2022学年高中数学 3.1.4空间向量的直角坐标运算同步训练 新人教B版选修2-1

3.1.4 空间向量的直角坐标运算

一、基础过关

1．在空间直角坐标系O中，已知点A的坐标为－1，2,1，点B的坐标为1,3,4，则

＝0,2，－4共线的向量是

A．2,0，－4 B．3,6，－12

C．1,1，－2

3．设A3,3,1、B1,0,5、C0,1,0，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为

B 错误!

4．已知A2，－5,1，B2，－2,4，C1，－4,1，则向量错误!与错误!的夹角为A．30° B．45° C．60° D．90°

5．已知a＝2，－1,3，b＝－4,2，，c＝1，－,2，若a＋b⊥c，则等于A．4 B．－4 C错误! D．－6

6．已知a＝2，－1,2，b＝2,2,1，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 C．4 D．8

二、能力提升

7．与a＝2，－1,2共线且满足a·＝－18的向量＝__________

8．已知2a＋b＝0，－5,10，c＝1，－2，－2，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________ 9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，则错误!与错误!夹角的余弦值是________．

10．单位向量a＝，,0与向量c＝1,1,1的夹角为错误!，求：＋与的值．

11．已知空间三点A0,2,3，B－2,1,6，C1，－1,5．

1求以向量错误!，错误!为一组邻边的平行四边形的面积S；

2若向量a分别与向量错误!，错误!垂直，且|a|＝错误!，求向量a的坐标．12．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为错误!，底面的边长为错误!，E是SA的中点，求错误!与错误!的夹角．

三、探究与拓展

13．已知a＝5,3,1，b＝错误!且a与b的夹角为钝角．求t的取值范围．

答案

1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A

7．－4,2，－4

8．120°

9．－错误!错误!

10．解∵a与c的夹角为错误!

∴co 错误!＝错误!＝错误!＝错误!

化简得＋＝错误!·错误!①

又|a|2＝2＋2＝1，②

将②代入①，得＋＝错误!，从而＋2＝错误!，∴＝错误!

11．解1∵错误!＝－2，－1,3，错误!＝1，－3,2，

∴co∠BAC＝错误!＝错误!，∴∠BAC＝60°，

∴S＝|错误!||错误!|in 60°＝7错误!

2设a＝，，，则a⊥错误!⇒－2－＋3＝0，

a⊥错误!⇒－3＋2＝0，|a|＝错误!⇒2＋2＋2＝3，

解得＝＝＝1或＝＝＝－1，

∴a＝1,1,1或a＝－1，－1，－1．

12．解建立如图所示的空间直角坐标系．

由于AB＝错误!，SA＝错误!，

可以求得SO＝错误!则

B错误!，A错误!，

C错误!，S错误!

由于E为SA的中点，所以E错误!，

所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，

因为错误!·错误!＝－1，|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!，

所以co〈错误!，错误!〉＝错误!＝－错误!，所以〈错误!，错误!〉＝120°13．解由已知得a·b＝5×－2＋3t＋1×错误!

＝3t－错误!

∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0且〈a，b〉≠180°

由a·b<0，得3t－错误!<0，∴t<错误!

若a与b的夹角为180°，

则存在λ<0，使a＝λbλ<0，

即5,3,1＝λ错误!，

∴错误!，解得t＝－错误!

所以t的范围是错误!∪错误!