来说，28×57的第三项是，2×7+8×5=14+40=54，这三项相加得最后结果，即1056+540=1596。

第三项如能具有某些特征，就能算得更快。

以下是几种算得更快的类型。

一、如果个位或十位上的数相同
此时第三项可以提取那个相同的数（公因子），剩下的两个数相加后乘公因子即可。

（口诀：加异乘同。

）
例如23×26=418+20×（3+6）=418+180=598；
再如34×54=1516+40×（3+5）=1836。

二、如果个位上的数相同，十位上的数相加等于10
此时第三项就是把个位上那个相同的数放到百位上就行了。

例如67×47=2449+700=3149.（口诀：十十尾进二。

）
三、如果十位上的数相同，个位上的数相加等于10
此时把十位上的数乘上比其大1的数放在百位上，个位上的数相乘放在个位上即可。

例如76×74，百位上的数是7×8=56，个位上的数是6×4=24，所以有76×74=5624。

四、如果乘数（或被乘数）个位和十位上的数相同（例如22、77等）
此时也是将这个相同的数字（公因子）提出来，另一数的两个数字相加，然后乘公因子。

（口诀：加异乘同。

）
例如22×78=1416+20×（7+8）=1416+300=1716
五、如果十位上的数和个位上的数都相等，就是求平方的问题了。

神奇速算术速算技巧乘法速算技巧
一、十位数是1的两位数相乘
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×1715 + 7 = 22 5 ×7 = 35255
即15×17 = 255
解释：15×17=15 ×（10 + 7）=15 ×10 + 15 ×7
=150 + （10 + 5）×7 =150 + 70 + 5 ×7
=（150 + 70）+（5 ×7）
为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。

例：17 ×1917 + 9 = 267 ×9 = 63
连在一起就是255，即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘
方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

例：51 ×31
50 ×30 = 150050 + 30 = 80 1580
因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。

数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。

例：81 ×91
80 ×90 = 720080 + 90 = 170737017371
原理大家自己理解就可以了。

三、十位相同个位不同的两位数相乘
被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。

例：43 ×46
（43 + 6）×40 = 1960 3 × 6 = 181978
例：89 ×87（89 + 7）×80 = 76809 ×7 = 637743
四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：56 ×54
(5 + 1) × 5 = 30-- 6 × 4 = 243024
例: 73 ×77
(7 + 1) ×7 = 56-- 3 ×7 = 215621
例: 21 ×29
(2 + 1) × 2 = 6-- 1 ×9 = 9609
“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。

五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：56 ×58
5 × 5 = 25 （
6 + 8 ）× 5 =
7 6 ×
8 = 48 3248
得数的排序是右对齐，即向个位对齐。

这个原则很重要。

六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。

乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：66 ×37
（3 + 1）× 6 = 24 6 ×7 = 42 2442
例：99 ×19
（1 + 1）×9 = 189 ×9 = 81 1881
七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘
与帮助6的方法相似。

两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。

例：46 ×99
4 ×9 + 9 = 4
5
6 ×9 = 544554
例:82 ×33
8 × 3 + 3 = 27 2 × 3 = 62706
八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。

两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。

例：78 ×38
7 × 3 + 8 = 298 ×8 = 642964
例：23 ×83
2 ×8 +
3 = 19 3 × 3 = 9 1909
Ｂ、平方速算
一、求11～19 的平方
底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：17 ×17 17 ＋7 = 24 7 ×7 = 49 289
参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”
二、个位是1 的两位数的平方
底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

例：71 ×71 7 ×7 = 49 7 × 2 = 14 1 5041
参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”
三、个位是5 的两位数的平方
十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

例：35 ×35 （3 + 1）× 3 = 12 25 1225
四、21～50 的两位数的平方
在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。

它们是：
21 ×21 = 44122 ×22 = 484
23 ×23 = 52924 ×24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37 ×37
37 - 25 = 12 （50 - 37）^2 = 169 1369
注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。

例：26 ×26
26 - 25 = 1 （50-26）^2 = 576 676
Ｃ、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷5= 被除数÷(10 ÷2)= 被除数÷10 ×2= 被除数×2 ÷10
2、被除数÷25= 被除数×4 ÷100= 被除数×2 ×2 ÷100
3、被除数÷125= 被除数×8 ÷100= 被除数×2 ×2 ×2 ÷100
在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。

因本人水平所限，上面的算法不一定是最好的心算法
乘法速算技巧
A、两位X两位
一、十位数是1的两位数相乘
［规律］
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×17
15 + 7 = 22 5 ×7 = 35 255即15×17 = 255
［解释］
15×17=15 ×（10 + 7）=15 × 10 + 15 × 7=150 + （10 + 5）×7
=150 + 70 + 5 × 7=（150 + 70）+（5 ×7
为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。

例：17 ×1917 + 9 = 267 ×9 = 63
连在一起就是255，即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘
［规律］十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

例：51 ×31
50 ×30 = 150050 + 30 = 801580
因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。

数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。

例：81 ×91
80 ×90 = 720080 + 90 = 170737017371
原理大家自己理解就可以了。

三、十位相同个位不同的两位数相乘
［规律］被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。

例：43 ×46
（43 + 6）×40 = 1960 3 × 6 = 181978
例：89 ×87
（89 + 7）×80 = 76809 ×7 = 637743
四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘
［规律］十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：56 ×54
(5 + 1) × 5 = 30-- 6 × 4 = 243024
例: 73 ×77
(7 + 1) ×7 = 56-- 3 ×7 = 215621
例: 21 ×29
(2 + 1) × 2 = 6-- 1 ×9 = 9609
“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。

五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘
［规律］两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：56 ×58
5 × 5 = 25--（
6 + 8 ）× 5 = 7-- 6 ×8 = 483248
得数的排序是右对齐，即向个位对齐。

这个原则很重要。

六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘
［规律］乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：66 ×37
（3 + 1）× 6 = 24-- 6 ×7 = 42 2442
例：99 ×19
（1 + 1）×9 = 18--9 ×9 = 811881
七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘
［规律］与帮助6的方法相似。

两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。

例：46 ×99
4 ×9 + 9 = 45-- 6 ×9 = 544554
例:82 ×33
8 × 3 + 3 = 27-- 2 × 3 = 62706
八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘
［规律］两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得
数作为后积，没有十位补0。

例：78 ×38
7 × 3 + 8 = 29--8 ×8 = 642964
例：23 ×83
2 ×8 +
3 = 19-- 3 × 3 = 9 1909
Ｂ、平方速算
一、求11～19 的平方
［规律］底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：17 ×17
17 ＋7 = 24-7 ×7 = 49289
参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”
二、个位是1 的两位数的平方
［规律］底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

例：71 ×71
7 ×7 = 49--7 × 2 = 14-15041
参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”。

三、个位是5 的两位数的平方
［规律］十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

例：35 ×35（3 + 1）× 3 = 12--251225
四、21～50 的两位数的平方
［规律］在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。

它们是：
21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37 ×37 37 - 25 = 12-- 50 - 37）^2 = 169 1369
注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。

例：26 ×2626 - 25 = 1--（50-26）^2 = 576676
Ｃ、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：
补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应用：
在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷5= 被除数÷(10 ÷2)= 被除数÷10 ×2= 被除数×2 ÷10
2、被除数÷25= 被除数×4 ÷100= 被除数×2 ×2 ÷100
3、被除数÷125= 被除数×8 ÷100= 被除数×2 ×2 ×2 ÷100
乘法心算速算法
一、有趣的乘法
数学运算有灵气，有人气，有妙不可言的规律，请看有趣的乘法1、3、6、9：
1、有趣的乘法1。